ЛЕКЦИЯ 2. Производные высших порядков

Производная  является функцией того же аргумента х, что и исходная функция. Поэтому ее можно опять дифференцировать, т.е. вычислять предел отношения приращения производной к приращению аргумента

= .

 

Если этот предел существует и конечен, то он называется второй производной от функции   f (x) в точке х. Принятое обозначение:

 

По-другому ещё называют производная второго порядка.

Подобным образом вводят производные n -го порядка f ⁽ⁿ⁾(x) = (f ^(n-1)(x))¢. В механике вторая производная от пути по времени есть ускорение .

Доказательство. Если материальная точка М движется прямолинейно по закону , производная  равна скорости точки в данный момент времени: . Пусть в момент времени t скорость точки равна V, а в момент  – скорость равна , т.е. за промежуток времени  скорость изменилась на величину .

Отношение  выражает среднее ускорение движения точки за время . Предел этого отношения при  называется ускорением точки М в данный момент t и обозначается буквой a: , т.е. .

Но . Поэтому , т.е. .

Пример. Производные от степенной функции y = х ⁿ.

y ¢ = n x ^n-1, 

y ¢¢ = n (n-1) x ^n-2, 

y ¢¢¢ = n (n-1) (n-2) x ^n-3,

...,

y^(k) = n (n-1) (n-2)...(n-k+1) x ^(n-k)  при (к £ n).

Производные высших порядков можно найти и для неявно заданных функций, а также для функций, заданных параметрически (как и производные первого порядка).

Дифференциалом второго порядка называется дифференциал от первого дифференциала

d(d f (x)) = (d f (x))¢Dx = (f ¢(x)D x)¢D x = f ¢¢(x) (D x)².

 

Применение дифференциала к приближенным вычислениям: равенство  позволяет с большой точностью вычислить приближенно приращение любой дифференцируемой функции. Дифференциал обычно находится значительно проще, чем приращение функции, поэтому равенство выше широко применяется в вычислительной практике.

 

Теоремы о дифференцируемых функциях.

Для дифференцируемых функций выполняется ряд важных для приложений теорем. Перечислим основные теоремы.

Теорема Ролля

Пусть функция у = f (x):

1. непрерывна на отрезке [a, b],

2.  дифференцируема во всех внутренних точках отрезка, т. е. в интервале (a,b),

3. f (а) = f (b).

Тогда внутри отрезка (a, b) существует по крайней мере одна точка , в которой производная обращается в ноль – f `(c) = 0.

Замечание. Точка с является корнем производной. Если f(а) = f(b) =0, то теорема формулируется так: между корнями функции лежит корень производной.

Формула Лагранжа (формула конечных приращений). Пусть функция у = f (x) непрерывна на отрезке [a,b], дифференцируема во всех внутренних точках отрезка, т. е. в интервале (a,b), то внутри отрезка существует по крайней мере одна точка с a < c < b в которой справедливо равенство: полное приращение функции равно производной, вычисленной в точке с, умноженной на длину промежутка

f (b) - f (а) = f `(c)(b - а).                                                                                        (7.18)

 

В точке с касательная параллельна секущей MN (см. рис. 7.4).

Рис. 2.1. Геометрический смысл формулы конечных приращений.

 

Правило Лопиталя. Пусть функции f (x) и g (x) на отрезке [a,b] удовлетворяют условию теоремы Коши и f (с) = g (с) = 0 (a < c < b), то, если существует предел отношения производных при х →с, то существует и предел отношения функций в этой точке, причем

                                           (2.1)

Замечание. Правило Лопиталя можно применять и для раскрытия неопределенностей типа .

Коротко полученную формулу читают так: предел отношения двух бесконечно малых равен пределу отношения их производных, если последний существует.

Если производные  и  удовлетворяют тем же условиям, что и функции  и , теорему (2.1) можно применить ещё раз:

.                                 (2.2)

Пример. Вычислить предел .

Решение. Так как е^-х = 1/е^х, то предел можно преобразовать к виду  

.

ЛЕКЦИЯ 3. Приложение производных к исследованию функций.

Использование производных позволяет прояснить многие особенности в поведении функций. Наиболее важными особенностями функций являются интервалы монотонности и точки экстремумов функций.

Если функция относится к классу дифференцируемых монотонных функций, то ее производная сохраняет знак на интервале монотонности, причем возрастающая функция имеет положительную производную, а убывающая – отрицательную. Действительно, если Δх > 0, то так как

 

 

то знак производной совпадает со знаком приращения функции.

Для возрастающих функций

 

 Δf(x) > 0 f `(x) > 0,

 

для убывающих функций 

 

Δf(x) < 0 f `(x) < 0.

Необходимые условия возрастания и убывания функций: если дифференцируемая на интервале  функция  возрастает (убывает), то
.

Достаточные условия: если функция  дифференцируема на интервале  и
, то эта функция возрастает (убывает) на интервале .

