Числовые и буквенные выражения.

АЛГЕБРА – это раздел математики, который изучает буквенные выражения.

Числовое выражение – это выражение, которое содержит только числа и знаки действия.  Пример, 30:5+7×(33 - 22).

Буквенное выражение – это выражение, которое содержит не только числа и знаки действия, но и буквы. Пример, 30: a +7×(33 - b).

Рассмотрим выражение 4 b: 4 – это числовой множитель, т.е. КОЭФФИЦИЕНТ, b – буквенный множитель.

Слагаемые называются подобными, если их буквенная часть одинаковая.

Пример: 12 а и 3 а, 4 x и 7 x, 15 b и 9 b.

Упростить выражение – это значит сложить (вычесть) коэффициенты, а буквенную часть оставить без изменения.

Пример, 2 a + 3 a =(2+3)×а=5а, 12 x - 9 x =(12 - 9)× x =3 x, 3 y + 4 y - y +5=(3+4 - 1) y +5=6 y +5.

Общий множитель – это число, на которое умножены все слагаемые данного выражения: 2 a +2 b =2(a + b), 35 x - 10 y = 5 ×7 x - 5 ×2 y =5×(7 x - 2 y)

Чтение выражения начинается с последнего действия: 2а-b – разность удвоенного числа а и числа b.

 

ЗАКОНЫ АРИФМИТИЧЕСКИХ ДЕЙСТВИЙ

Переместительный закон сложения:

от перемены мест слагаемых сумма не меняется.

  a + b = b + a.

Сочетательный закон сложения:

значение суммы не зависит от того, как сгруппированы слагаемые.

(a + b)+с= a +(b +с).

Переместительный закон умножения:

от перемены мест множителей произведение не меняется.

  a × b = b × a.

Сочетательный закон умножения:

значение произведения не зависит от того, как сгруппированы множители.

(a × b)×с= a ×(b ×с).

Распределительный закон относительно сложения:

чтобы число умножить на сумму, можно это число умножить на каждое слагаемое суммы и результаты сложить.

a ×(b +с)= a × b +а×с.

Распределительный закон относительно вычитания:

чтобы число умножить на разность, можно это число умножить на каждое слагаемое разности и результаты вычесть.

a ×(b -с)= a × b -а×с.

Уравнения.

Уравнение – это равенство, в котором есть хотя бы одна переменная.

Решить уравнение с одной переменной – это значит найти число, при подстановке которого получается верное числовое равенство.

Корень уравнения – это число, при подстановке которого получается верное числовое равенство.

Правила нахождения неизвестных.

1. Чтобы найти неизвестное слагаемое, надо из суммы вычесть известное слагаемое.

x +5=7        6+y=9

x=7 - 5       y=9 - 6

x=2                y=3

2. Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, надо к разности прибавить вычитаемое.

y - 4=5       

y =5 +4       

y=9

3. Чтобы найти неизвестное вычитаемое, надо из уменьшаемого с вычесть разность.

13 - z = 2

z =13 - 2

z=4

 

4. Чтобы найти неизвестный множитель, надо произведение разделить на известный множитель.

5а=30

а = 30:5

а=6

5. Чтобы найти неизвестное делимое, надо частное умножить на делитель.

x: 4=5       

y =5 ×4       

y=9

 

6. Чтобы найти неизвестный делитель, надо делимое разделить на частное.

24: y =8      

y =24:8      

y=3

Прямая. Отрезок. Луч.

Математический язык – это язык цифр, знаков, действий, символов, рисунков и чертежей.

ГЕОМЕТРИЯ – это раздел математики, который изучает свойства фигур.

Прямая – это линия, которая не имеет начала и конца.

                                                        а                       А

                                                                                                      В

 

На рис. изображена прямая а и прямая АВ.

Отрезок – это часть прямой, ограниченная двумя точками этой прямой.

На рис. изображен отрезок АВ.

Сравнение отрезков.

1. Отрезки равны, если они имеют одинаковую длину.

2. Отрезки равны, если при наложении их можно совместить.

 

Ломаная – это последовательное соединение отрезков, где отрезок – это звенья, а концы отрезков – это вершины.

Длина ломаной – это сумма длин всех звеньев ломаной.

Луч – это часть прямой, ограниченная с одной стороны какой-либо точкой этой прямой.

Координатный луч.

 

Координатный луч – это луч, на котором задано начало отсчета и показано направления увеличения чисел.

 

Координата точки – это число, которое соответствует точке координатного луча.

 

Геометрические фигуры.

Прямоугольник –это четырехугольник, у которого все углы прямые.

У прямоугольника противоположные стороны равны.

                                           А                                   В

                                      D                                    C

На рисунке изображен квадрат АВСD и диагонали прямоугольника ВС и АD.

В любом прямоугольнике есть две диагонали.

Диагональ – это отрезок, соединяющий две не соседние вершины. Диагональ делит прямоугольник на два равных треугольника.

Квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны.

                                            А               В

                                       D                 C

Фигуры равны, если при наложении их можно полностью совместить.

 

Окружность – это геометрическая фигура, каждая точка которой равноудалена от одной точки – центра.

Радиус окружности – это отрезок, соединяющий центр окружности с любой ее точкой. Радиус обозначается буквой r.

Диаметр окружности – это отрезок, соединяющий две точки окружности и проходящий через центр. Диаметр окружности обозначается буквой d.

Круг – это часть плоскости, ограниченная окружностью.

ЦИРКУЛЬ – инструмент для черчения окружностей и дуг окружностей

 

Угол – это геометрическая фигура, образованная двумя лучами (сторонами угла), имеющими одно начало (вершина угла).

Развернутый угол – это угол, стороны которого образуют прямую. Лучи, с помощью которых образован развернутый угол, называются дополнительными или противоположными.

ТРАНСПОРТИР – это инструмент, измеряющий углы.

Единица измерения углов – градус. Развернутый угол равен 180°.

Обозначение 1°, 1°=  развернутого угла.

Прямой угол – это угол, величина которого равна 90°

Острый угол – это угол, величина которого меньше 90°

Тупой угол – это угол, величина которого больше 90°

Биссектриса угла – это луч с началом в вершине угла, делящий угол пополам.

Свойство биссектрисы угла.

Каждая точка биссектрисы угла находится на одном расстоянии от сторон этого угла.

 

Треугольник — это геометрическая фигура, образованная тремя отрезками, которые соединяют три не лежащие на одной прямой точки. Три точки, образующие треугольник, называются вершинами треугольника, а отрезки — сторонами треугольника.

Равнобедренный треугольник – это треугольник у которого две стороны равны.

Равносторонний треугольник – это треугольник, у которого все стороны равны и все углы равны.

Правило треугольника

Сторона треугольника всегда меньше суммы двух других сторон.

Рассмотрим : АВ< AC + BC, AC < AB + BC, BC < AB + AC

Высота треугольника – это отрезок, проведенный из вершины угла к противоположной стороне под прямым углом.

h – высота

Формула площади треугольника:

Свойства углов треугольника

1) Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.

2) Сумма всех углов прямоугольного треугольника равна 180°.

3) Сумма углов любого треугольника равна 180°.

4) В равностороннем треугольники все углы равны 60°.

5) Против большего угла лежит большая сторона и, наоборот, против большей стороны лежит больший угол.

6) Против меньшего угла лежит меньшая сторона и, наоборот, против меньшей стороны лежит меньший угол.