Определение интервалов изменения факторов

ТЕМА КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

«ВЫБОР И ПОСТРОЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ

 ЭКСПЕРИМЕНТА»

Задание:

Определить влияние режимов шлифования (глубина шлифования, скорость движения стола и твердость абразивного инструмента) на результат шлифования образцов из стали (шероховатость обработанной поверхности).

Для выполнения поставленной задачи необходимо выполнить следующее:

1. Выбрать критерий Y, определить факторы и интервалы их варьирования.

2. Построить план проведения полного факторного эксперимента.

3. Определить коэффициенты уравнения регрессии.

4. Проверить значимость коэффициентов регрессии.

5. Вычислить расчетные значений параметров оптимизации.

6. Определить критерий Фишера и проверить модель на адекватность.

7. Cделать вывод о влиянии режимов шлифования на результат.

 

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

1. ВЫБОРКА Y, ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФАКТОРОВ И ИНТЕРВАЛОВ ИХ ВАРЬИРОВАНИЯ

 

Выбор критерия

Критерий (Y): результат шлифования образцов из стали, значение параметра шероховатости.

 

Определение факторов

Факторы:

1) X ₁ − глубина шлифования, мкм/ход.;

2) X ₂ − скорость движения стола, м/мин.;

3) X ₃ − твердость абразивного инструмента.

 

Определение интервалов изменения факторов

Область определения факторов устанавливается согласно условиям эксперимента. Схема полно-факторного эксперимента предусматривает одновременное варьирование всех исследуемых факторов на двух уровнях: верхнем (m ax), имеющем максимальное значение рассматриваемого фактора и нижнем (m in), соответствующем минимальному значению фактора. Интервалы изменения факторов в эксперименте представлены в таблице 1.

 

Таблица 1 − Интервалы варьирования факторов в эксперименте

Факторы	Уровни
	m in (-1)	m ax (+1)
Глубина шлифования– X 1	10 мкм/ход.	20 мкм/ход.
Скорость стола – X 2	6 м/мин.	12 м/мин.
Твердость круга– X 3	K	L

 

ПОСТРОЕНИЕ ПЛАНА ПРОВЕДЕНИЯ ПОЛНОГО ФАКТОРНОГО ЭКСПЕРИМЕНТА

При известном значении числа факторов, можно найти число опытов, необходимых для реализации всех возможных сочетаний уровней факторов.

,                                              (2.1)

где  − количество экспериментов,  − число факторов эксперимента.

Подставив значение числа факторов, вычислим количество экспериментов по (2.1):

План эксперимента удобно задавать таблицей, называемой матрицей планирования эксперимента, включающей в себя значения факторов и эффектов их взаимодействий, а также значения исследуемой функции, называемой параметром оптимизации. Матрица планирования полнофакторного эксперимента типа  и результаты опытов представлены в таблице 2. В таблице и в дальнейшем применяем сокращенное обозначение уровней факторов: вместо +1 и −1 обозначаем + и −.

Из таблицы 1 приложения в соответствии со списком группы выбираются значения Y _эксп и заносятся в таблицу 2.

При расчетах, округления значений производить до знаков, как в примере.

 

Таблица 2 − Матрица планирования полнофакторного эксперимента типа  с эффектом взаимодействия первого порядка и результаты опытов

Номер опыта, N k	Порядок варьирования факторов						Значения параметра оптимизации
	x 1	x 2	x 3	x 1 x 2	x 1 x 3	x 2 x 3	Y эксп	Y расч	∆ Y	(∆ Y)^2
1	+	+	+	+	+	+	0,81	0,84	0,028	0,0008
2	−	+	+	−	−	+	0,66	0,65	-0,007	0,0001
3	+	−	+	−	+	−	0,98	0,93	-0,053	0,0028
4	−	−	+	+	−	−	0,85	0,88	0,033	0,0011
5	+	+	−	+	−	−	0,95	0,92	-0,028	0,0008
6	−	+	−	−	+	−	0,73	0,74	0,007	0,0001
7	+	−	−	−	−	+	0,96	1,01	0,053	0,0028
8	−	−	−	+	+	+	1,00	0,97	-0,033	0,0011
b i	0,0575	-0,0800	-0,0425	0,0350	0,0125	-0,0100
							0,8675	0,8675

 

Таким образом, построен полный факторный эксперимент . Он имеет восемь опытов и включает все возможные комбинации уровней трех факторов.

РЕГРЕССИИ

Для полного факторного эксперимента типа  уравнение регрессии с учетом эффектов взаимодействия можно представить следующим выражением:

                             (3.1)

или

,            (3.2)

где  − свободный член уравнения регрессии;  − коэффициент линейного эффекта,  − коэффициент эффекта парного взаимодействия,  − число факторов,  и  − факторы эксперимента.

Получение модели сводится к нахождению по результатам эксперимента значений неизвестных коэффициентов.

 

РЕГРЕССИИ

Вычисление критерия Фишера

Адекватность модели в целом будем определять по критерию Фишера. Экспериментальное значение F -критерия (критерия Фишера) равно:

,                                               (6.1)

где  − дисперсия адекватности модели (остаточная дисперсия),  − дисперсия опыта (эксперимента).

