Основные уравнения электрического поля

Первый закон Кирхгофа   

, .

Tок проводимости, протекающий через поверхность ,

.

Закон Ома в дифференциальной форме

.

Закон Джоуля-Ленца

.

Разность потенциалов между двумя точками

.

 

Задачи

8.1. Вычислить шаговое напряжение  для полусферического за-землителя. Сила тока =100 А; проводимость земли = 10 ^-2 См/м; длина шага = 0,8 м (рис. 8.1).

Рис. 8.1                                                 Рис. 8.2

8.2. Определить сопротивление растекания  сферического за-землителя радиусом , зарытого в землю на глубину . Удель­ная проводимость земли равна . Ток, текущий к заземлителю, равен   (рис. 8.2).      

8.3. Вычислить плотность тока утечки и напряженность магнитно­го поля:          

а) сферического конденсатора, заполненного диэлектриком с диэ­лектрической проницаемостью  и проводимостью , если разность потенциалов между обкладками равна ,  а радиусы обкладок -   и ;

Рис. 8.3

б) цилиндрического конденсатора длиной . Краевым эффектом пренебречь. Радиусы обкладок -   и .

8.4. Вычислить плотность тока утечки и мощность тепловых по­терь плоского двухслойного конденсатора, заполненного диэлектриком с параметрами, указанными на рис. 8.3. Площадь пластин конденсатора . Разность потенциалов между обкладками равна . Краевым эффек­том пренебречь. При этом =3; =10^-8 См/м; = 6; = 2×10^-8 См/м; = =2 см; =50 см²; =120 В.

Рис. 8.4

8.5. Определить сопротивление растекания цилиндрического заземлителя. Удельная проводимость земли равна  (рис. 8.4); =2 м; =5 см; =10^-2 См/м.

8.6. Определить ток утечки коаксиального кабеля на 1 км длины. Пространство между жилой и оболочкой заполнено неидеальным диэлект­риком с проводимостью =10^-10 См/м, радиус жи­лы - , радиус оболочки  (  - основание натуральных логарифмов). Напряжение между жилой и оболочкой 10 кВ.

Рис. 8.5

8.7. Медный провод диаметром 1 см заменен стальным так, что при частоте 500 кГц сопротивление обоих проводов стало одинаковым. Найти диаметр стального провода, если удельные проводимости меди и стали равны соответственно 5,8×10⁷ и 1×10⁷ См/м, а отно­сительная магнитная проницаемость стали равна 1000.

8.8. Диэлектрик коаксиального кабеля имеет удельную проводи­мость   См/м. Разность потенциалов между внутренним и внешним про­водниками кабеля . Радиус внутреннего проводника , внутренний радиус трубы  (рис. 8.5). Найти сопротивление изоляции отрезка кабеля длиной ,  ток утечки в том же отрезке, мощность тепловых потерь. Построить кривую .

8.9. К плоскому конденсатору, расстояние между обкладками ко­торого равно , а площадь каждой - , подведено напряжение . Удель­ная проводимость диэлектрика . Найти сопротивление изоляции, ток утечки, мощность тепловых потерь, если = 5 мм;  = 50 см²; =10 ^-10 См/м; =500 В.

 

9. ПЛОСКИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ

 

Плоской однородной называют волну, поверхность равных фаз ко­торой представляет собой семейство плоскостей, перпендикулярных к направлению распространения волны, а амплитуды векторов поля во всех точках волнового фронта неизменны. Комплексные амплитуды  и  плоской однородной волны удовлетворяют однородным волновым уравнениям Гельмгольца

             ;               (9.1)

и в случае отсутствия потерь могут быть представлены в виде

  , , ,        (9.2)

где   - волновое число;  - круговая частота;  - волновое сопротивление среды;  - координата точки на направлении, вдоль которого расп­ространяется волна.  

Векторы поля  и  перпендикулярны друг к другу и направлению расп­ространения волны, они колеблются в фазе и образуют с вектором Пойнтинга правую винтовую тройку. Вектор Пойнтинга является чисто вещественной величиной. Среднее за период значение его величины равно  

                 .           (9.3)

Фазовая скорость и скорость переноса энергии плоской однородной волны совпадают со скоростью света в данной среде:

             , ,                  (9.4)

где  - плотность энергии электрического и магнитного полей, равная

                           .                           (9.5)

При распространении плоской однородной волны в среде с потерями волновое число  становится комплексной величиной               

,

где   - коэффициент фазы;

 -  коэффициент затухания;  - тангенс угла электрических потерь.     

