Колебательный контур с затуханием

 

    Колебательный контур без сопротивления - это идеальная модель. Реально LC -контур всегда обладает некоторым сопротивлением R хотя бы за счет подводящих проводов. Рассмотрим LC -контур с сопротивлением R (рис. 4.3). Такой контур называется контуром с затуханием или LCR -контуром. При замыкании обкладок заряженного конденсатора в контуре начинаются колебания. Однако теперь при протекании электрического тока за счет сопротивления R контур нагревается. Энергия электрического поля, первоначально запасенная в конденсаторе, постепенно переходит во внутреннюю энергию провода, амплитуды колебаний всех электрических величин уменьшаются вплоть до полного прекращения колебаний.

    Дифференциальное уравнение затухающих колебаний некоторой физической величины  имеет вид

 

                                      (4.10)

 

Оно отличается от дифференциального уравнения гармонических колебаний (4.2) слагаемым (), учитывающим силы сопротивления, действующие на маятник. Коэффициент b называется коэффициентом затухания. Если величина  - смещение, её производная  - скорость, тогда слагаемое  отражает тот факт, что сила сопротивления пропорциональна скорости.

    В случае, когда затухание не слишком велико (выполняется условие ), решение дифференциального уравнения (4.10) имеет вид:

 

 ,                                 (4.11)

 

где  - амплитуда колебаний, уменьшающаяся со временем по экспоненциальному закону;  - начальная амплитуда колебаний;  - циклическая частота колебаний;  - собственная циклическая частота колебаний (частота, с которой колебался бы маятник, если бы сил сопротивления не было). Присутствие сил сопротивления уменьшает циклическую частоту колебаний и, соответственно, увеличивает период колебаний:

.

 

    Вернемся к электромагнитным колебаниям в LCR -контуре. Поскольку внешние ЭДС в цепи не действуют, сумма падений напряжений на отдельных элементах контура равна нулю

.

Учитывая, что , получим:

 

        .                         (4.12)

 

Уравнение (4.12) по форме совпадает с дифференциальным уравнением (4.10). Отсюда можно сделать два основных вывода.

1). Процесс в LCR -контуре представляет собой затухающие колебания, зависимость заряда конденсатора от времени подобна (4.11):

 

.                                    (4.13)

 

График функции (4.13) изображен на рис. 4.4. сплошной линией. Отдельно пунктирной линией показана зависимость амплитуды колебаний заряда от времени .

2) Сравнение коэффи­циентов уравнений (4.10) и (4.12) показывает, что соб­ствен­ная циклическая частота коле­ба­ний , а коэффициент затухания .

Сформулируем несколько определений параметров затухающих колебаний.

Время t, в течение кото­рого амплитуда колебаний уменьшается в e»2,72 раз, называется временем затухания или временем релаксации.

Отметим, что уменьшение амплитуды почти в 3 раза существенно, однако не означает полного прекращения колебаний.

Время затухания t есть величина, обратная коэффициенту затухания b:

 

.                                                  (4.14)

 

Докажем утверждение (4.14). Амплитуда колебаний в некоторый момент времени : . Через время t, т.е. в момент времени  амплитуда колебаний . По определению величины t

.

 

    Из формулы (4.14) следует, что . Таким образом, коэффициент затухания – это величина, обратная времени затухания, т.е. времени, за которое амплитуда уменьшается в е раз.

    Декрементом затухания   называется величина, равная отношению амплитуд следующих друг за другом колебаний:

 

                                           (4.15)

 

где  - амплитуда -го колебания,  -  амплитуда -го колебания.

Декремент затухания  связан с коэффициентом затухания  и периодом колебаний :

                                                   (4.16)

Докажем формулу (4.16). Пусть -е колебание происходит в некоторый момент времени , тогда . Поскольку ()-е и -е колебания разделены временным отрезком, равным периоду колебаний , то . Тогда .

    Логарифмическим декрементом затухания называется величина .    Из формулы (4.16) следует:

 

.                                       (4.17)

 

Пример 4.2. Определить число колебаний маятника за время затухания, если известен логарифмический декремент затухания .

    Решение. Число колебаний можно найти, разделив полное время колебаний (в данном случае время затухания ) на время одного колебания, т.е. на период : . Далее, используя формулу (4.14), получаем ответ: . Следствие: , т.е. логарифмический декремент затухания – есть величина, обратная числу колебаний за время затухания.

