Полярный и осевые моменты инерции геометрических фигур.

Осевые моменты инерции сечения относительно ортогональных осей Ох и Оу – это интегралы вида

J_x = ∫_Ay²dA

J_y = ∫_Ax²dA

Осевые моменты инерции всегда положительны.

Осевой момент сопротивления

W_x = J_x/y_max

W_y = J_y/x_max

(x_max;y_,max) – координата максимально удаленной точки сечения от оси х.

Для прямоугольных сечений осевой момент инерции и осевой момент сопротивления определяются в прямоугольной системе координат.

Осевые моменты инерции и сопротивления для прямоугольного поперечного сечения:

J_x = bh³/12

W_x = W_x = J_x/y_max, y_max = h/2 – координата максимально удаленной от оси х точки поперечного сечения.

W_x = bh²/6

Полярный момент инерции задается с помощью радиуса-вектора ρ и полярного угла. Полярным моментом инерции называется интеграл вида

J_p = ∫_Aρ²dA

W_p = J_p/ρ_max - полярный момент сопротивления

J_p = πR⁴/4 = πd⁴/64

W_p = J_p/R = πd³/32

 

Прочностные расчеты на сдвиг (срез).

Сдвиг – тип простой деформации стержня, при которой в его поперечных сечениях из внутренних силовых факторов действуют только силы в плоскости сечения. Эти силы называются поперечными (сдвигающими). Они вызывают касательные напряжения или напряжения сдвига. Такое нагружение соответствует действию на стержень двух равных противоположно направленных и бесконечно близко расположенных поперечных сил, вызывающих срез по плоскости, расположенной между силами. Срезу предшествует деформация – искажение прямого угла между двумя взаимно перпендикулярными линиями. При этом на гранях выделенного элемента возникают только касательные напряжения τ. Чистый сдвиг – напряженное состояние, при котором на гранях выделенного элемента возникают только касательные напряжения τ.

Величина a называется абсолютным сдвигом, угол γ, на который изменяются прямые углы элемента, называют относительным сдвигом,                      tg γ ~ γ = a/h.

Закон Гука при сдвиге. Рассмотрим равновесие мысленно отсеченной правой части стержня. Действие отброшенной левой части на правую заменим внутренними силами, равнодействующая которых приводит к поперечной силе Q, равной по величине внешней силе F.

Q = ∫_AτdA

Принимая, что касательные напряжения равномерно распределены по поперечному сечению площадью А, имеем

τ = Q/A = F/A

Экспериментально установлено, что в пределах упругих деформаций величина сдвига a пропорциональна сдвигающей силе F, расстоянию h, на котором происходит сдвиг, и обратно пропорциональна площади сечения А. Введем коэффициент пропорциональности G, зависящий от свойств материала. Закон упругости для сдвига:

а = Fh/GA

Закон Гука при сдвиге: τ = Gγ

G – модуль упругости при сдвиге

G = E/2(1+μ) = 0,4E

Чистый сдвиг в реальных конструкциях реализовать крайне сложно, так как вследствие деформации нагружающих элементов происходит дополнительный изгиб стержня даже при сравнительно небольшом расстоянии между плоскостями действия сил. Однако в ряде конструкций (заклепочные и сварные соединения) нормальные напряжения в сечениях деталей пренебрежимо малы по сравнению с касательными напряжениями. Такие детали условно рассчитывают на чистый сдвиг (срез). Условие прочности: τ = Q/A <= [τ]

[τ] – допускаемое напряжение на срез.

Условие прочности на срез (для болта):

τ = F/A = 4F/πd² <= [τ]

A_среза = πd²/4

 

Прочностные расчеты на смятие.

Смятие – местное сжатие, возникающее в зоне контакта элементов конструкции. Обычно сопровождается остаточными деформациями. Напряжение смятия является поверхностным напряжением. Если поверхностное напряжение достигает своего допускаемого значения, то разрушается поверхность объекта. В отличие от поверхностного напряжения, при объемных напряжениях происходит разделение объекта на части.

σ_смятия = F/A_смятия = F/δd <= [σ_смятия]

В качестве расчетной берется площадь, представляющая собой проекцию реальной площади на диаметральную плоскость.

 

Деформации при кручении.

Кручение – вид нагружения, при котором в поперечных сечениях стержня возникает единственный силовой фактор – крутящий момент М_к. Стержни, работающие на кручение, называются валами.

Кручение возникает под действием внешних моментов, действующих в плоскостях, перпендикулярных продольной оси вала. Внешние моменты передаются на вал в местах посадки на него шкивов, зубчатых колес, турбин.

Часто в технических задачах известны мощность, передаваемая валом, и число оборотов вала. По этим данным может быть вычислен внешний крутящий момент: М = N/ω.

После закручивания образующие цилиндра обращаются в винтовые линии большого шага; плоские сечения сохраняют свою форму после деформации; происходит поворот одного сечения относительно другого на некоторый угол, называемый углом закручивания; расстояния между поперечными сечениями практически не изменяются.

Таким образом, сечения, плоские до закручивания, остаются плоскими после закручивания; радиусы поперечных сечений при деформации остаются прямыми. Кручение стержня круглого поперечного сечения представляется как результат сдвигов, вызванных взаимным поворотом сечений.

 

Напряжения при кручении.  

Рассмотрим кручение стержня круглого поперечного сgечения. Крутящий момент М_к является результирующим моментом внутренних сил относительно оси Оz.

М_к = ∫_AτρdA, ρ – текущий радиус-вектор.

В любой точке сечения касательные напряжения τ направлены перпендикулярно к концентрическим окружностям, проведенным через эту точку радиусом ρ, и равны во всех точках, равноудаленных от центра сечения.

τ = Gρθ

М_к = GθJ_p

G – модуль сдвига

θ – относительный угол закручивания (угол закручивания на единицу длины)

J_p – полярный момент инерции

J_p = ∫_Aρ²dA

Касательные напряжения, действующие в нормальном сечении бруса:

τ = М_кρ/ J_p

Геометрической характеристикой стержня круглого сечения является полярный момент сопротивления: W_p = J_p/ρ_max, ρ_max = R, тогда

τ_max = М_к/ W_p

Для круглого сечения диаметром d:

J_p = πd⁴/32; W_p = πd³/16.