Комплексные амплитуды векторов поля и  плоской однородной вол­ны в среде с потерями при условии ориентации вектора  вдоль оси   декартовой системы координат в среде могут быть представлены в виде

              .             (9.6)

Поверхности равных фаз и равных амплитуд совпадают, отношение комп­лексных амплитуд векторов и  остановится величиной комплексной

                     ,                     (9.7)

что говорит о том, что между векторами и  имеет место сдвиг по фазе, равный по величине  и меняющийся в пределах от 0 до  в зависимости от величины удельной проводимости среды . Фазовая скорость становится меньше скорости света     

                    ,          (9.8)

причем имеет место зависимость фазовой скорости от частоты. Такое свойство носит название дисперсии, а среды, обладающие таким свойс­твом, называются диспергирующими. Вектор Пойнтинга в этом случае оказывается комплексной величиной                   

                  .                 (9.9)

Комплексная амплитуда плоской однородной волны, распространяю­щейся в произвольном направлении  (рис. 9.1), может быть представле­на в виде 

,     (9.10)

где  - координаты точки наблюде­ния ;  - углы, образованные направ­лением распространения волны и соответ­ствующими осями декартовой системы ко­ординат.

 

 

Рис. 9.1

а                                                         б                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                             Рис. 9.2

При падении плоской однородной волны на плоскую границу раз­дела сред коэффициенты отражения  и прохождения  определяются формулами Френеля. При этом следует различать нормально поляризованную волну -  вектор перпендикулярен к плоскости падения (рис. 9.2,а) - и параллельно поляризованную волну -  вектор паралле­лен плоскости падения (рис. 9.2,б). Под плоскостью падения понимают плоскость, проходящую через нормаль к границе раздела и направле­ние распространения волны.

Для нормально поляризованной волны формулы Френеля имеют вид

                                              (9.11)

для параллельно поляризованной соответственно

                                                       (9.12)

В приведенных выше формулах - угол падения;  - угол преломления. Связь между ними устанавливается законами Снеллиуса:

1) угол падения равен углу отражения   ;

2) отношение синуса угла преломления к синусу угла падения равно отношению показателей преломления сред

                            .                            (9.13)

 

Задачи

9.1. Плоская гармоническая линейно поляризованная электромаг­нитная волна распространяется в неограниченном пространстве в на­правлении . Диэлектрическая проницаемость среды , магнит­ная проницаемость . Удельная проводимость . Амплитуда напряженности электрического поля =50 мВ/м. Угловая частота =10⁸ 1/с. Составить уравнение волны и определить ее параметры. Определить величину и направление векторов , , плотности тока смещения . Найти мгновенные значения , ,  при =0, = 10^-8 с и =1 м.

9.2. В поле плоской волны с параметрами, указанными в предыду­щей задаче, расположена плоская рамка размерами . Найти величину ЭДС, которую наводит электромагнитная волна в этой рамке, если плоскость рамки перпендикулярна к .

9.3. Плотность потока мощности эллиптически поляризованной волны равна 20 Вт/м². Вычислить плотность потока мощности для орто­гональных компонент, если отношение осей эллипса поляризации 0,5, а сдвиг фаз между ортогональными составляющими 90°.

9.4. Измерения световой энергии показали, что через каждый квадратный сантиметр поверхности, перпендикулярной к солнечным лу­чам, проходит 1 Вт/с. Считая поток параллельных солнечных лучей плоской электромагнитной волной, определить напряженность электри­ческого и магнитного полей в вакууме.

Рис. 9.3

9.5. На пути волны выделен ку­бический объем со стороной =1 м (рис. 9.3). Найти, заключенную в нем среднюю энергию электромагнитного поля, если амплитуда вектора  со­ставляет 1 B/м.

9.6. Плоская электромагнитная волна распространяется в сухой почве с параметрами: удельная проводимость = 0,0010 См/м; диэлек­трическая относительная проницаемость =4. Определить коэффици­ент затухания, фазовую скорость и длину волны для частоты 15×10⁵ Гц. Найти расстояние, на котором амплитуда поля убывает в 100 раз.