 

4.3. Вынужденные колебания в LCR -контуре

 

    Для того, чтобы поддерживать колебания в LCR -контуре, необходимо пополнять запасы энергии, непрерывно рассеиваемой в виде тепла на сопротивлении . Это можно с помощью воздействия на контур внешней периодической электродвижущей силы (рис. 4.5). При этом в контуре возникнут вынужденные колебания. Будем рассматривать синусоидальную ЭДС, т.е. ЭДС, зависящую от времени по закону синуса (или косинуса):

,

 

где  - циклическая частота колебаний ЭДС.

    Согласно второму правилу Кирхгофа сумма падений напряжений на отдельных элементах контура равна внешней ЭДС:

 

.

 

Обозначая  и учитывая, что , , получим

.                                (4.18)

 

Уравнение (4.18) называется дифференциальным уравнением вынужденных колебаний под действием синусоидальной ЭДС.

    С точки зрения математики уравнение (4.18) представляет собой линейное неоднородное (правая часть отлична от нуля) дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. Решение данного уравнения представляет собой сумму двух слагаемых

 

.

 

Первое слагаемое – общее решение однородного уравнения (с правой частью, равной нулю), второе слагаемое – частное решение неоднородного уравнения. Первое слагаемое в точности совпадает с уравнением (4.13) и представляет собой затухающие колебания заряда конденсатора с циклической частотой . Второе слагаемое соответствует собственным вынужденным колебаниям заряда с циклической частотой вынуждающей силы . Таким образом, в начальный момент времени колебания представляют собой сумму колебаний с частотами   и . Такой режим колебаний называется переходным. Первое слагаемое экспоненциально затухает за время по порядку величины, равное времени затухания . Переходный режим заканчивается и наступает режим установившихся вынужденных колебаний с частотой вынуждающей силы

 

.                                      (4.19)

 

Характеристики вынужденных колебаний  и a зависят, во-первых, от параметров вынуждающей силы  и , во-вторых, от параметров самой колебательной системы  и , но не зависят от начальных условий. Подставляя функцию  (4.19) в уравнение (4.18), можно найти выражение для амплитуды вынужденных колебаний  и величины a. Опуская математические выкладки, приведём конечные результаты:

 

    ,                                    (4.20)

 

 .                                           (4.21)

График зависимости  (4.20), показанный на рис. 4.6, называется резонансной кривой. Резонансная кривая имеет мак­симум. Максимальное значение амплитуды установившихся коле­баний достигается при резо­нанс­ной частоте , кото­рая при небольшом затухании мало отличается от собственной циклической частоты колебаний системы . Таким образом, резонанс наступает при условии совпадения частоты внешней синусоидальной силы и собственной частоты колебательной системы . Кривая 1 на рис. 4.6 относится к колебательной системе с меньшим затуханием. Чем меньше коэффициент затухания, тем ближе резонансная частота к собственной частоте системы и больше значение максимальной амплитуды, т.е. острее и уже пик резонансной кривой. Отметим, что ширина максимума на уровне  равна коэффициенту затухания: .

Пример 4.3. Вывести формулу для величин резонансной частоты  и максимальной амплитуды   B _max (рис. 4.6).

Решение. Для того чтобы найти точку максимума  резонансной кривой, нужно в соответствии с правилами математики взять производную функции  (4.20) и приравнять её к нулю: . В результате получится .

    Далее, подставляя значение  в формулу 4.20, получим , где  - циклическая частота затухающих колебаний.

    Если частота внешней силы , то значение амплитуды по формуле (4.20) , что соответствует статическому заряду конденсатора, приобретаемому при подключении его к постоянной ЭДС .

Отношение резонансной амплитуды  к величине статического отклонения колебательной системы  называется добротностью колебательной системы .

Используя формулы для  и  (см. пример 4.3), а также связь циклической частоты с периодом колебаний , получим:

 

.

 

Поскольку  - логарифмический декремент затухания, то:

 

.                                             (4.22)

 

    Чем меньше декремент затухания, тем выше добротность контура, и тем более он пригоден для радиотехники.

    Далее мы покажем, что добротность контура пропорциональна отношению энергии, запасённой в контуре, к её потерям за период колебаний (т.е. энергии, выделяющейся в контуре за период в виде тепла).