Матрица парных сравнений. Калибровки

Рассмотрим структуру основного объекта, используемого в МАИ – матрицу парных сравнений и наиболее типичные ограничения.

В исследованиях методов построения оценок было показано, что практически все методы построения предпочтений экспертов можно свести к последовательным оценкам парных сравнений.

При этом такие оценки удобно представить в виде матрицы парных сравнений, представленной на рисунке 5.1, где элементы a_ij соответствуют степени предпочтения i -го элемента по отношению к j -му.

При этом считается заданным либо множество вариантов, либо множество характеристик вариантов (элементов) X = { x ₁,..., x_n }, которые сравниваются попарно с точки зрения их предпочтительности, важности, желательности и т.п. Матрица парных сравнений отражает бинарное отношение предпочтения/безразличия на множестве X.

 

xj xi	x 1	x 2	x 3	...	xn
x 1	a 11	a 12	a 13	...	a 1 n
x 2	a 21	a 22	a 23	...	a 2 n
x 3	a 31	a 32	a 33	...	a 3 n
...				...
xn	an 1	an 2	an 3	...	ann

Рис. 1. Матрица парных сравнений

Такой матрице соответствует орграф G, у которого дуга из вершины i в вершину j проводится в том случае, если элемент x_i превосходит x_j. Кроме того, дуга нагружается (взвешивается) соответствующим элементом a_ij. Такой граф не содержит кратных дуг.

Симметричные элементы матрицы парных сравнений a_ij и a_ij должны выбираться равными, если соответствующие объекты равноценны или несравнимы (далее мы не будем различать эти случаи), если же x_i > x_j, то a_ij должно быть больше a_ji. Кроме этих условий, на элементы матрицы A обычно накладываются дополнительные калибровочные ограничения, однозначно связывающие попарно симметричные элементы a_ij и a_ji.

Рассмотрим основные типы таких калибровок.

1) Калибровка простой структуры (ПС).

Элементы A таковы, что i ¹ j,                     (1)

Диагональные элементы при этом обычно не фиксируются и могут быть любыми, но нередко дополнительно оговаривается, что  (что позволяет считать ПС разновидностью упоминающейся далее турнирной калибровки).

Интерпретация: a_ij – индикатор факта превосходства одного объекта над другим или их равноценности (несравнимости).

2) Турнирная калибровка (Т):

Для элементов A выполняется:

a_ij ³0; a_ij + a_ji = c.                                    (2)

Интерпретация: a_ij – число очков, набранных объектом («игроком») x_i во всех сравнениях («встречах») с x_j; число c = const при этом может интерпретироваться как количество таких сравнений (встреч). Нередко дополнительно постулируется целочисленность матрицы A.

3) Степенная калибровка (С):

Для элементов A выполняется:

a_ij >0; a_ij ´ a_ji = 1.                                                 (3)

Интерпретация: объект x_i превосходит в парном сравнении объект x_j в a_ij раз.

4) Кососимметрическая калибровка (К):

a_ij + a_ji = 0.                                                   (4)

Интепретация: объект x_i превосходит в парном сравнении объект x_j на a_ij.

5) Вероятностная калибровка (В):

0 £ a_ij £ 1; a_ij + a_ji = 1.                                         (5)

Интерпретация: a_ij – вероятность превосходства x_i над x_j.

При использовании ограничений – калибровок, количество парных сравнений уменьшается с n ² до , что очень важно с точки зрения стоимости и времени проведения экспертизы.

Отметим, что в МАИ используется степенная калибровка матрицы парных сравнений.