Основные этапы математического моделирования

Министерство сельского хозяйства

Российской Федерации

Ижевская государственная сельскохозяйственная академия

Агроинженерный факультет

Кафедра “Безопасность жизнедеятельности”

 

 

МоделиРОВАНИЕ

В агроинженерии

УЧЕБНОЕ пособие  по изучению

 дисциплины и задания для контрольной работы

студентам сельскохозяйственных вузов специальностей заочного обучения направлений агроинженерии:

 

“Технические средства в агробизнесе”,

“Технический сервис в АПК”,

“Технология продукции и организация общественного питания”.

 

Ижевск 2019

 

Автор канд. техн. наук, доцент кафедры БЖД Храмешин А.В.

Моделирование в агроинженерии: Учебное пособие по изучению дисциплины / ИжГСХА заочного образования.- 2019. -50с.

Предназначено для студентов специальностей:

 

“Технические средства в агробизнесе”,

“Технический сервис в АПК”,

“Технология продукции и организация общественного питания”.

 

Утверждено методической комиссией Агроинженерного факультета протокол № 6 от 09.04.2019 г.

Данное учебное пособие служит дополнением к  авторскому лекционному курсу, читаемому по дисциплине и является руководством для самостоятельного изучения материала в системе дистанционного обучения MOODLE  и выполнения контрольной работы в межсессионный период.

Рецензент:

                 канд. техн. наук, доцент кафедры ЭРМ Ф.Р. Арсланов.

                     

 

______________________            электроннный         _________________

                  Заказ                                                     Тираж                                ИжГСХА 2019

Ó А.В. Храмешин, 2019

Ó ФГБОУ ВО ИжГСХА, 2019

Раздел 1 ОБЩИЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ

ПО ИЗУЧЕНИЮ ДИСЦИПЛИНЫ

Цель и задачи курса

 

Целью дисциплины “Моделирование в агроинженерии”  является обучение студентов общим вопросам теории моделирования, методам построения математических моделей и формального описания процессов и объектов, применению математических моделей для проведения вычислительных экспериментов и решения оптимизационных задач.

В задачи курса входит ознакомление студентов:

- с основными понятиями теории моделирования;

- с теоретическими положениями и экспериментальными данными, используемыми для построения математических моделей в области профессиональной деятельности студентов;

- с численными методами реализации моделей на ЭВМ;

- с методами постановки и построения вычислительных экспериментов;

- с выработкой умения использовать пакеты прикладных программ в профессиональной деятельности бакалавра сельскохозяйственного профиля.

Умение разрабатывать и использовать математические модели необходимо студентам при изучении специальных дисциплин, при выполнении курсовых и выпускных квалификационных работ, моделирования рабочих ситуаций, принятия оптимизационных, организационно технологических и производственных решений.

В результате изучения части цикла (выписка из Государственного образовательного стандарта высшего образования по направлению подготовки 110800 Агроинженерия) студент должен

ЗНАТЬ:

- основные понятия и методы математического анализа, линейной алгебры, дискретной математики, теории дифференциальных уравнений, теории вероятности и теории математической статистики, статистических методов обработки экспериментальных данных, элементов теории функций комплексной переменной;

- основные прикладные программные средства и профессиональные базы данных.

УМЕТЬ:

- использовать математический аппарат для обработки технической и экономической информации и анализа данных, связанных с машиноиспользованием и надёжностью технических систем;

пользоваться глобальными информационными и современными средствами телекоммуникации.

ВЛАДЕТЬ:

- методами построения математических моделей типовых профессиональных задач;

- способностью использовать информационные технологии при проектировании машин и организации их работы;

- способностью осуществлять сбор и анализ исходных данных для расчёта и проектирования;

- способностью к участию в проектировании технических средств и технологических процессов производства, систем электрификации и автоматизации сельскохозяйственных объектов.

 

Раздел 2 УКАЗАНИЯ ПО ИЗУЧЕНИЮ СОДЕРЖАНИЯ

ТЕМ И РАЗДЕЛОВ КУРСА

 

 

В первой части курса студенты знакомятся с общими принципами моделирования - это теоретический лекционный курс, как  читаемый на установочной сессии,  так и  представленный виртуальной обучающей системой MOODLE в разделе «Технические науки – Моделирование (АИФ)».