9.7. Фазовая скорость плоской волны, распространяющейся в дис­тиллированной воде, вычисляется по формуле . Определить ошибку, которую мы совершаем при частоте =10⁸ Гц, не учитывая потери. Параметры среды:  Гн/м; = 81,1; =2×10^-4 См/м.

9.8. Две волны круговой поляризации правого вращения, имеющие одинаковые амплитуды, распространяются в противоположных направле­ниях вдоль оси . Записать аналитическое выражение для результирующего поля. Среда - вакуум.

9.9. Показать, что заданные выражения не описывают составляю­щие плоской волны в вакууме

, .

9.10. Записать мгновенное значение вектора Пойнтинга плоской волны =10⁷ рад/с, распространяющейся в среде с параметрами , , =2 См/м. Определить моменты изменения направле­ния вектора Пойнтинга волны на противоположное.

9.11. Определить параметры среды без потерь, в которой расп­ространяется волна, если =40 Ом; ;  - длина волны в вакууме.    

9.12. Вычислить коэффициенты затухания для меди и стекла на частотах =10 Гц, 10⁵ Гц, 10¹⁰ Гц; =5,6×10⁷ Cм/м; =10^-12 См/м.

9.13. Определить, на каком расстоянии от источника плотность потока мощности плоской волны уменьшается в 100 раз. Параметры сре­ды: ; ; =10^-2 См/м. Рабочая частота =10⁶ Гц.

9.14. Определить толщину экрана, ослабляющего напряженность поля на 60 дБ. Проводимость материала =10^-6 См/м; ; =10⁶ Гц.

9.15. Рассчитать толщину экрана из материала с проводимостью =10⁶ См/м, необходимую для ослабления напряженности электромаг­нитного поля на 30 дБ (1000 раз по мощности). Рабочая частота =10⁶ Гц, магнитная проницаемость , диэлектрическая проницаемость .

9.16. Из воздуха на медную пластину нормально падает волна с частотой =100 МГц. Напряженность поля = l А/м. Определить поле на границе пластины и мощность, поглощаемую пластиной на единице ее площади, если =5,6×10⁷ Cм/м; =10.

9.17. Плоская волна попадает из воздуха на плоскопараллельную пластину из полиэтилена ( =2,25). Найти угол наклона пластины к лучу, при котором параллельно поляризованная волна проходит пласти­ну без отражения. Показать, что полное прохождение имеет место на обеих плоскостях пластины. Найти коэффициент отражения нормально поляризованной волны от каждой из плоскостей пластины при этом же угле.  

 9.18. Длина волны, распространяющейся в воздухе, составляет 1 м. Какова длина волны на той же частоте  в меди, свинце? =5,6×10⁷ Cм/м; =0,48×10⁷ Cм/м.

9.19. Плоская электромагнитная волна распространяется в среде с параметрами ; ; =10^-2 См/м. Определить, во сколько раз уменьшится амплитуда поля волны на каждые 10 м пройден­ного расстояния. =10⁵ Гц.                

9.20. Определить, на каком расстоянии от начала координат амплитуда напряженности электрического поля уменьшится до 0,01 своего первоначального значения. Параметры среды: = 10, =1, =10⁸ Гц, =10^-2 См/м, (0, 0, 0)= 5×10^-3 В/м.                

9.21. Плоская электромагнитная волна распространяется верти­кально сверху вниз и падает на поверхность моря. Длина волны в воз­духе = 600м. Удельная проводимость морской воды 1 См/м. Опре­делить длину волны в воде, а также измененную скорость распростра­нения волны после прохождения через поверхность моря. На какую вол­ну необходимо настроить приемник под водой (если его шкала проградуирована в длинах волн) - на длину волны в воздухе или в воде?

9.22. Плоская волна падает нормально на бесконечную идеально проводящую плоскость. Результирующее поле

, ,

где .

Рис. 9.4

Вычислить: а) мгновенное и среднее значения вектора Пойнтинга в точках =0, , ; б) поверхностную плотность тока  в про­водящей плоскости. 

