Окремий випадок теореми про рівновагу

Якщо страхова компанія повністю відшкодовує актив клієнтові у разі страхового випадку, тобто, коли q =1, то маємо простий, але важливий наслідок з теореми про рівновагу.

Якщо q =1, то

                                       (6)

                                   (7)

                          (8)

причому

                                 (9)

 

Імовірність страхового випадку та реакція клієнта страхової компанії

Розглянемо вплив імовірності страхового випадку на обсяг страхування клієнта. Дослідимо простий випадок, коли q =1 (хоча всі висновки зберігаються й для більш загального випадку).

Із несхильності до ризику особи, яка страхується, а звідси ‑ з увігнутості його функції корисності випливає:

(коли r < 1 ).

Звідси:

Характер поведінки клієнта страхової компанії залежатиме від того, в якому інтервалі

                                     (10)

                                 (11)

чи

                                      (12)

перебуватиме величина .

Неважко помітити, що  за фіксованого питомого платежу rспадає у разі зростання , причому  та

Отже, за достатньої близькості імовірності страхового випадку   до одиниці величина  буде малою й потраплятиме в інтервал (10), а отже, згідно з (7) клієнт страхуватиме свій актив повністю. Якщо ж   дещо зменшуватиметься, то величина   збільшуватиметься, поки не потрапить до інтервалу (11), а тоді, згідно з (8), клієнт не буде страхуватиактив повністю. За подальшого зменшення імовірності страхового випадку   величина   ще збільшиться й потрапить до інтервалу (12). У цьому разі, згідно з (6), людина вже не буде клієнтом страхової компанії.

 

АНАЛІЗ ТАКТИКИ СТРАХОВОЇ КОМПАНІЇ

Прибуток страхової компанії та його корисність

Прибуток страхової компанії ‑ це різниця між страховими внесками клієнтів та їх винагородами у разі страхових випадків. Звідси, прибуток страхової компанії є випадковою величиною, оскільки кожен клієнт може як збільшувати, так і зменшувати прибуток страхової компанії залежно від того, трапився чи ні страховий випадок.

Позначимо через s індекс клієнта страхової компанії. Їх кількість позначимо через N. Запровадимо спеціальну випадкову величину I_s ‑ індекс страховоговипадку клієнта s. I_s дорівнює 1, якщо має місце страховий випадок для клієнта s, і 0 у протилежному випадку. Тоді прибуток страхової компанії становитиме величину:

де  ‑обсяг страхування з боку клієнта s за питомого страхового внеску r та питомої страхової винагороди q.

Будемо виходити з того, що страхова компанія прагне до максимізації сподіваної корисності прибутку й обирає параметри страхування r, q саме з цих міркувань. Якщо через v позначити функцію корисності прибутку страхової компанії, то сподівана корисність прибутку дорівнюватиме:

Модель страхової компанії

Очевидно, що сподівана корисність прибутку компанії залежить від параметрів страхування r, q. Її метою є підбір параметрів страхування таким чином, щоб максимізувати сподівану корисність прибутку, тобто

                     (13)

де

      (14)

Запис (14) означає, що x_s (r, q)є розв'язком задачі:

   

(13), (14) ‑ досить складна задача. Безпосередньо з вигляду (13), (14) можна сказати напевно лише одне: для знаходження параметрів страхування з боку страхової фірми потрібна "золота середина". Перший імпульс, який може виникнути у недосвідченого менеджера страхової компанії ‑ зменшити страхову винагороду r та збільшити страховий внесок q. На цьому шляху може виникнути небезпека позбутись клієнтів взагалі і збанкротувати внаслідок надмірної жадібності. Страховій компанії не може бути добре, якщо буде погано її клієнтам.

Водночас завелика страхова винагорода та замалий страховий внесок можуть призвести також до банкрутства компанії, оскільки сумарна страхова винагорода може перевищити сумарний-страховий внесок.