Линейные операции над векторами.

II. Векторная алгебра

Лекция № 6. Понятие вектора. Проекции вектора.

Определение: Вектор – это направленный отрезок прямой. Вектор обозначается обычно двумя буквами, сначала пишется буква, указывающая начало, а потом, буква, указывающая конец вектора. Вектор обозначается  или .

Рис. 1

 

Определение: Длина вектора называется его модулем и обозначается символом  или .

Определение: Вектор, длина которого равна нулю, называется нулевым вектором. Нулевой вектор направления не имеет. Обозначается  - нулевой вектор.

Определение: Вектор, длина которого равна единице, называется единичным вектором и обозначается  - единичный вектор

Определение: Векторы, расположенные на одной прямой или параллельных прямых, называются коллинеарными. (Рис. 3)

 

Рис. 2

Определение: Два вектора называются равными, если они:

1. имеют равные модули

2. коллинеарны

3. направлены в одну сторону (Рис. 3)

Рис. 3

или

 

Определение: Вектора называются противоположными, если они:

1. имеют равные модули

2. коллинеарны

3. направлены в противоположную сторону(Рис. 4)

 и  - противоположные векторы или  и

Рис. 4

 

Определение: Три вектора в пространстве называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или параллельны некоторой плоскости. (Рис. 5)

Рис. 5

Определение: Проекцией вектора  на ось l, называется длина отрезка , заключенного между проекциями начала и конца вектора на эту ось. Эта длина берется со знаком плюс, если направление отрезка  совпадает с направлением оси, и со знаком минус, если его направление противоположно направлению оси.

Проекция вектора на ось положительна, если вектор образует с осью острый угол и отрицательна, если вектор образует с осью тупой угол. (Рис. 6)

 

Рис. 6

Проекции вектора на координатные оси называют также его (декартовыми) координатами.

Координаты вектора равны разностям соответствующих координат его конца и начала.

Если для вектора  известны координаты его начала и координаты его конца , то проекции вектора  на оси координат определяются по формулам

б

 

Модуль вектора равен арифметическому значению квадратного корня из суммы квадратов его проекций.

Модуль вектора через его проекции на оси прямоугольной системы координат вычисляется по формуле:

 

Если вектор  исходит из начала координат, а его конец М имеет координаты , то тогда его проекции на координатные оси равны координатам его конца: .

Определение: Радиус – вектор точки  обозначается через . Модуль радиус - вектора точки  вычисляется по формуле

 - называют направляющими косинусами вектора .

Рис. 7

Если a, b, g - углы, образованные вектором  с координатными осями OX, OY, OZ прямоугольной системы координат, то проекции вектора  на координатные оси будут равны

Сумма квадратов направляющих косинусов ненулевого вектора равна единице . Данное равенство позволяет определить один из углов a, b, g, если известны два других.

Координатами единичного вектора  являются числа , т. е.

Задачи

Задача 1. Вектор  задан координатами своих концов А и В: ; . Найти проекции вектора  на координатные оси и его направляющие косинусы.

Решение: Проекции вектора  на координатные оси находим по формулам (4):

, , .

Длина вектора  определяется по формуле: .

Направляющие косинусы: ; ; .

Задача 2. Дан модуль вектора  и его углы с осями координат: , а g - тупой угол. Вычислить проекции этого вектора на координатной оси.

Решение: Используем формулу (9) для определения .

Так как g - тупой угол, следовательно, . Проекции вектора  на оси координат находим по формулам (8):

.

Замечание.

Т. к. вектор  коллинеарен вектору , то в дальнейшем условие коллинеарности векторов будем записывать в виде .

При умножении вектора  на скаляр (число) l получается вектор :

Задачи

Задача 1. Найти сумму и разность векторов .

Решение: По формуле имеем

 или

 или .

Задача 2. Проверить коллинеарность векторов  и , где , . Установить, какой из них длиннее другого, во сколько раз, как они направлены: в одну или противоположные стороны.

Решение: По формулам находим векторы  и  в координатной форме.

,            ,    

,       ,  

, т. к. , .

Вектор  длиннее вектора  в три раза. Векторы  и  направлены в противоположные стороны (), т. к. .

Замечание.

Если , угол j - острый,

    , угол j - тупой.

Замечание.