Вычислим дисперсию адекватности по формуле:

,                        (6.2)

где f − число степеней свободы, m − количество значимых коэффициентов модели (в уравнении регрессии, кроме ), N − количество опытов.

Сначала вычислим разницу между расчетными и экспериментальными значениями параметров оптимизации и заполним таблицу 2:

                                  (6.3)

Также найдем (∆ Y)² и заполним таблицу 2.

Подставляя известные значения в выражение (6.2), вычислим дисперсию адекватности модели:

Экспериментальное значение F -критерия (критерия Фишера) вычислим по (6.1).

Табличное значение критерия Фишера () определяется по таблице. Значение F -критерия для уровня значимости  зависит от  (число степеней свободы большей дисперсии),  (число степеней свободы меньшей дисперсии). Учитывая уровень значимости и зная степень свободы, табличное значение критерия Фишера равно .

 

ТЕМА КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

«ВЫБОР И ПОСТРОЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ

 ЭКСПЕРИМЕНТА»

Задание:

Определить влияние режимов шлифования (глубина шлифования, скорость движения стола и твердость абразивного инструмента) на результат шлифования образцов из стали (шероховатость обработанной поверхности).

Для выполнения поставленной задачи необходимо выполнить следующее:

1. Выбрать критерий Y, определить факторы и интервалы их варьирования.

2. Построить план проведения полного факторного эксперимента.

3. Определить коэффициенты уравнения регрессии.

4. Проверить значимость коэффициентов регрессии.

5. Вычислить расчетные значений параметров оптимизации.

6. Определить критерий Фишера и проверить модель на адекватность.

7. Cделать вывод о влиянии режимов шлифования на результат.

 

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

1. ВЫБОРКА Y, ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФАКТОРОВ И ИНТЕРВАЛОВ ИХ ВАРЬИРОВАНИЯ

 

Выбор критерия

Критерий (Y): результат шлифования образцов из стали, значение параметра шероховатости.

 

Определение факторов

Факторы:

1) X ₁ − глубина шлифования, мкм/ход.;

2) X ₂ − скорость движения стола, м/мин.;

3) X ₃ − твердость абразивного инструмента.

 

Определение интервалов изменения факторов

Область определения факторов устанавливается согласно условиям эксперимента. Схема полно-факторного эксперимента предусматривает одновременное варьирование всех исследуемых факторов на двух уровнях: верхнем (m ax), имеющем максимальное значение рассматриваемого фактора и нижнем (m in), соответствующем минимальному значению фактора. Интервалы изменения факторов в эксперименте представлены в таблице 1.

 

Таблица 1 − Интервалы варьирования факторов в эксперименте

Факторы	Уровни
	m in (-1)	m ax (+1)
Глубина шлифования– X 1	10 мкм/ход.	20 мкм/ход.
Скорость стола – X 2	6 м/мин.	12 м/мин.
Твердость круга– X 3	K	L

 

ПОСТРОЕНИЕ ПЛАНА ПРОВЕДЕНИЯ ПОЛНОГО ФАКТОРНОГО ЭКСПЕРИМЕНТА

При известном значении числа факторов, можно найти число опытов, необходимых для реализации всех возможных сочетаний уровней факторов.

,                                              (2.1)

где  − количество экспериментов,  − число факторов эксперимента.

Подставив значение числа факторов, вычислим количество экспериментов по (2.1):

План эксперимента удобно задавать таблицей, называемой матрицей планирования эксперимента, включающей в себя значения факторов и эффектов их взаимодействий, а также значения исследуемой функции, называемой параметром оптимизации. Матрица планирования полнофакторного эксперимента типа  и результаты опытов представлены в таблице 2. В таблице и в дальнейшем применяем сокращенное обозначение уровней факторов: вместо +1 и −1 обозначаем + и −.

Из таблицы 1 приложения в соответствии со списком группы выбираются значения Y _эксп и заносятся в таблицу 2.

При расчетах, округления значений производить до знаков, как в примере.

 

Таблица 2 − Матрица планирования полнофакторного эксперимента типа  с эффектом взаимодействия первого порядка и результаты опытов

Номер опыта, N k	Порядок варьирования факторов						Значения параметра оптимизации
	x 1	x 2	x 3	x 1 x 2	x 1 x 3	x 2 x 3	Y эксп	Y расч	∆ Y	(∆ Y)^2
1	+	+	+	+	+	+	0,81	0,84	0,028	0,0008
2	−	+	+	−	−	+	0,66	0,65	-0,007	0,0001
3	+	−	+	−	+	−	0,98	0,93	-0,053	0,0028
4	−	−	+	+	−	−	0,85	0,88	0,033	0,0011
5	+	+	−	+	−	−	0,95	0,92	-0,028	0,0008
6	−	+	−	−	+	−	0,73	0,74	0,007	0,0001
7	+	−	−	−	−	+	0,96	1,01	0,053	0,0028
8	−	−	−	+	+	+	1,00	0,97	-0,033	0,0011
b i	0,0575	-0,0800	-0,0425	0,0350	0,0125	-0,0100
							0,8675	0,8675

 

Таким образом, построен полный факторный эксперимент . Он имеет восемь опытов и включает все возможные комбинации уровней трех факторов.