Векторы и векторные пространства

Первоначально вектором называли направленный отрезок, прикрепленный к одной точке. Для иллюстрации физических величин, имеющих не только величину, но и направление.

Эти величины можно складывать по правилу параллелограмма, вычитать, умножать на числа. При этом, каковы бы ни были векторы и числа всегда выполняются равенства:

                                                                  (2)

Позже вектор сделали свободным от точки прикрепления. Свободный вектор- совокупность всевозможных направленных отрезков, параллельных между собой, имеющих одну и ту же длину и одно и тоже направление. Такие отрезки называются эквивалентными. Свободные векторы задаются с помощью координат, т.е. проекций на координатные оси X и Y. В пространстве направленный отрезок имеет три координаты – проекции на координатные оси X,Y,Z.

Вектор можно заменить совокупностью координат. На плоскости это пары чисел  в пространстве тройки чисел . Сложение векторов и умножение на число заменяется соответствующими действиями над координатами:

Такая точка зрения на векторы оказалась очень плодотворной. Под определение вектора попало много физических и математических объектов. Например, всякое элементарное событие, происходящее в пространстве в точке с координатами (x, y, z) в момент времени t, можно рассматривать как четырехмерный вектор (x, y, z, t).

Получается пространство событий.

Количество координат вектора называется размерностью.

Векторы одной размерности можно складывать и умножать на числа по тем же правилам, что двумерные и трехмерные. И при любой размерности будут выполняться свойства (2).

Векторным пространством называется всякое множество, для элементов которого определены операции сложения и умножения на числа таким образом, что выполняются свойства (2).

Группы

Три свойства операции сложения:

- ассоциативность:                                          (а + в) + с = а + (в + с),                           

- наличие нейтрального элемента:                 а + 0 = а, (3)           (3)

- существование противоположных элементов:     а + (- а) = 0.

справедливы для любого кольца и любого векторного пространства.

Пример: Запишем по порядку числа 1, 2, 3, 4, 5, 6. Перепутаем их каким- либо образом: 2, 3, 5, 1, 6, 4.

Запишем в виде таблицы:

Эта таблица задает некоторую функцию, если считать, что верхний ряд- значения х, а нижний – значения у. Такая функция называется подстановкой или перестановкой из шести элементов и действует так:  Всего подстановок 6! = 720.

Результат последовательного действия двух перестановок тоже будет перестановкой:

т.е.  Это композиция, или сложная функция S, называется произведением  и .

Любые три перестановки  можно перемножить так: либо либо Результат один и тот же, поэтому можно записать:

                                                                    (4)

Умножение тождественной перестановки

 

на любую другую перестановку дает следующее:

                                                  (5)

Для каждой перестановки S можно найти обратную ей  которая действует так: если S переводит  в  то  переводит  в . Например:

отсюда

                                                                         (6)

Если в равенствах (4) - (6) заменить символ  на + и вместо написать  то эти равенства совпадут с равенствами (3).

Все сказанное относится и к подстановкам из любого числа элементов.

Группой называется множество, на котором задана операция, свойства которой описываются аксиомами (3).

Множество всех подстановок из n элементов образует группу относительно операции композиции (умножения). В этой группе n! элементов, она называется симметричной группой и обозначается .

Множество Z (Q, R) является группой относительно сложения.

Комплексные числа

Множество R действительных чисел ограничено тем, что квадратные корни можно извлекать только из положительных чисел. Это создает большие неудобства при решении, например, алгебраических уравнений. Поэтому поле действительных чисел было расширено добавлением нового элемента который называется мнимой единицей. Мнимая единица не является действительным числом, но на нее распространили все алгебраические свойства действительных чисел. В результате появились новые элементы, которые записывают в виде и называют комплексными числами. Если то комплексное число является действительным. Поэтому действительные числа составляют часть комплексных чисел. По определению Комплексные числа можно складывать и умножать:

Для каждого комплексного числа можно найти обратное:

Операции сложения и умножения комплексных чисел подчиняются аксиомам (1), поэтому комплексное число образует поле. Открытие комплексных чисел позволило решить проблему алгебраических уравнений. Главный результат сформулирован в основной теореме алгебры:

Всякое алгебраическое уравнение степени n с комплексными коэффициентами имеет ровно n комплексных корней. (Гаусс).

Иоганн Бернулли и Леонард Эйлер открыли формулу

из которой при  следует  что связывает мнимую единицу  с числами  и

Каждое комплексное число геометрически представлено на плоскости точкой с координатами

Информатизация общества