 С принципами работы в модуле знакомит преподаватель в компьютерных классах академии, а далее он прорабатывается в межсессионный период студентом самостоятельно, с возможностью получения консультаций в режиме он-лайн у ведущего курс преподавателя.

Во второй части курса студенты выполняют лабораторный цикл работ с расчетными методами и программами в соответствии с заданием по специальности, как в лабораториях академии, так и самостоятельно с использованием пакетов прикладных программ.

К итоговой форме контроля – у студента формируется пакет компетенций по изучаемым вопросам курса с выполнением итогового тестирования на критерий «зачтено» в системе MOODLE и представляется выполненная контрольная работа по варианту соответствующему шифру студента в академии, с регистрацией на кафедре не менее чем за пять дней до зачёта.

 

Введение в моделирование

 

Широкое внедрение моделирования  и информационных технологий в практику разработки различных объектов способствует развитию, совершенствованию и интеллектуализации технологических процессов их проектирования.

Компьютер обладает высочайшим быстродействием. Но мыслить так же, как и человек пока он не умеет. Не обладает он и теми знаниями, которые накоплены человечеством в той или иной предметной деятельности, а так же и знаниями экспертов.

Поэтому на пути создания информационных технологий возникает множество проблем:

• Как научить компьютер всем знаниям, которыми обладает высококвалифицированный специалист той или иной предметной области проектирования:

• Как научить «мыслить» компьютер или, иначе, смоделировать в информационных технологиях мыслительную деятельность эксперта- профессионала?

• Как разработать наиболее полное информационное обеспечение, позволяющее эффективно решать любую проектную задачу из заданного класса?

• Как найти оптимальные решения заданной проектной задачи?

• Наконец, как научить специалиста любой квалификации осуществлять моделирование различных проблемных ситуаций в сфере его профессиональной деятельности?

Эти и другие вопросы решаются при изучении курсов «Моделирование в агроинженерии».

 

 

Общие вопросы теории моделирования

Моделирование — это замена объекта, подлежащего ис­следованию (оригинала), другим объектом (моделью), ис­следование модели и распространение результатов этого исследования на оригинал. Под моделированием понимается замена объекта, явления события или процесса его абстрактным описанием с заданной целью различными видами моделей.

Моделирование - одна из основных категорий познания. На моделировании базируется любой метод научных исследований и изучения объектов, явлений и процессов. При этом явления, процессы и объекты изучаются на основе построения их моделей.

Моделирование может быть, как теоретическим с использованием различных знаковых и абстрактных моделей, так и экспериментальным основанное на предметных моделях. Абстрактные модели используют для определения или уточнения характеристик и рационализации способов построения вновь конструируемых объектов.

Процесс оптимизации подразумевает поиск наилучшего варианта решения рассматриваемой проектной задачи из всех возможных и процесс приведения системы в наилучшее состояние.

Таким образом, дисциплина моделирование и оптимизация технологических процессов решает следующие задачи:

• моделирование различных проблемных ситуаций в сфере профессиональной деятельности специалистов рассматриваемой предметной области;

• моделирование мыслительной деятельности профессионала;

• моделирование процесса разработки информационного обеспечения задачи проектирования;

• моделирование процесса оптимизации задачи проектирования.

При моделировании процесса, явления или объекта они рассматриваются как система. Определений системы много и до конца специалистами, занимающимися методологией систем, оно не сформулировано. В последних публикациях по информационным технологиям под системой понимают «совокупность элементов, находящихся в определенных отношениях друг с другом, средой и проектировщика».

Все проектируемые объекты подразделяются на простые (с числом составных частей до 100), средней сложности (от 100 до 1000), сложные (от 1000 до 10⁴), очень сложные (от 10⁴ до 10⁶), высоко сложные (от 10⁶). Без сомнения, как отдельный вид предмета, так и процесс его проектирования относятся к сложным объектам.

Исследование сложных систем осуществляют на основе использования системного подхода или системного анализа системы. Под системным подходом понимается направление методологии научного познания, в основе которого лежит исследование объектов как систем. Системный подход способствует адекватной постановке проблем в конкретных науках и выработке эффективной стратегии их изучения. Методология и специфика системного подхода определяется тем, что он ориентирует исследование на раскрытие целостности объекта и обеспечивающих её механизмов, на выявление многообразных типов связей сложного объекта и сведение их в единую теоретическую картину.

