Последовательное соединение.

Рис. 1.8. Последовательное соединение сопротивлений

Как указывалось, схема рис. 1.7 представляет собой последовательное соединение участков цепи ab и bc. Эту схему можно представить так, как показано на рис. 1.8, где R _ab — сопротивление, эквивалентное сопротивлению участка ab; R _bc — сопротивление, эквивалентное сопротивлению участка bc. Полученная схема представляет собой последовательное соединение сопротивлений.

Рассмотрим свойства последовательного соединения сопротивлений.

I. Ток в любом сечении последовательной цепи одинаков. Это объясняется тем, что ни в одной точке такой цепи не может происходить накопления зарядов.

II. Согласно закону сохранения энергии, напряжение на зажимах цепи равно сумме напряжений на всех ее участках: U = U _ab +U _bc. В общем виде

      U = Σ U                                                                  (1.13)

III. Согласно закону Ома для участка цепи можно записать U _ab = IR _ab; U _bc =IR _bc Поделив приведенные равенства одно на другое, получим U _ab /U_bc = R_ab/R_bc, т. е. напряжения на участках цепи при последовательном соединении прямо пропорциональны сопротивлениям этих участков.

Из этого очень важного свойства вытекают условия перераспределения напряжений на участках цепи при изменении сопротивлений этих участков.

IV. В общем случае, если имеется п последовательно соединенных сопротивлений, согласно второму свойству, U=U _l +U ₂ +...+U _n. Тогда IR _эк= IR ₁+ IR ₂ +...+IR _n или, сократив на I,

R _эк =R _l +R ₂ +...+R _n.                                                      (1.14)

В общем виде R _эк = Σ R.

Параллельное соединение.

Схема рис. 1.8 представляет собой последовательное соединение участков цепи ab и bс. В свою очередь, эти участки представляют собой параллельное соединение сопротивлений. Выясним свойства такого соединения сопротивлений.

I. Рассмотрим соотношение токов, например, для узла а цепи. Очевидно, что ток, приходящий к узлу, равен току, уходящему от узла: I - I ₁ - I ₂ = 0. В общем виде

                      Σ I =0.                                                               (1.15)

Это уравнение отражает первый закон Кирхгофа: алгебраическая сумма токов ветвей для любого узла электрической цепи равна нулю.

Первый закон Кирхгофа является следствием закона сохранения заряда, согласно которому в узле заряд одного знака не может ни накапливаться, ни убывать.

При составлении уравнения для какого-либо узла цепи необходимо иметь в виду, что токи, направленные к узлу, условились брать со знаком плюс, а токи, направленные от узла,— со знаком минус.

II. При параллельном соединении все ветви одним полюсом присоединяют к одному узлу, а другим — к другому. Так как потенциалы этих узлов фиксированы, то и разность их фиксирована и одинакова для всех ветвей, входящих в соединение.

Применительно к схеме рис. 1.8 получим U₁=U₂=U _ab; U₅=U₄=U₃=U _bc, т.е. при параллельном соединении сопротивлений напряжения на ветвях одинаковы.

III. Применим закон Ома для всех ветвей параллельного разветвления на участке bс. Тогда U _bc= I ₃ R ₃= I ₄ R ₄= I ₅ R ₅, откуда

             I ₃/ I ₄= R ₄/ R ₃ и I ₃/ I ₅= R ₅/ R ₃.                                          (1.16)

Таким образом, при параллельном соединении токи ветвей обратно пропорциональны их сопротивлениям.

IV. Во многих случаях рассчитывают не исходные сложные, а упрощенные (эквивалентные) схемы замещения. Под схемой замещения понимают такую схему, которая обеспечивает неизменность режимов работы во всех ветвях электрической цепи.

Часто приходится прибегать к замене резистивных элементов, соединенных сложным образом, одним, сопротивление которого равно общему сопротивлению исходных элементов. Найдем эквивалентное сопротивление при параллельном соединении ветвей, подключенных к узлам b и с (рис. 1.8).

Согласно первому закону Кирхгофа, для узла b справедливо равенство

                   I ₃= I ₃+ I ₄+ I ₅.                                                  (1.17)

Вместе с тем согласно закону Ома и условию эквивалентности можно записать I ₃= U _bс /R ₃, I ₄ = U_{b с} / R ₄, I ₅ = U _bс / R ₅, I = U _bc / R _эк. Подставляя эти выражения в (1.17), получим Ubc/Rэк=Ubc/R₃+Ubc/R₄+Ubc/R₅, откуда

    1/ R _эк=1/ R ₃+1/ R ₄+1/ R ₅.                                               (1.18)

Переходя от сопротивлений участков к их проводимостям, определим

      gэк = g3 + g4 + g5.                                                           (1.19)

В общем виде g_эк =Σg.