Функция имеет локальный максимум (минимум) в точке х ₀, если она определена как в точке х ₀, так и в окрестности этой точки, и значение функции в точке х ₀ больше (меньше), чем ее значения во всех соседних точках: т. е.

 

f (х ₀) > f (x) в точках максимума

 

f (х ₀) < f (x) в точках минимума

 

для всех х из окрестности точки х ₀.

 

Минимумы и максимумы функции объединены единым понятием – экстремумы. До точки максимума функция возрастает, следовательно, ее производная положительна

 

f `(x) > 0

 

после точки максимума – убывает, производная отрицательна

 

f `(x) < 0.

 

Для точки минимума первоначально функция убывает

 

f `(x) < 0,

 

а потом возрастает

 

f `(x)>0).

 

В самих точках экстремумов производная или равна нулю (обычный экстремум) или не существует (острый экстремум). На рис. 3.1 функция имеет экстремумы в точках х₁, х₂ и х₃, причем в точке х₁ – острый максимум, а в точках х₂ и х₃ обычный минимум и максимум.

Тем самым, в точках экстремумов функции производная равна нулю или не существует (необходимое условие экстремума) и меняет знак с «+» на «-» в точках максимумов и с «-» на «+» в точках минимумов (достаточные условия экстремума).

 

 

Рис. 3.1. Экстремумы функции

Точки, в которых производная равна нулю, называются стационарными точками. Не все стационарные точки являются точками экстремумов. В стационарных точках надо проверять достаточное условие экстремума.

Замечание. Не надо путать наибольшее и наименьшее значение и экстремумы. Экстремум достигается всегда внутри промежутка, а наибольшее и наименьшее значения могут достигаться и в точках экстремумов, и на границах промежутка, и в точках разрыва. На рис. 3.1 точка х₃ является точкой максимума и в ней также достигается наибольшее значение, наименьшее значение достигается в точке а, т.е. на границе промежутка.

 

Функция называется выпуклой (выпуклость вверх) на интервале (a,b), если график функции лежит под любой касательной в каждой точке интервала, на всем интервале выпуклости вторая производная отрицательна f ``(x) < 0.

Функция называется вогнутой (выпуклость вниз) на интервале (a,b), если график функции лежит над любой касательной в каждой точке интервала, на всем интервале вогнутости вторая производная положительна f ``(x) > 0.

Следовательно, в точках экстремумов вторая производная имеет определенный знак (достаточное условие экстремума по второй производной):

в точках максимумов f ``(x ₀) < 0,

в точках минимумов f ``(x₀) > 0.

Достаточное условие существования точек перегиба. Если вторая производная  при переходе через точку , в которой она равна нулю или не существует, меняет знак, то точка графика с абсциссой  есть точка перегиба (рис. 3.2).

 

Рис. 3.2. Выпуклость и вогнутость кривой. Точка перегиба.

Пример:

  y = x ² e^{- x}   y `= 2 x e^{- x} - x ² e^{- x} = x e^{- x} (2 – x);

 y `= 0 если x = 0 или x = 2, это стационарные точки.

y ``= (2 x e^{- x} – x ²e^{- x} ))’ = 2e^-x - 2 x e^-x – 2 x e^-x + x ² e^-x = e^-x(2 - 4 x + x ²);

y``= 0 если x_1,2 =2 ,

это точки перегиба

 y``(0) = 2 > 0,

следовательно, в точке х = 0 минимум,

y``(2) = -2e^-2 < 0, следовательно в точке х = 2 максимум.

 

Асимптоты графика функции.

Построение графика функции значительно облегчается, если знать его асимптоты. Понятие асимптоты рассматривалось при изучении формы гиперболы (в теме «кривые второго порядка»).

Определение: асимптотой кривой называется прямая, расстояние до которой от точки, лежащей на кривой, стремится к нулю при неограниченном удалении от начала координат этой точки по кривой (рис. 3.3).

 Рис. 3.3.

Асимптоты могут быть вертикальными, наклонными и горизонтальными. Горизонтальная асимптота – это частный случай наклонной асимптоты.

Прямая  является вертикальной асимптотой графика функции
.

Действительно, в этом случае непосредственно из рисунка 3.3 видно, что расстояние точки  кривой от прямой . Если . Согласно определению асимптоты, прямая  является асимптотой кривой . Для отыскания вертикальных асимптот нужно найти те значения x, вблизи которых функция  неограниченно возрастает по модулю. Обычно это точки разрыва второго рода.

Прямая y = kx + b называется наклонной асимптотой для функции f (x), если при х→∞ расстояние от переменной точки графика функции М до прямой стремится к нулю (рис. 3.4). При этом

,        .

Рис. 3.4. Наклонная асимптота

Если хотя бы один из пределов k и b не существует или равен бесконечности, то кривая  наклонной асимптоты не имеет.

В частности, если . Поэтому

Замечание: Асимптоты графика функции  могут быть разными. Поэтому при нахождении пределов k и b следует отдельно рассматривать случай, когда .

Пример. y = x e^-x.

, .

Прямая у = 0 является горизонтальной асимптотой.