Основные теоремы о пределах.

10. Дайте определение бесконечно малой величины. Приведите пример.

Функция f(x) называется бесконечно малой при x -> a, если lim f(x) = 0 при x -> a.

Пример: y = sinX при x -> 0, так как lim sinX = 0 при x -> a

11.Дайте определение бесконечно большой величины? Приведите пример.

Величина х называется бесконечно большой, или стремящейся к бесконечности, если |х|, при последовательном изменении х, делается и при дальнейшем изменении остается больше любого заданного положительного числа М. Иначе говоря: величина х называется бесконечно большой при соблюдении следующего условия: при любом заданном положительном числе М существует такое значение переменной х, что для всех последующих значений соблюдается неравенство |х|>М.

 

Теорема о втором замечательном пределе.

Определение функции непрерывной в точке?

Функция называется непрерывной в точке х0, если: 1) функция y=f(x) определена в этой точке х0 и ее некоторой окрестности 2) если предел функции при х (стремится) х0 равен значению функции в точке х0, то есть lim f(x)=f(x0).

 

Понятие непрерывности функции в точке через приращение.

Функция f(x) называется непрерывной в точке x0 если в этой точке бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции, т.е.

Определение точки разрыва функции.

Точка разрыва функции - точка x0, функции y=f(x), в которой нарушается непрерывность функции.

Определение функции непрерывной в точке справа.

Функция f(x) называется непрерывной справа в точке Xo, если предел функции справа при X →Xo равен значению функции в этой точке. То есть f(Xo + 0)=f(Xo) - функция непрерывна справа.

 

Определение функции непрерывной в точке слева.

Определение функции непрерывной на интервале.

Функция y=f(x) называется непрерывной на интервале (a;b), если она определена на интервале и непрерывна в каждой точке этого интервала.

Непрерывность функции означает, что график функции на всей области определения сплошной, т.е. не имеет разрывов и скачков.

Определение функции непрерывной на отрезке.

Функция y=f(x) называется непрерывной на отрезке [a, b], если она непрерывна на интервале (a, b) и, кроме того, непрерывна справа точки а и непрерывна слева в точке b (т.е. в точках a и b требуется односторонняя непрерывность).

Сформулируйте определение точки устранимого разрыва.

Если в точке х0 существуют конечные односторонние пределы функции, равные между собой, но не равные значению функции в точке х0, то точка х0называется точкой устранимого разрыва.