Общими этапами последовательности выполнения системного анализа

системы являются:

• постановка задачи;

• формирование описания системы, то есть моделирование;

• выбор наилучших решений, то есть оптимизация.

Из этого вытекает следующее: с точки зрения системного подхода любая задача проектирования предполагает создание новых объектов с заданными оптимизированными свойствами. Поэтому основным принципом системного подхода является в рассмотрении частей объекта или процесса с учетом их взаимодействия.

Выполнение системного анализа включает в себя:

• выявление структуры системы;

• типизацию связей; определение атрибутов;

• анализ влияния внешней среды.

В методологии системного подхода сложные объекты представляют в виде сложных технических систем (СТС).

В технике дисциплину, в которой используются сложные технические системы, их проектирование и которая аналогична теории систем, чаще называют системотехникой.

Предметом системотехники являются:

• организация процесса создания, использования и развития сложных технических систем;

• методы и принципы проектирования и исследования СТС.

Для системотехники характерно умение формулировать цели системы и организовать ее рассмотрение с позиций, поставленных целей. Это позволяет отбросить лишние и малозначимые части при проектировании и моделировании объекта, и перейти к постановке оптимизационных задач.

Интерпретация и конкретизация системного подхода имеют место в ряде других известных подходов, которые также рассматриваются как компоненты или методы системотехники. К ним относят структурный, блочно-иерархический и объектно-ориентированный подходы.

Структурный подход основан на синтезе вариантов системы из компонентов и их оценки при их частичном переборе путем прогнозирования

характеристик компонентов (блоков).

Блочно-иерархический подход использует декомпозицию описания сложных объектов и соответственно средств их создания на иерархические уровни и аспекты, вводит понятие стиля проектирования (восходящее или нисходящее), устанавливает связь между параметрами соседних иерархических уровней.

Объектно-ориентированный подход отражает особенности объектов проектирования как совокупной предметной области.

Для всех указанных подходов к проектированию сложных систем

характерны следующие особенности:

• структуризация процесса проектирования, выражаемая декомпозицией проектных задач и документации, выделением стадий, этапов и проектных процедур. Эта структуризация является сущностью блочно-иерархического подхода к проектированию;

• итерационность (то есть постепенное приближение к оптимальному) характер проектирования;

• типизация и унификация проектных решений и средств проекти-рования.

Построение математической модели начинается с поста­новки задачи, то есть с выделения задачи, поддающейся мате­матическому описанию и анализу. При этом необходимо вы­делить основные, существенные особенности объекта. При моделировании физических явлений этот процесс играет решающую роль, поскольку невозможно учесть в модели всё многообразие реального мира.

Именно в результате такой идеализации возникли ткани без трения, невесомые нерастяжимые нити, идеальные газы и другие подобные понятия, широко используемые в физике и механике.

 

Типы моделирования

Моделирование предполагает:

1 - исследование объектов познания на их моделях;

2 - построение и изучение моделей реально существующих предметов и явлений (живых и неживых систем, инженерных конструкций, разнообразных процессов — физических, химических, биологических, социальных) и проектируемых конструкций объектов.

 Моделирование проектируемых конструкций объектов осуществляют для определения и уточнения их параметров, совершенствования способов их построения и т. п.

Выделяют несколько типов моделирования: натурное или предметное, аналитическое и имитационное.

Предметным называется моделирование, в ходе которого исследование ведётся на модели, воспроизводящей основные геометрические, физические, динамические и функциональные характеристики «оригинала». На таких моделях изучаются процессы, происходящие в оригинале объекте исследования или разработки.

Если модель и моделируемый объект имеют одну и ту же физическую природу, то говорят о физическом  моделировании.

Аналитический или знаковый тип моделирования использует в качестве  моделей знаковые образования какого-либо вида: схемы, графики, чертежи,  формулы, графы, слова и предложения в некотором алфавите.

Важнейшим видом  знакового моделирования является математическое, в том числе и логико-математическое, моделирование, осуществляемое средствами языка математики и логики. Знаковые образования и их элементы всегда рассматриваются вместе с  определенными преобразованиями, операциями над ними, которые выполняет человек или машина.