9.23. Плоская электромагнитная волна, распространяющаяся в среде с параметрами ; ; =0, падает нормально (угол па­дения равен нулю) на плоскую грани­цу раздела с идеальным проводником. Определить плотность поверхностного тока на граничной плоскости. Ампли­туда  падающей волны - (рис. 9.4).

9.24. Волна, поляризованная по кругу, падает на плоскую грани­цу раздела двух диэлектриков. Чему равняется отношение волновых сопротивле­ний сред, если отраженная волна линейно поляризована, а угол паде­ния =30°? Записать выражение для отраженной волны.

9.25. Плоская параллельно поляризованная волна распространяет­ся в воздухе и падает под углом  на плоскую границу раздела с идеальным проводником (рис. 9.5). Определить плотность поверхностно­го тока на граничной плоскости. Амплитуда падающей волны . 

9.26. Плоская нормально поляризованная электромагнитная волна распространяется в среде с параметрами ,   и падает под углом 45° на плоскую границу раздела с идеальным проводником (рис. 9.6). Определить плотность поверхностного тока на граничной поверхности, если амплитуда падающей волны .

Рис. 9.5                                         Рис. 9.6

 

10. ВОЛНОВОДЫ      

 

Волноводом называют полую металлическую трубу произвольного поперечного сечения. Наиболее часто используют прямоугольные или цилиндрические (круглые) волноводы. Ось волновода, как правило, совмещают с осью . Электромагнитное поле направляемой вдоль вол­новода волны представляют в виде

   , ,  (10.1)

где  - продольное волновое число.    

Электромагнитные волны в регулярных волноводах не являются поперечными. Различают электрические или -волны, имеющие продольную сос­тавляющую электрического поля  ( =0), и магнитные или -волны, имеющие продольную составляющую магнитного поля  ( =0). С учетом из уравнений Максвелла и (10.1) все поперечные составляющие векторов поля могут быть выражены через продольные; для случая прямоугольного волновода эта связь представляется в виде

,

                            ,                 (10.2)

,

                            .

Здесь  - поперечное волновое число, связанное с продольным волно­вым числом  соотношением                                      

                                            .                                   (10.3)

Полагая, что в (10.2) =0, получают поперечные составляющие векторов  и для волн ; полагая = 0, получают соответственно попе­речные составляющие для волн .

Продольные составляющие полей в регулярном волноводе получают­ся на основе решения однородного волнового уравнения Гельмгольца при соответствующих граничных условиях. Для волн

                 при ,                 (10.4)

 для волн

                при .            (10.5)

Отличные от нуля решения записанной выше краевой задачи получаются лишь при строго определенных значениях , которые называются собственными значениями данной краевой задачи. Они определяются только формой и размерами поперечного сечения волновода. В общем случае результирующее поле в волноводе представляет собой бесчисленную сумму волн всех возможных типов.                  

 Электромагнитная волна может распространяться в волноводе и эффективно переносить энергию, если частота  задающего генератора превышает некоторое критическое значение , называемое критичес­кой частотой, т.е. при условии

                           > или .                        (10.6)

Критическая длина волны  связана с критическим значением волно­вого числа , которое по величине совпадает с собственным значе­нием рассматриваемой краевой задачи  соотношением

                             .                          (10.7)

Продольное волновое число с учетом (10.3) равно     

           .  (10.8)

Длина волны в волноводе

                          .                   (10.9)

Фазовая скорость волны в волноводе    

                           ,                 (10.10)

где  есть скорость плоской однородной волны, распростра­няющейся в безграничной однородной среде с параметрами среды , , заполняющей волновод.

Групповая скорость определяется соотношением

                              .                   (10.11)

Соотношения (10.7)-(10.11) справедливы для регулярных волноводов любых сечений.

Для прямоугольного волновода    

                     ,            (10.12)

где  - размеры широкой и узкой стенок волновода;  - индексы волны, равные числу полуволн, укладывающихся вдоль соответственно широкой и узкой стенок волновода.

Для волн  продольная составляющая электрического поля по­лучается на основании решения краевой задачи (10.2) и имеет вид

            .             (10.13)

Поперечные составляющие поля  и  для этого типа волны получают­ся из (10.2) при условии .

Характеристическое сопротивление волновода для волн типа

                    ,              (10.14)

где  - сопротивление среды, заполняющей волновод.