Распределение энергии в спектре непериодического сигнала

Рассмотрим непериодический сигнал  физическим представлением которого будем считать электрическое напряжение на резисторе сопротивлением в 1 Ом.

Тогда энергия, выделяемая на этом резисторе

                                                                                         (14.1)

В предположении, что этот интеграл сходится, выразим энергию через модуль спектральной характеристики  сигнала  Квадрат этого модуля запишем в виде

                                                                         (14.2)

где

есть функция комплексно-сопряженная спектральной характеристике  сигнала

Тогда

После изменения последовательности интегрирования и использования обратного преобразования Фурье (13.3), т.е.

 получим

Окончательно имеем

Это соотношение известно как равенство Парсеваля. Оказывается, что энергию, выделяемую непериодическим сигналом за время его существования, можно определить, интегрируя квадрат модуля его спектральной характеристики в интервале частот .

Каждое из бесконечно малых слагаемых  которые соответствуют бесконечно малым участкам спектра, характеризуют энергию, которая приходится на спектральные составляющие сигнала, сосредоточенные в полосе частот от  до

 

СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ДЛИТЕЛЬНОСТЬЮ ИМПУЛЬСОВ

И ШИРИНОЙ ИХ СПЕКТРА

Анализируя спектр одиночного прямоугольного импульса, можно установить, что при увеличении его длительности  от  до  спектр сокращается от безграничного (дельта-функция) до одной спектральной линии в начале координат, которая соответствует постоянному значению сигнала. Это свойство сокращения ширины спектра сигнала при увеличении его длительности и наоборот справедливо для сигналов любой формы. Оно вытекает непосредственно из особенностей прямого и обратного интегрального преобразования Фурье, у которых показатель степени экспоненциальной функции в подынтегральных выражениях имеет переменные  и  в виде произведения.

Рассмотрим функцию определённой длительности и функцию  длительность которой при  будет в  раз меньше. Считая, что  имеет спектральную характеристику  найдем соответствующую характеристику  для :

                  (15.1)

где

Следовательно, спектр укороченного в  раз сигнала в  раз шире. Коэффициент  перед  изменяет только амплитуду гармонических составляющих и на ширину спектра не влияет.

Другой важный вывод, который также является прямым следствием Фурье-преобразования, заключается в том, что длительность сигнала и ширина его спектра не могут быть одновременно ограничены конечными интервалами, и, наоборот, сигнал с ограниченным спектром длится бесконечно долго. Справедливо соотношение

                                                                                               (15.2)

где длительность импульса; ширина спектра импульса; постоянная величина, зависящая от формы импульса (при ориентировочных оценках обычно принимают ).

Реальные сигналы ограничены во времени, генерируются и передаются устройствами, которые содержат инерционные элементы (например, емкости и индуктивности в электрических цепях), и поэтому не могут содержать гармонические составляющие сколь угодно высоких частот.

В связи с этим возникает необходимость ввести в рассмотрение модели сигналов, которые обладают как конечной длительностью, так и ограниченным спектром. При этом в соответствии с каким-либо критерием дополнительно ограничивается либо ширина спектра, либо длительность сигнала, либо оба параметра одновременно. В качестве такого критерия используется энергетический критерий, согласно которому практическую длительность  и практическую ширину спектра  выбирают так, чтобы в них была сосредоточена подавляющая часть энергии сигнала.

Для сигналов, которые начинаются в момент времени  практическая длительность определяется из соотношения

                                             (15.3)

где коэффициент, достаточно близкий к 1 (от 0,9 до 0,99 в зависимости от требований к качеству воспроизведения сигнала).

Принимая во внимание равенство Парсеваля при практической ширине спектра сигнала соответственно имеем

                                                             (15.4)

 

СПЕКТРАЛЬНАЯ ПЛОТНОСТЬ