По характеру той стороны объекта, которая подвергается моделированию, различать моделирование структуры объекта и моделирование его поведения (функционирования протекающих в нем процессов и т. п.). Это различение  приобретает чёткий смысл при разработке информационных технологий.

При «кибернетическом» моделировании обычно абстрагируются от структуры системы, рассматривая ее как «черный ящик», модель которого строится в терминах соотношения между состояниями его «входов» и «выходов». «Входы»  соответствуют внешним воздействиям на изучаемую систему, а «выходы» — её  реакциям на них, т. е. поведению.

Аналитическое моделирование, отображая существенные (с точки зрения цели исследования) свойства оригинала и отвлекаясь от несущественного, выступает как специфическая форма реализации некоторого абстрактного идеализированного объекта. На всех этих уровнях, однако, приходится считаться с тем, что моделирование данного оригинала может ни на каком своём этапе не дать полного знания о нём. Эта черта моделирования особенно существенна в том случае, когда предметом моделирования являются сложные системы, поведение которых зависит от значительного числа взаимосвязанных факторов различной природы.

В ходе познания такие системы отображаются в различных моделях, более или менее оправданных; при этом одни из моделей могут быть родственными друг другу, другие же могут оказаться глубоко различными.

Имитационное моделирование описывается набором алгоритмов, которые реализуют все возможные ситуации, возникающие в реальной системе. Моделирующие алгоритмы позволяют по исходным данным, содержащим сведения о начальном состоянии СТС и фактическим значениям параметров системы, отобразить реальные явления в системе и получить сведения о возможном ее поведении для данной конкретной ситуации. Предсказательные возможности имитационного моделирования значительно ниже, чем у аналитического моделирования. Его используют тогда, когда аналитическое моделирование невозможно.

Имитационная модель представляет собой некий комплекс алгоритмов, при помощи которого ЭВМ вырабатывает информацию, характеризующую поведение элементов системы и взаимодействие их в процессе функционирования. Анализ вариантов системы (системный анализ) проводится по результатам математического моделирования.

На практике обычно отдаётся предпочтение имитационному моделированию системы на ЭВМ. Получаемая информация позволяет определить показатели эффективности системы, обосновать её оптимальную структуру и составить рекомендации по совершенствованию исследуемых вариантов.

Существуют и аналитические методы оценки свойств сложных систем, основанные на результатах применения теории вероятностных (случайных) процессов.

Существенные особенности имеют испытания сложных систем. Натурный эксперимент в чистом виде используется только для оценки параметров важнейших элементов системы. В комплексных же испытаниях системы значительную роль играют имитационные модели.

Модели и классификация

Определений термина «модель» очень много. Буквально, в переводе с французского, слово модель - есть мера, мерило, образец, норма.

 Наиболее универсальное определение трактует модель, как любой образ, аналог какого- либо объекта, процесса или явления. В соответствии с различными назначениями методов моделирования понятие «модель» используется не только и не столько с целью получения объяснений различных явлений, сколько для предсказания интересующих исследователя явлений.

Разработка моделей всегда связана с понятием идеального объекта. Для идеального объекта характерна несущественность тех или иных свойств, или который обладает оптимальными параметрами с точки зрения существующих на рассматриваемый период времени теорий и практических и производственных требований.

Модель считается адекватной, если отражает заданные свойства объекта с приемлемой точностью. Для технических объектов адекватность определяется 99% вероятностью, а для большинства технологических - 95% вероятностью.

Точность определяется как степень совпадения значений выходных параметров модели Ар (расчетные) и объекта Аф (фактические). Точность задается предельно допустимой погрешностью:

Все виды моделей могут быть разработаны применительно или только к объекту проектирования, или только к процессу, или и к тому и другому. Так, например, иерархические модели могут быть разработаны применительно как к объекту, так и процессу. Функциональные и блочно-алгоритмические модели - только к процессу, а семантические - только к объекту.

 Каждая модель характеризуется видом представления: вербальным или графическим.

При разработке моделей используются различные страты или аспекты проектирования: функциональный, конструкторский, технологический, технологический, информационно-художественный и другие. Аспект представления модели может быть применен или только к объекту проектирования, или только к процессу. Технологические процессы представляются с точки зрения функционального или технологического аспекта, а объекты - с точки зрения конструкторского или информационно- художественного аспекта.