Если даны углы a, b, g, которые ось u составляет с координатными осями, то  и для вычисления проекции вектора  на ось u служит формула:

Рис. 2

Если вектор  изображает перемещение материальной точки под действием постоянной силы  (Рис. 3), то работа постоянной силы при прямолинейном перемещении ее точки приложения равна скалярному произведению вектора силы на вектор перемещения.

Рис. 3

Работа силы: .

Задачи

Задача 1. Найти скалярное произведение векторов  и , если .

Решение: Имеем  (используем свойства скалярного произведения – формулы (5), (6), (7)). По формулам (2) и (9), получаем , ,

Задача 2. Даны точки .

            Вычислить .

Решение: Найдем координаты векторов .

.

 - противоположен вектору , следовательно, . Аналогично .

; .

По формуле (10) найдем

.

Задача 3. Вычислить угол, образованный векторами  и .

Решение: По формуле , получаем

Задача 4. Даны векторы  и . Найти  и .

Решение: Используя формулу (13), получаем

Задача 5. Дан вектор . Найти его проекцию на ось u, составляющую с координатными осями равные острые углы.

Решение:  Т. к. ось u составляет с координатными осями равные острые углы, т. е. , то .

Но , и т. к. в этой сумме все слагаемые между собой равны, то ; ; , тогда  (знак плюс перед корнем взят потому, что по условию углы a, b, g - острые, значит косинусы их положительны). Т. к. по условию , , , то по формуле получаем .

 

Лекция №8. Векторное произведение двух векторов. Смешанное произведение трех векторов.

Задачи

Задача 1. Раскрыть скобки и упростить выражение .

Решение: Используя свойства векторного произведения (формулы 4, 5), получаем ,

т. к. , , , .

Задача 2. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах  и , где  - единичные векторы, образующие угол .

Решение:

, т. к. , ,

Задача 3. Найти векторное произведение векторов  и .

Решение: По формуле (7) имеем

Задача 4. Найти площадь треугольника, координаты вершин которого известны: , , .

Решение:

Рассмотрим векторы  и . Площадь треугольника ABC есть половина площади параллелограмма, построенного на векторах  и .

, .

Найдем проекции векторов  и  на координатные оси:

,

По формулам (7) для векторного произведения векторов найдем, что

Объем треугольной пирамиды

.

Замечание1.

Знак перед определителем должен быть выбран так, чтобы объем V был положительным.

Замечание 2.

Предполагается, что векторы , и  не лежат в одной плоскости (некомпланарны).

Задачи.

Задача 1. Вектор  перпендикулярен к векторам и , угол между и  равен . Зная, что , , , вычислить .

Решение:

Рис. 1                         Рис. 2

По условию задачи тройка векторов , ,  может быть правой (Рис. 1) или левой (Рис. 2).

, где , .

По условию задачи .

Угол  (Рис. 1),  (Рис. 2), следовательно, . Тогда .

Задача 2. Даны координаты вершин пирамиды , ,  и . Определить ее объем.

Решение:

Рис. 3

Рассмотрим три вектора: , , . Найдем объем пирамиды по формуле (9)

В правой части выбран знак минус, так как определитель отрицателен.

Задача 4. Показать, что точки , ,  и  лежат в одной плоскости.

Решение:

Рассмотрим три вектора , и .

Находим смешанное произведение векторов:

(Элементы первого и третьего столбцов пропорциональны).

Поскольку , то векторы компланарны, т. е. точки A, B, C, D лежат в одной плоскости.

II. Векторная алгебра

Лекция № 6. Понятие вектора. Проекции вектора.

Определение: Вектор – это направленный отрезок прямой. Вектор обозначается обычно двумя буквами, сначала пишется буква, указывающая начало, а потом, буква, указывающая конец вектора. Вектор обозначается  или .

Рис. 1

 

Определение: Длина вектора называется его модулем и обозначается символом  или .

Определение: Вектор, длина которого равна нулю, называется нулевым вектором. Нулевой вектор направления не имеет. Обозначается  - нулевой вектор.

