Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Геометрическое построение векторного произведения.
1) Если ненулевые векторы a и b ортогональны, то для геометрического построения вектора a × b достаточно совместить их начала и в плоскости, перпендикулярной вектору b, повернуть вектор а на 90° вокруг вектора b по ходу часовой стрелки, а затем умножить повернутый вектор на | b |. 2) Чтобыгеометрически построить векторное произведение векторов a и b надо, совместив их начала, спроектировать вектор анна плоскость p, перпендикулярную вектору b. Полученную проекцию в плоскости, перпендикулярной вектору b, повернуть вокруг вектора b на 90°по ходу часовой стрелки, а затем умножить повернутый вектор на | b |. Алгебраические свойства векторного произведения. 1) a × b=-(b × a) – антикоммутативность; 2) λ(a × b)=λa × b=a ×λ b сочетательное (ассоциативное) относительно числового множителя; 3) a ×(b + с)= a × b + a × с -распределительное (дистрибутивное ) относительно суммы векторов; 4) a × а = 0 (a × а = |а||а| sin 0=0); Доказательства. 1) Пусть с = a × b, d =b × a. Если векторы a и b коллинеарны, то с = d =0. Если a и b не коллинеарны, то векторы с и d имеют одинаковую длину (|а||b| sinφ) и коллинеарны (т.к. оба ортогональны плоскости, определяемой векторами a и b). Но тогда либо с = d, либо с =- d. Если бы с=d, то обе тройки abc и bac были бы правыми, но они противоположной ориентации. Поэтому c=-d. ч.т.д. 2) Положим с=λ(a × b), d = λa × b. Исключим тривиальные случаи, когда вектор а коллинеарен вектору b или когда l=0. в этом случае с = d =0. Обозначим j= , y= . По определению длины векторного произведения и произведения вектора на число можно утверждать, что | с | = | l || a || b | sin y | d | = | l || a || b | sin j (10) Возможны 2 случая 1) j=y (когда l>0 и векторы а и l а направлены в одну сторону). 2) y=p-j (когда l<0 и векторы а и l а направлены в одну сторону). В обоих случаях sin y=sin j и в силу (10) |с|=|d|, т.е. векторы c и d имеют одинаковую длину. Далее, очевидно, что векторы c и d коллинеарны, т.к. ортогональность к плоскости, определяемой векторами l а и b, означает ортогональность и к плоскости, определяемой векторами а и b. Для доказательства равенства векторов c и d проверим, что эти векторы имеют одинаковое направление. Пусть l>0 (l<0), тогда векторы а и l а одинаково направлены (противоположно направлены), и, следовательно, векторы a × b и λa × b также одинаково (противоположно) направлены, а это означает, что векторы d =λ(a × b) и с= λa × b всегда одинаково направлены. ч.т.д.
3) – без доказательства. 4) – следует из того, что вектор а коллинеарен самому себе. Выражение векторного произведения через координаты векторов. Теорема 7. Если два вектора определены своими декартовыми прямоугольными координатами а ={x1, y1, z1 }, b ={x2, y2, z2 }, то их векторное произведение имеет вид: a×b ={y1z2-z1y2,z1x2-x1z2, x1y2-y1x2} (11) a×b = (11¢) Доказательство. В частности, i × i = j × j = k × k =0. i×i = j×j = k×k =0. i × j = k i × k =- j j × i =- k j×k = i k×i = j k×j =- i a×b =(x1 i +y1 j +z1 k)×( x2 i +y2 j +z2 k)= x1x2 i×i +x1y2 i×j +x1z2 i×k +y1x2 j×i +y1y2 j×j +y1z2 j×k +z1x2 k×i +z1y2 k×j +z1z2 j×j =0+x1y2 k +x1z2 (-j)+ y1x2 (-k)+ 0+y1z2 i+ z1x2 j+ z1y2 (- i)+ 0= =(y1z2-z1y2) i - (x1z2- z1x2) j +(x1y2 - y1x2) k = = a×b Если последний определитель равен 0, то либо один из векторов равен 0, либо векторы коллинеарны, т.е. их координаты пропорциональны. Пример. Найти векторное произведение векторов а =(1;3;4), b =(2;1;0) a×b =-4 i -8 j -5 k. Следствие. Если два вектора а ={x1, y1, z1 }, b ={x2, y2, z2 } коллинеарны, то их координаты пропорциональны, т.е. . Доказательство. Из равенства нулю векторного произведения следует: y1z2=z1y2, x1z2=z1x2, x1y2=y1x2, а это эквивалентно доказываемым пропорциям.
|
|||||
Последнее изменение этой страницы: 2020-12-09; просмотров: 49; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.190.153.63 (0.008 с.) |