Все виды моделей могут быть также разработаны с точки зрения концептуального аспекта. Под концептуальным аспектом понимается основная точка зрения, руководящая идея или определенный способ универсального и предсказательного понимания и трактовки каких-либо явлений, объектов и процессов для «нащупывания» новых идей, получения выводов. В конечном итоге концептуальные модели создаются для развития существующих или формирования новых методологий и теорий.

Модель - это объект заменитель, который в определенных условиях может заменить объект оригинал, воспроизводя интересующие исследователя свойства и характеристики оригинала, причем объект заменитель имеет существенные преимущества и удобства:

- наглядность (обозримость);

- доступность испытаний;

- легкость оперирования с ним.

Моделирование объектов преследует различные цели.

Главная из них - это предсказание новых результатов или поведения объекта в некоторых условиях.

 Предсказания могут относиться к условиям, которые по всей вероятности, будут иметь место в некоторый момент в будущем, а также к объектам, непосредственный эксперимент с  которыми невозможен или дорог. Другой важной целью математического моделирования (ММ) является углубление понимания объекта или явления. Именно эту роль и играют многие физические теории, хотя на их основе делаются также и прогнозы.

Исходной информацией при построении ММ процессов функционирования систем служат данные о назначении и условиях работы исследуемой (проектируемой) системы S. Эта информация определяет основную цель моделирования, требования к ММ, уровень абстрагирования, выбор математической схемы моделирования.

     Понятие математическая схема позволяет рассматривать математику не как метод расчёта, а как метод мышления, средства формулирования понятий, что является наиболее важным при переходе от словесного описания к формализованному представлению процесса её функционирования в виде некоторой ММ.

При пользовании математической  схемой в первую очередь исследователя системы должен интересовать вопрос об адекватности отображения в виде конкретных схем реальных процессов в исследуемой системе, а не возможность получения ответа (результата решения) на конкретный вопрос исследования.

Математическую схему можно определить как звено при переходе от содержательного к формализованному описанию процесса функционирования системы с учётом воздействия внешней среды. То есть имеет место цепочка: описательная модель — математическая схема — имитационная модель.

Умение работать с математической моделью заключается в её анализе аналитическими и численными методами.

Аналитические методы традиционны в математике. Их достоинством является наглядность результата. Обычно это формула для определения искомой величины. Аналитические решение существуют не для всех задач, а во многих случаях они слишком сложны. В таких случаях математические модели исследуют численными методами с помощью ЭВМ.

 Описание объекта с помощью математических выражений называется математической моделью. Математическая модель - абстракция реального мира или объекта, в которой интересующие исследователя отношения между реальными явлениями заменены соответствующими отношениями между математическими объектами.

Классификация моделей:

1. Познавательные (теоретические) - являются формой организации и представлением знании, средством соединения новых знаний с уже имеющимися.

2. Прагматические (практические) - являются средством организации практических действий.

3. Статические (не изменяющиеся во времени) – например, план установки оборудования.

4. Динамические (изменяющиеся во времени) - процесс изменения состояния явления вещества, объекта. Например, три состояния вещества: пар, вода, лёд.

Способы воплощения моделей.

Для построения модели в распоряжении исследователя имеются: средства окружающего внешнего мира средства самого сознания.

В зависимости от способа воплощения модели подразделяются на: абстрактные и материальные. Абстрактные модели - это идеальные конструкции, построенные средствами мышления (языковые конструкции).

Особенности языковых конструкций:

Достоинства: возможность иерархического построения модели по принципу “слово - предложение – текст”, что позволяет любую ситуацию промоделировать с достаточной для практических целей точностью, при этом важную роль имеют неязыковые формы мышления (интуиция, эмоции, озарение, подсознание).

Недостатки: обладают многозначностью, многовариантностью и другими признаками, приводящими к разным вариантам.

Материальные модели - это реальные конструкции, выполняющие определенные функции (вещественные конструкции), чтобы вещественная модель могла быть отображением оригинала. Между ними должны быть установлены отношения подобия, схожести.

Способы установления подобия:

- физическое (соответствие материалов);

- геометрическое (отношение размеров модели кратны размерам объекта).

Любые модели являются целевым отображением объекта.

Особенности моделей:

- целостность;

- относительная обособленность от окружающей среды;

- подчиненность определенной цели;

- ингерентность (соответствие культурной среде);

- адекватность (соответствие в мере, достаточной для достижения цели, требование полноты, точности и достоверности).