Определение: Вектор, длина которого равна единице, называется единичным вектором и обозначается  - единичный вектор

Определение: Векторы, расположенные на одной прямой или параллельных прямых, называются коллинеарными. (Рис. 3)

 

Рис. 2

Определение: Два вектора называются равными, если они:

1. имеют равные модули

2. коллинеарны

3. направлены в одну сторону (Рис. 3)

Рис. 3

или

 

Определение: Вектора называются противоположными, если они:

1. имеют равные модули

2. коллинеарны

3. направлены в противоположную сторону(Рис. 4)

 и  - противоположные векторы или  и

Рис. 4

 

Определение: Три вектора в пространстве называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или параллельны некоторой плоскости. (Рис. 5)

Рис. 5

Определение: Проекцией вектора  на ось l, называется длина отрезка , заключенного между проекциями начала и конца вектора на эту ось. Эта длина берется со знаком плюс, если направление отрезка  совпадает с направлением оси, и со знаком минус, если его направление противоположно направлению оси.

Проекция вектора на ось положительна, если вектор образует с осью острый угол и отрицательна, если вектор образует с осью тупой угол. (Рис. 6)

 

Рис. 6

Проекции вектора на координатные оси называют также его (декартовыми) координатами.

Координаты вектора равны разностям соответствующих координат его конца и начала.

Если для вектора  известны координаты его начала и координаты его конца , то проекции вектора  на оси координат определяются по формулам

б

 

Модуль вектора равен арифметическому значению квадратного корня из суммы квадратов его проекций.

Модуль вектора через его проекции на оси прямоугольной системы координат вычисляется по формуле:

 

Если вектор  исходит из начала координат, а его конец М имеет координаты , то тогда его проекции на координатные оси равны координатам его конца: .

Определение: Радиус – вектор точки  обозначается через . Модуль радиус - вектора точки  вычисляется по формуле

 - называют направляющими косинусами вектора .

Рис. 7

Если a, b, g - углы, образованные вектором  с координатными осями OX, OY, OZ прямоугольной системы координат, то проекции вектора  на координатные оси будут равны

Сумма квадратов направляющих косинусов ненулевого вектора равна единице . Данное равенство позволяет определить один из углов a, b, g, если известны два других.

Координатами единичного вектора  являются числа , т. е.

Задачи

Задача 1. Вектор  задан координатами своих концов А и В: ; . Найти проекции вектора  на координатные оси и его направляющие косинусы.

Решение: Проекции вектора  на координатные оси находим по формулам (4):

, , .

Длина вектора  определяется по формуле: .

Направляющие косинусы: ; ; .

Задача 2. Дан модуль вектора  и его углы с осями координат: , а g - тупой угол. Вычислить проекции этого вектора на координатной оси.

Решение: Используем формулу (9) для определения .

Так как g - тупой угол, следовательно, . Проекции вектора  на оси координат находим по формулам (8):

.

Линейные операции над векторами.

Под линейными операциями над векторами понимают операции сложения и вычитания векторов, а также умножение вектора на число.

Пусть  и  - два произвольных вектора. Возьмем произвольную точку О и построим вектор ; затем от точки А отложим вектор . Вектор , соединяющий начало первого слагаемого вектора с концом второго называется суммой этих векторов  и  и обозначается . (Рис. 1)

Рис. 1

Это правило сложения векторов называют правилом треугольника.

Сумму двух векторов можно построить также по правилу параллелограмма. Отложим от точки О векторы  и . Построим на этих векторах как на сторонах параллелограмм OACB. Вектор , служащий диагональю параллелограмма, проведенной из вершины О, является суммой векторов . (Рис. 2)

Рис. 2

Модуль вектора  вычисляется по формуле

Разностью двух векторов  и  называется третий вектор , сумма которого с вычитаемым вектором  дает вектор , т. е. . (Рис. 3)

Если на векторах  и , отложенных из общей точки О, построить параллелограмм, то вектор , совпадающий с одной диагональю параллелограмма, исходящей из точки О, равен сумме , а вектор , совпадающий с другой диагональю равен разности . (Рис. 4).

Рис. 4

Модуль вектора  вычисляется по формуле

При умножении вектора  на скаляр (число) l получается вектор : .

Полученный вектор  удовлетворяет следующим условиям:

1.

2. вектор  коллинеарен вектору

3. , если l > 0

4. , если l < 0

Замечание.

Т. к. вектор  коллинеарен вектору , то в дальнейшем условие коллинеарности векторов будем записывать в виде .

При умножении вектора  на скаляр (число) l получается вектор :