При параллельном соединении эквивалентная, или общая, проводимость равна сумме проводимостей всех параллельных ветвей.

Определенный интерес для практики представляют два частных случая: 1) соединение состоит из двух ветвей с различными сопротивлениями; 2) соединение состоит из п ветвей с одинаковыми сопротивлениями. В первом случае, применяя формулу(1.18), найдем

     R _эк= R ₁ R ₂/(R ₁+ R ₂),                                                 (1.20)

во втором: R _эк = R/n.                                                        (1.21)

Смешанное соединение.

Смешанное соединение представляет собой комбинацию параллельного и последовательного соединений сопротивлений. Определим по схеме рис. 1.7 токи и напряжения на всех участках цепи. Пусть напряжение на зажимах цепи U и сопротивления ее участков заданы.

Эквивалентное сопротивление цепи R эк = R ab + R bc,

 где R _ab = R ₁ R ₂ / (R ₁+ R ₂); 1/R _bc =1/R ₃ +1/R ₄ +1/R ₅.

Общий ток источника I = U / R _эк, напряжения на участках а b и bc U _{а b} =IR _ab; U _bc = IR _bc.

Токи в соответствующих ветвях: I ₁ = U _{а b} /R ₁;   I ₂ = U _{а b} /R ₂; I ₃ =U _bc /R ₃;   I ₄ =U _bc /R ₄;   I ₅ =U _bc /R ₅.

Законы Кирхгофа

 

Не все электрические схемы можно свести к параллельным и посдедователь- ным соединениям. Например, схема,представленная на рис. 1.9.)

Рис. 19.

Любую схему можно рассчитать с помощю законов Кирхгофа.

 

Густав Роберт Кирхгоф (нем. Gustav Robert Kirchhoff; 12 марта 1824, Кинигсберг — 17 октября 1887, Берлин) — один из великих физиков XIX века, автор фундаментальных законов электротехники, названных его именем.

Родился 12 марта 1824 года в Кинигсберге, столице и культурном центре Пруссии; с 1842 по 1846 г. изучал математику и физику в Кинигсбергском университете, а в 1847 году уже выступил в качестве приват-доцента в Берлине; в 1850—1854 гг., в качестве экстраординарного профессора, читал лекции в Бреслау, затем до 1874 года исполнял должность ординарного профессора в Гейдельберге, откуда в 1875 году перешЈл в Берлин; в 1875 году избран членом берлинской академии, с 1862 года состоял членом-корреспондентом Санкт-Петербургской академии наук. Скончался великий физик в Берлине 17 октября 1887 году

 

Рассмотрим законы Кирхгофа применительно к лабораторной работе «Расчет линии передачи постоянного тока» (рис.20):

 

Рис. 20

где: E – источник постоянного тока;

      A ₁, A ₂, A ₃ – амперметры для измерения тока потребителей;

R ₁, R ₂, R ₃ – сопротивления потребителей;

R _1Л, R _2Л, R _3Л – сопротивления линий передач.

 

I закон Кирхгофа: «Алгебраическая сумма токов в узле (сумма входящих и выходящих из узла токов) равна нулю

 = 0,                                                                 (1.22)

где n – количество ветвей в узле;

I _m- ток в m -том узле (входящие в узел токи обычно берутся с положительным знаком, выходящие – с отрицательным).

По первому закону Кирхгофа можно составить n – 1 линейно независимых уравнений.

Рис. 21

II закон Кирхгофа: Падение напряжения вдоль замкнутого контура электрической цепи равно сумме ЭДС, включенных в выбранный контур.

 = ;                                                         (1.23)

где: U _i – падение напряжения на i -том сопротивлении выбранного контура с учетом направления обхода контура;

    n – количество сопротивлений в контуре;

   E _k – величина ЕДС k-го источника, знак ЕДС определяется направлением обхода контура;

   m – количество источников ЭДС в контуре.

При составлении уравнений по второму закону Кирхгофа для того, чтобы уравнения были линейно независимыми, замкнутые контура выбираются таким образом, чтобы контура проходили через все элементы схемы, и каждый контур содержал хотя бы один элемент, не содержащийся в других контурах. Примеры выбора контуров обхода приведены на рис. 22.

Рис. 22. Примеры выбора контуров обхода