Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Геометрическая интерпретация комплексных чисел (лекции) ⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 3
Тест на знание темы: «Геометрическая интерпретация комплексных чисел»
Таблица лучших: Геометрическая интерпретация комплексных чисел (лекции)
Поделиться ссылкой:
Что такое "геометрическая интерпретация комплексного числа"? Ответ сокращённый и точный. Геометрическая интерпретация комплексных чисел состоит в том, что каждому комплексному числу z = x + yi ставится в соответствие точка (x, y) координатной плоскости таким образом, что действительная часть комплексного числа представляет собой абсциссу, а коэффициент при мнимой части – ординату точки.
Комплексные числа Комплексным числом называют выражение вида a + bi, где a и b - вещественные числа, а i - символ, удовлетворяющий соотношению i 2 = – 1. Если z = a + bi, то числа a и b называют соответственно вещественной и мнимою частью числа z (обозначение:
Каждое вещественное число a можно рассматривать как комплексное число a + 0 i. Если на плоскости выбрать систему координат, то можно установить взаимно однозначное соответствие между комплексными числами и точками плоскости, при котором числу a + bi соответствует точка с координатами (a, b). При этом умножение на комплексное число z приобретает следующую геометрическую интерпретацию. Пусть r - расстояние от нуля до z, j - угол, на который нужно повернуть вокруг нуля луч, содержащий положительные вещественные числа, чтобы получить луч Oz. Тогда умножение на число z - это композиция гомотетии с коэффициентом r (с центром в нуле) и поворота на угол j. Числа r и j называют соответственно модулем и аргументом числа z (обозначение: r = | z |, j = arg z). По-другому геометрическую интерпретацию произведения комплексных чисел можно сформулировать так: при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются.
Зная геометрическую интерпретацию комплексных чисел, легко научиться их делить: для этого нужно делить модули и вычитать аргументы. Деление можно ввести также и чисто алгебраически. Для каждого комплексного числа z = a + bi имеет место очевидное равенство
Поэтому
Тот факт, что произведение комплексных чисел, с одной стороны, вычисляется чисто алгебраически, а с другой стороны, имеет геометрическую интерпретацию, иногда бывает полезным при решении задач планиметрии. Как правило, решение, использующее комплексные числа, в действительности использует только векторы и поворот. Но иногда комплексные числа позволяют взглянуть на теоремы планиметрии с новой точки зрения и, что гораздо важнее, глубже понять их природу. Очень простую интерпретацию на языке комплексных чисел имеет инверсия с центром в нуле: она отображает число z в число
29.20. Пусть a, b, c, d - комплексные числа, причем углы a 0 b и c 0 d равны и противоположно ориентированы. Докажите, что тогда
Будем говорить, что треугольники ABC и A ¢ B ¢ C ¢ собственно подобны, если существует поворотная гомотетия, которая переводит A в A ¢, B в B ¢, C в C ¢. 29.21. Докажите, что если треугольники abc и a ¢ b ¢ c ¢ на комплексной плоскости собственно подобны, то
29.22. Докажите, что треугольники abc и a ¢ b ¢ c ¢ собственно подобны, тогда и только тогда, когда
29.23. Пусть a и b - комплексные числа, лежащие на окружности с центром в нуле, u - точка пересечения касательных к этой окружности в точках a и b. Докажите, что u = 2 ab /(a + b). 29.24. Пусть a - комплексное число, лежащее на единичной окружности S с центром в нуле, t - вещественное число (точка, лежащая на вещественной оси). Пусть, далее, b - отличная от a точка пересечения прямой at с окружностью S. Докажите, что
29.25. Даны треугольник ABC и прямая l, проходящая через центр O вписанной окружности. Обозначим через A 1 (соответственно B 1, C 1) основание перпендикуляра, опущенного на прямую l из точки A (соответственно B, C), а через A 2 (соответственно B 2, C 2) обозначим точку вписанной окружности, диаметрально противоположную точке касания со стороной BC (соответственно CA, AB). Докажите, что прямые A 1 A 2, B 1 B 2, C 1 C 2, пересекаются в одной точке, и эта точка лежит на вписанной окружности. 29.26. а) Докажите, что все окружности и прямые задаются уравнениями вида
где A и D - вещественные числа, а c - комплексное число. Наоборот, докажите, что любое уравнение такого вида задает либо окружность, либо прямую, либо точку, либо пустое множество. б) Докажите, что при инверсии окружности и прямые переходят в окружности и прямые. 29.27. Пусть точки A *, B *, C *, D * являются образами точек A, B, C, D при инверсии. Докажите, что: а)
б) Ð(DA, AC) – Ð(DB, BC) = Ð(D * B *, B * C *) – Ð(D * A *, A * C *). 29.28. Докажите, что точки, соответствующие комплексным числам a, b, c, лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда число
б) Докажите, что точки, соответствующие комплексным числам a, b, c, d, лежат на одной окружности (или на одной прямой) тогда и только тогда, когда число
29.29 *. а) Докажите, что если A, B, C и D - произвольные точки плоскости, то AB · CD + BC · AD ³ AC · BD (неравенство Птолемея). б) Докажите, что если A 1, A 2, … A 6 - произвольные точки плоскости, то
в) Докажите, что (нестрогое) неравенство Птолемея обращается в равенство тогда и только тогда, когда ABCD - (выпуклый) вписанный четырехугольник. г) Докажите, что неравенство из задачи б) обращается в равенство тогда и только тогда, когда A 1… A 6 - вписанный шестиугольник. 29.30 *. Докажите, что если a, b, c и d - длины последовательных сторон выпуклого четырехугольника ABCD, а m и n - длины его диагоналей, то m 2 n 2 = a 2 c 2 + b 2 d 2 – 2 abcd cos (A + C) (Бретшнейдер). 29.31 *. а) Даны точка X и треугольник ABC. Докажите, что
где a, b, c - длины сторон треугольника. б) На сторонах BC, CA, AB взяты точки A 1, B 1, C 1. Пусть a, b, c - длины сторон треугольника ABC, a 1, b 1, c 1 - длины сторон треугольника A 1 B 1 C 1, S - площадь треугольника ABC. Докажите, что
29.32 *. На сторонах аффинно правильного многоугольника A 1 A 2… An с центром O внешним образом построены квадраты Aj + 1 AjBjCj + 1 (j = 1,…, n). Докажите, что отрезки BjCj и OAj перпендикулярны, а их отношение равно
29.33 *. На сторонах выпуклого n -угольника внешним образом построены правильные n -угольники. Докажите, что их центры образуют правильный n -угольник тогда и только тогда, когда исходный n -угольник аффинно правильный. 29.34 *. Вершины треугольника соответствуют комплексным числам a, b и c, лежащим на единичной окружности с центром в нуле. Докажите, что если точки z и w изогонально сопряжены, то
29.35 *. Точки Z и W изогонально сопряжены относительно правильного треугольника. При инверсии относительно описанной окружности точки Z и W переходят в Z * и W *. Докажите, что середина отрезка Z * W * лежит на вписанной окружности. 29.36 *. Точки Z и W изогонально сопряжены относительно правильного треугольника ABC с центром O; M - середина отрезка ZW. Докажите, что Ð AOZ + Ð AOW + Ð AOM = n p (углы ориентированы).
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2020-11-11; просмотров: 209; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.223.151.158 (0.059 с.) |