Тема. Геометрические фигуры на плоскости и их свойства

Элементы теории геометрии

ТЕМА. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФИГУРЫ НА ПЛОСКОСТИ И ИХ СВОЙСТВА

Содержание

1. Понятие геометрической фигуры.

2. Углы.

3. Параллельные и перпендикулярные прямые.

4. Треугольники.

5. Четырехугольники.

6. Многоугольники.

7. Окружность и круг.

Понятие геометрической фигуры

Геометрическую фигуру определяют как любое множество точек.

Отрезок, прямая, круг, шар - геометрические фигуры.

Если все точки геометрической фигуры принадлежат одной плоскости, она называется плоской.

Например, отрезок, прямоугольник - это плоские фигуры. Существуют фигуры, не являющиеся плоскими. Это, например, куб, шар, пирамида.

Так как понятие геометрической фигуры определено через понятие множества, то можно говорить о том, что одна фигура включена в другую (или содержится в другой), можно рассматривать объединение, пересечение и разность фигур.

Например, объединением двух лучей АВ и МК (рис. 1) является прямая КВ, а их пересечение есть отрезок АМ.

       К          А                      М         В

                            Рис. 1

Различают выпуклые и невыпуклые фигуры.

Фигура называется выпуклой, если она вместе с любыми двумя своими точками содержит также соединяющий их отрезок.

Фигура F₁, изображенная на рисунке 2, выпуклая, а фигура F₂ - невыпуклая.

                                                         F₂

                                                                 X

 

Y                                                                                       

 

 

Выпуклыми фигурами являются плоскость, прямая, луч, отрезок, точка. Нетрудно убедиться в том, что выпуклой фигурой является круг (рис. 3). Если продолжить отрезок XY до пересечения с окружностью, то получим хорду АВ. Так как хорда содержится в круге, то отрезок XY тоже содержится в круге и, значит, круг - выпуклая фигура.

Для многоугольников известно другое определение: многоугольник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от каждой прямой, содержащей его сторону.

Так как равносильность этого определения и данного выше для многоугольника доказана, то можно пользоваться и тем, и другим.

Основываясь на этих понятиях, рассмотрим другие геометрические фигуры, изучаемые в школьном курсе планиметрии. Рассмотрим их определения и основные свойства, принимая их без доказательства. Знание этого материала и умение применять к решению несложных геометрических задач является той основой, на которой можно строить методику обучения младших школьников элементам геометрии.

Углы

Напомним, что угол - это геометрическая фигура, которая состоит из точки и двух лучей, исходящих из этой точки.

Лучи называются сторонами угла, а их общее начало - его вершиной.

Угол обозначают по-разному: указывают либо его вершину, либо его стороны, либо три точки: вершину и две точки на сторонах угла: ÐА, Ð(k,l), ÐАВС.

Угол называется развернутым, если его стороны лежат на одной прямой.

Угол, составляющий половину развернутого угла, называется прямым. Угол, меньший прямого, называется острым. Угол, больший прямого, но меньший развернутого, называется тупым.

Кроме понятия угла, данного выше, в геометрии рассматривают понятие плоского угла.

Плоский угол - это часть плоскости, ограни­ченная двумя различными лучами, исходящими из одной точки.

Углы, которые рассматривают в планиметрии, не превосходят развернутого.

Два угла называются смежными, если у них одна сторона общая, а другие стороны этих углов являются дополнительными полупрямыми.

Сумма смежных углов равна 180 °. Справедливость этого свойства вытекает из определения смежных углов.

Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются дополнительными полупрямыми сторон другого. Углы АОВ и СОВ, а также углы АОС и D0В - вертикальные (рис. 4).

Вертикальные углы равны.

Справедливость этого свойства вытекает из определения верти­кальных углов и свойства смежных углов.

Треугольники

Треугольник - одна из простейших геометрических фигур. Но его изучение породило целую науку - тригонометрию, которая возникла из практических потребностей при измерении земельных участков, со­ставлении карт местности, конструировании различных механизмов.

Первые упоминания о треугольнике и его свойствах содержатся в египетских папирусах. Например, в них предлагается находить площадь равнобедренного треугольника как произведение половины основания на боковую сторону, хотя для любого равнобедренного треугольника с малым углом при вершине, противоположной основанию, такой способ дает приближенное значение площади.

Многие свойства треугольников были открыты и доказаны математиками Древней Греции. Среди них - знаменитая теорема Пифагора.

Рассмотрим основные понятия, связанные с треугольником.

Треугольником называется геометрическая фигура, которая состоит из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех попарно соеди­няющих их отрезков.