Способы определения математических моделей:

1. Аксиоматический - определяется непротиворечивым набором аксиом.

2. Конструктивный - определяется по реальным размерам предмета.

Классификация математических моделей:

- познавательные;

- прагматические;

- статические;

- динамические;

- квазистатические (t —> ∞)

По виду информации:

- детерминированные;

- непрерывные (дискретные);

- фиксированные;

- изменяющиеся.

По форме представления:

- инвариантные;

- аналитические;

- в виде схем, диаграмм, таблиц.

 

Модели (математические) могут использоваться для проектирования (синтеза), анализа (исследования) и оценки функционирования систем (реальных объектов).

В настоящее время модели и  моделирование используется для исследования разнообразных систем, в частности, городских, экономических, коммерческих, производственных, сельскохозяйственных, биологических, социальных, транспортных систем, систем здравоохранения и других. Например:

Как показывает практика,  транспортное моделирование дорожного движения является особо важным инструментом работы транспортного инженера. Только грамотно проведенное моделирование позволяет определиться с правильными решениями, а также в процессе реализации строительного проекта избежать дорогостоящих ошибок.

 К тому же, моделирование может помочь найти простой выход для, казалось бы, не решаемой проблемы, связанной с дорожной системой. Также вы сможете оценить затраты на строительство транспортного объекта и дать сравнительную оценку нескольким проектам одновременно.

Моделирование транспортной системы в первую очередь является необходимым для проведения инженерного анализа и выбора оптимально эффективного решения в отношении стоимости проекта, соблюдения норм безопасности.

 

Рисунок 1- Три основных класса транспортных моделей

Создание этих моделей дает возможность проектировать и реализовывать системы транспортной развязки для особо крупных мегаполисов.

Подготовка и создание моделей всегда осуществляется в определенной последовательности:

· Сбор всей необходимой информации, а также ее обработка (собираются исходные данные, после чего осуществляется экспертная оценка работоспособности модели).

· Создание модели нужной степени детализации.

· Проводится оценка функциональности модели, разрабатываются решения, основанные после полученных данных.

· Рассматривается влияние возможных факторов, которые в будущем будут оказывать влияние на транспортную систему (движение пешеходов, нештатные ситуации).

Вопросы для самопроверки

1. Что такое моделирование, модель объекта?

2. Что такое математическая модель?

3. Какие цели стоят перед моделированием?

4. Приведите примеры математических моделей. Для чего они используются?

5. Какими методами исследуются математические модели?

 

 РАЗДЕЛ 3. МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ

Электрических цепей

В электротехнике часто встречается задача расчета ли­нейных электрических цепей. Математической моделью таких цепей является система алгебраических уравнений, основан­ных на законах Кирхгофа. Для анализа математических моделей стационарных режимов электрических цепей широко применяются методы контурных токов и узловых потенциа­лов. Эти методы подробно изучаются в курсе “Теоретические основы электротехники”. В настоящем курсе остановимся на применении ЭВМ для расчетов электрических цепей.

Они основаны на применении матричных методов. Топо­логия электрической цепи описывается в виде топологичес­ких матриц, описывающих связи, например, между контура­ми. В итоге, модель сводится к системе линейных уравнений, в которой число уравнений равно числу неизвестных. Такую систему можно записать в матричном виде:

AI=U,                                               (1)

где A=[a _kj] — квадратная матрица коэффициентов при не­известных токах.

I = [i _j] —вектор столбец неизвестных токов,

U =[u _к] —вектор столбец источников ЭДС ветвей.

Вопросы для самопроверки

1. Что называется матрицей?

2. Какие виды матриц используются при проведении технических расчётов?

3. Какие варианты решений возникают при решении систем линейных уравнений?

4. Какую математическую форму имеет модель линейной электрической цепи?

Вопросы для самопроверки

1. В чем состоит метод Гаусса решения системы линей­ных уравнений?

2. Какие преобразования выполняются при прямом ходе метода?

3. Какие преобразования выполняются при обратном ходе метода?

4. Какая система линейных алгебраических уравнений называется невырожденной?

5. В чем особенность метода Гаусса с выбором главного элемента?

