Модель с внешней степенной функцией.

Проблема заключается в том, чтобы создать модель для эксперимента С. Дэшмана (его описание приведено в разделе 1.4.1.1.). Автор эксперимента указывал, что две функции ограничивают рост друг друга. Это значит, что возможно создать модель с двумя процессами – тепловым и электрическим, в которых присутствует 2 независимых ООС. Рассмотрим эти 2 процесса:

1. Явление насыщения анодного тока – закон Ричардсона-Дэшмана.

2. Явление ограничения анодного тока объёмным пространственным зарядом – закон «3/2».

Уравнение Ричардсона – Дэшмана, описывающие первый из этих процессов, в современной физике основывается на квантовой механике (его можно найти в источниках). В своей модели я использовал более простое выражение этой взаимосвязи. При исследовании было замечено, что эта функция имеет вид экспоненты, поэтому функция теплового процесса имеет эмпирический вид:

Ia = exp(1.047e-2 * T - 27.325)

где:

Ia – ток анода в Амперах,

T - температура катода в Кельвинах.

Так как мы моделируем взаимосвязь двух процессов, ничто не препятствует нам использовать уравнение Ричардсона-Дэшмана, но пока ограничимся этим эмпирическим вариантом.

Второй процесс – электрический – это закон «3/2». Он так и представлен в модели, но имеет эмпирический вид:

Ia = 9.215e-5 * Ua ^3/2

где:

Ia – ток анода в Амперах,

Ua – напряжение на аноде в Вольтах.

Первый вариант мат.модели создавался по формуле «весов» с использованием внешней степенной функции. Для выполнения условия совпадения переходного участка использовался показатель степени N = 5. Эта мат. модель - процессовый переход - будет выражаться формулой:

Так как переменных две, то можно построить 2 семейства характеристик. На рис. 1.4.28. представлен график с аргументом Ua:

Рис. 1.4.28. График, иллюстрирующий двухмерный процессовый переход для процессов Ia = A = 9.215e-5 * Ua ^3/2  и  Ia = B = exp(1.047e-2 * T - 27.325) (синими точками построена функция Ia рез =A*B/ (A ^N+B ^N) ^1/N с аргументом Ua при 3-х температурах и при N =5, ось аргумента - в Вольтах, ось функции - в Амперах).

На рис. 1.4.29 представлен график с аргументом T:

Рис. 1.4.29. График, иллюстрирующий двухмерный процессовый переход для процессов Ia = A = 9.215e-5 * Ua ^3/2  и  Ia = B = exp(1.047e-2 * T - 27.325) (синими точками построена функция Ia рез =A*B/ (A ^N + B ^N) ^1/N с аргументом T при десяти значениях Ua и при N=5, ось аргумента - в Кельвинах, ось функции - в Амперах).

Выводы:

1. Эти две ООС существуют независимо друг от друга.

2. Процессы ограничивают рост друг друга. При изменении одного процесса происходит изменение ограничения другого процесса.

3. Процессы (две функции) являются асимптотами - на графиках рис. 1.4.28. и рис. 1.4.29. видно, что каждый график представлен функцией, переходящей от первого процесса к некоторой ограничивающей прямой, параллельной оси абсцисс, которая отображает второй процесс и является ограничивающей.

Итак, мы имеем двухмерный процессовый переход, где два процесса ограничивают рост друг друга – он охвачен двумя петлями независимых ОСС. Процессы (функции), существующие в условиях одного явления (двухмерного процессового перехода), называются комплиментарными, если рост одного процесса позволяет расти второму процессу и наоборот. Двухмерный процессовый переход, где два процесса ограничивают рост друг друга, тоже обладает такими комплиментарными процессами. Наш пример комплиментарных процессов – это тепловой и электрический процессы вакуумного диода:

1. Тепловой процесс – закон для температуры T_F, определяющей ток насыщения вакуумного диода (выводится из закона Ричардсона-Дэшмана).

2. Электрический процесс – закон определения U_B - величины потенциала ОПЗ вакуумного диода (выводится из закона «3/2»).