Любой треугольник разделяет плоскость на две части: внутреннюю и внешнюю. Фигуру, состоящую из треугольника и его внутренней области, также называют треугольником (или плоским треугольником).

В любом треугольнике выделяют следующие элементы: стороны, углы, высоты, биссектрисы, медианы, средние линии.

Углом треугольника АВС при вершине А называется угол, образованный полупрямыми АВ и АС.

Высотой треугольника, опущенной из данной вершины, называется перпендикуляр, проведенный из этой вершины к прямой, содержащей противолежащую сторону.           

Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину с точкой на противоположной стороне.

Медианой треугольника, проведенной из данной вершины, называется отрезок, соединяющий эту вершину с серединой противолежащей стороны.

Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

Треугольники называются равными, если у них соответствующие стороны и соответствующие углы равны. При этом соответствующие углы должны лежать против соответствующих сторон.

На практике и в теоретических построениях часто пользуются признаками равенства треугольников, обеспечивающими более быстрое решение вопроса об отношениях между ними. Таких признаков три.

1. Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

2. Если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны соответственно стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

3. Если три стороны одного треугольника равны соответственно трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Треугольник называется равнобедренным, если у него две стороны равны. Эти равные стороны называются боковыми, а третья сторона называется основанием треугольника.

Равнобедренные треугольники обладают рядом свойств, например:

В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.

Отметим еще несколько важных свойств треугольников.

1. Сумма углов треугольника равна 180°. Из этого свойства следует, что в любом треугольнике хотя бы два угла острые.

2. Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух сторон, параллельна третьей стороне и равна ее половине.

3. В любом треугольнике каждая сторона меньше суммы двух других сторон.

Для прямоугольного треугольника с углом 30° справедливо следующее свойство: катет, противолежащий этому углу, равен половине гипотенузы.

Для прямоугольного треугольника верна теорема Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Четырехугольники

Четырехугольником называется фигура, которая состоит из четырех точек и четырех последовательно соединяющих их отрезков, причем никакие три из данных точек не должны лежать на одной прямой, а соединяющие их отрезки не должны пересекаться. Данные точки называются вершинами четырехугольника, а соединяющие их отрезки - его сторонами.

Любой четырехугольник разделяет плоскость на две части: внутреннюю и внешнюю. Фигуру, состоящую из четырехугольника и его внутренней области, также называют четырехугольником (или плоским четырехугольником).

Вершины четырехугольника называют соседними, если они являются концами одной из его сторон. Вершины, не являющиеся соседними, называются противолежащими. Отрезки, соединяющие противолежащие вершины четырехугольника, называются диагоналями.

Стороны четырехугольника, исходящие из одной вершины, называются соседними. Стороны, не имеющие общего конца, называются противолежащими. У четырехугольника АВС D (рис. 5) вершины А и В - соседние, а вершины А и С - противолежащие; стороны АВ и ВС - соседние, ВС и А D -противолежащие; отрезки АС и В D -диагонали данного четырехугольника.

Четырехугольники бывают выпуклые и невыпуклые. Так, четырехугольник АВС D (рис. 5) - выпуклый, а четырехугольник КРМТ (рис. 6) невыпуклый. Среди выпуклых четырехугольников выделяют параллелограммы и трапеции.

Многоугольники

Обобщением понятия треугольника и четырехугольника является понятие многоугольника. Определяется оно через понятие ломаной.

Ломаной А₁А₂А_3…А n называется фигура, которая состоит из точек А_1,А_2,А_3,…,А _n, и соединяющих их отрезков А₁А_2, А₂А₃,... А _{n -1} А _n.

Точки А_1,А_2,А_3,…,А_n называются вершинами ломаной, а отрезки А₁А_2, А₂А₃,... А_n-1А_n - ее звеньями.

Если ломаная не имеет самопересечений, то она называется простой.

Если ее концы совпадают, то она называется замкнутой. О ломаных, изображенных на рисунке 8, можно сказать, что: А_1,А_2,А_3,А₄,А_5,А₆ -простая; А_1,А_2,А₃ - простая замкнутая; А_1,А_2,А_3,А₄ - замкнутая ломаная, но она не является простой, так как имеет самопересечение. Длиной ломаной называется сумма длин ее звеньев.

Рис. 8

 

 

Известно, что длина ломаной не меньше длины отрезка, соединяющего ее концы.

Окружность и круг

Элементы теории геометрии

ТЕМА. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФИГУРЫ НА ПЛОСКОСТИ И ИХ СВОЙСТВА

Содержание

1. Понятие геометрической фигуры.

2. Углы.

3. Параллельные и перпендикулярные прямые.

4. Треугольники.

5. Четырехугольники.

6. Многоугольники.

7. Окружность и круг.