 

Вопросы для самопроверки

1. Какие динамические объекты относятся к линейным?

2. Какие динамические объекты относятся к стационар­ным?

3. Приведите математическую формулировку задачи Коши для линейного дифференциального уравнения первого порядка.?

4. Приведите примеры использования дифференциальных уравнений в профессиональной деятельности?

Численные методы решения обыкновенных

дифференциальных уравнений

Лишь очень немногие дифференциальные уравнения мо­гут быть решены точно, аналитическими методами, и поэтому обычно необходимо приближать решение численными мето­дами.

Пусть требуется найти приближенное решение дифферен­циального уравнения y¢ = ¦ (y, t), удовлетворяющее начально­му условию y (t₀) = y_0. Численное решение задачи состоит в нахождении значений y₁, y₂, …y_n функции (y(t) в точках t₁, t₂,...t_n). Точки t₁, t₂,...t_n называют узлами сетки, а расстояние между ними — шагом. Часто решение выполняют с постоянным шагом, тогда

t₁ = t₀ + ih,                                             (11)

где i = 1, 2,... n,

h — шаг сетки.

Рассмотрим два метода. Одношаговым называется метод, в котором для расчетов следующей точки требуется инфор­мация только о последней вычислительной точке. Первый из рассматриваемых методов — метод Эйлера.

В методе Эйлера каждое следующее значение функции вычисляется по предыдущему по формуле:

y_i+1 = y_i + hצ(y_i, t_i), i = 1, 2,... n,                   (12)

Фрагмент программы на языке Бейсик, реализующий ме­тод Эйлера приведен в приложении Б.

Другим распространенным одношаговым методом явля­ется метод Рунге-Кутта. В этом методе величину y_i+1 вы­числяют по следующим формулам:

y_i+1 = y_i + hצ(y_i, t_i), i = 1, 2,... n,                                                                                                                                                  

                          (13)

где k₁ = ¦(y_i, t_i); k₂ = ¦(y_i + , t_i + );

k₃ = ¦(y_i + , t_i + );

k₄ = ¦(y_i + h k₃, t_i + h);

 

Для оценки погрешности метода часто используют пра­вило Рунге. Для этого проводят вычисления с шагом h и c шагом h/2. Если полученные значения отличаются в преде­лах допустимой погрешности, то шаг удваивают, в против­ном случае берут половинный шаг.

Фрагмент программы на языке Бейсик, реализующий ме­тод Рунге-Кутта, приведен в приложении Б.

Вопросы для самопроверки

 

1. Что называется сеткой и шагом метода?

2. Какие методы называются одношаговыми?

3. Приведите расчетную формулу метода Эйлера. Сколько вычислений приходится на одном шаге?

4. Приведите расчетные формулы метода Рунге-Кутта. Сколько вычислений производится на одном шаге?

5. Как оценить погрешность решения?

Вопросы для самопроверки

1. Что называется имитационным экспериментом?

2. Что является предметом математической теории плани­рования эксперимента?

3. Что называется планом эксперимента?

4. Приведите примеры задачи оптимизации, укажите кри­терии оптимизации?

Раздел 4. ЗАДАНИЯ ДЛЯ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ

И УКАЗАНИЯ ПО ИХ ВЫПОЛНЕНИЮ

 

К выполнению контрольной работы следует приступать после изучения теоретического материала по соответствую­щему разделу, рассмотрев и усвоив вопросы курса. Для этого необходимо проработать лекционный курс в системе дистанционного обучения Moodle, затем лабораторный курс, ответив на тестовые вопросы не менее, чем на 80%, что фиксируется системой. После этого появляется доступ к итоговому тестированию по дисциплине.

Решение задач контрольной работы должно сопровождаться краткими теоретическими пояснениями с приведением размерностей рассчитываемых величин.

 Блок-схемы алгоритмов должны вычерчи­ваться аккуратно с помощью чертежных принадлежностей.

Перед проработкой программы следует привести таблицу соответствия обозначений физических величин в модели, име­нам переменных в программе.

В конце работы следует расписаться, поставить дату, ука­зать использованную литературу и время (в часах), затра­ченное на выполнение работы.

Каждый студент получает индивидуальное задание, вари­ант задания выбирается по № зачетной книжки (студенческого билета). Пишется № студенческого билета, например

                                           16029

                                                 аб