Производная параметрически заданной функции

Функция  от  задана параметрическими уравнениями:

, тогда производная равна:

(3.8)

Пример 3.4. Найти производную функции , если она задана в параметрическом виде:

Решение. Функция задана параметрически, тогда по формулам параметрического дифференцирования (8) имеем:

Логарифмическое дифференцирование

 

Логарифмической производной положительной функции есть производная от логарифма данной функции.

Пример 3.5. Найти производную функции

Решение. Используем к данной функции логарифмическое дифференцирование. Логарифмируем обе части уравнения:

Дифференцируем обе части уравнения:

Пример 3.6. Найти производную функции

Решение. Логарифмируем обе части уравнения, получим:

 

    Дифференцируем обе части уравнения:

Производная функции старших порядков

Производной n-го порядка называется производная от производной (n –1)-го порядка :

Пример 3.7. Найти производные   функции

.

Решение. Имеем:

,

.

 

Произведение  называется дифференциалом функции  и его обозначают символом dy, то есть:

 

(3.9)

 

Дифференциал функции -го порядка имеет вид:

 

(3.10)

 

Правило Лопиталя.

Предел отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций равен пределу отношения их производных (конечный или бесконечный), если последний существует.

 

Пример 3.8. Найти дифференциал dy функции:

Решение.

, тогда .

Пример 9. Найти предел:

Решение.

Используем правило Лопиталя:

(использование предельного перехода приводит к неопределенности вида , а поэтому используем правило Лопиталя повторно):

.

Основные понятия

1. Если производная дифференцируемой функции положительна внутри некоторого интервала , то функция возрастает на этом интервале.

2. Если производная дифференцируемой функции отрицательна внутри интервала , то функция убывает на этом интервале.

Функция   имеет максимум , если в некоторой окрестности точки  выполняется неравенство .

Функция   имеетминимум  если в некоторой окрестности точки  выполняется неравенство

Максимум или минимум функции называется экстремумом функции, а значение аргумента, при которых достигается экстремум функции, называется точками экстремума функции (соответственно точками максимума или точками минимума функции).

Необходимое условие экстремума функции.

В точке экстремума дифференцируемой функции производная равна нулю  или не существует.

Точки, в которых производная функции равна нулю, называются стационарными.

 

Достаточные условия экстремума функции.

Теорема 1 (первое правило).

Пусть функция  непрерывна на некотором интервале, в котором содержится критическая точка  и дифференцируема во всех точках этого интервала (кроме, возможно, той точки ). Если при переходе слева направо через эту точку производная: 1) изменяет знак с «+» на «–», то в точке  функция имеет максимум; 2) изменяет знак «–» на «+», то в точке  функция имеет минимум; 3) не изменяет своего знака, то в точке  функция экстремума не имеет.

Теорема 2 (второе правило).

Если для дифференцируемой функции  в некоторой точке  ее первая производная  равна нулю, а вторая производная  существует и отлична от нуля, то есть , , тогда: 1) если , то в точке  функция  имеет минимум; 2) если  то в точке  функция  имеет максимум; 3) если  то в точке  необходимо использовать первое правило.

Функция на отрезке  достигает своего наибольшего значения на одном из концов этого промежутка или в такой точке, которая является точкой максимума.

Аналогичное утверждение можно сформулировать о наименьшем значении функции: оно достигается на одно из концов данного промежутка или в такой внутренней точке, которая есть минимумом.

Теорема.

1) Если во всех точках промежутка  для функции  вторая производная положительна , то график функции вогнутый. 2) Если во всех точках промежутка  вторая производная отрицательна , то график функции выпуклый.

Точка перегиба, это точка которая отделяет выпуклую часть кривой от вогнутой или наоборот.

Асимптотой кривой есть прямая, если расстояние d от переменной точки М кривой до этой прямой при удалении точки М в бесконечность стремится к нулю.

Прямая  называется вертикальной асимптотой графика функции , если хотя бы один из односторонних пределов в точке  равен бесконечности, то есть  или , или .

 

Прямая  называется горизонтальной асимптотой графика функции , если существует конечный предел функции при , то есть .

 

Прямая  называется наклоннойасимптотой графика функции

, если ,      .

 

Исследование функции

План исследования функций

1. Найти область определения функции.

2. Проверить четность (нечетность) и периодичность функции.

3. Найти точки разрыва функции и определить их вид.

4. Определить точки пересечения функции с осями координат.

5. Найти точки экстремума, интервалы возрастания и убывания функции.

6. Найти точки перегиба, интервалы выпуклости и вогнутости функции.

7. Найти асимптоты.

8. Построить график.

Пример 3.10. Исследовать на экстремум функцию

Решение. Область определения функции:  

Найдем производную функции  и ее стационарные точки:

Используем необходимое условие экстремума функции:

   

Критическая точка

Рассмотрим интервалы  и исследуем знак слева и справа от каждой критической точки. Результаты занесем в таблицу 2.

 

Таблица 3.1. – Исследование функции с помощью первой производной

	+		-
		1

Из таблицы 3.1 видно, что в точке  функция имеет максимум.

Пример 3.11. Найти наибольшее и наименьшее значения функции  на отрезке

Решение. Находим производную и критические точки функции:

Критическая точка  не принадлежит заданному отрезку, то есть

Вычислим значение функции в критических точках –  и на концах отрезка – :

Следовательно, наибольшее значение функции на заданном отрезке  наименьшее

Пример 3.12. Найти асимптоты графика функции

Решение. Функция определена при всех значениях  за исключением значения  Поскольку при  знаменатель дроби равен нулю, то в точке  функция имеет разрыв второго рода.

То есть, прямая  является вертикальной асимптотой.

Горизонтальных асимптот график не имеет, так как

Найдем наклонную асимптоту:

Следовательно,

 

Пример 3.13. Исследовать функцию  и построить ее график.

Решение.

1. Находим область определения функции.

ОДЗ: .

Функция существует при всех значениях  за исключением значения .

2. Функция общего вида, не периодическая.

Поскольку , значит, функция  не является четной и , значит  не является нечетной, таким образом, функция - функция общего вида.

3. Точка  является точкой разрыва функции. Исследуем ее характер:

.

 

То есть, точка  – точка разрыва второго рода.

4. Находим точки перегиба графика функции с осями координат:

с осью Ох:  

с осью Оу:

5. Находим точки экстремума, интервалы возрастания и убывания функции, результаты заносим в таблицу:

 – критическая точка. При  первая производная функции не существует, но в этой точке сама функция тоже не существует.

Исследуем критические точки на экстремум:

 

Таблица 3.2 – Исследование функции с помощью второй производной

Х		0	(0, 1)	1
	–	0	+	не существует	–
				не существует

 

Проходя через точку  функция имеет минимум: .

Функция убывает при

Функция возрастает при  

6. Точки перегиба и интервалы выпуклости и вогнутости находим из второй производной:

При  вторая производная функции не существует, но в этой точке не существует и сама функция. Исследуем точку  и найдем значение  слева и справа от этой точки. Результаты исследования заносим в таблицу 3.3.

 

Таблица 3.3 – Исследование функцию с помощью второй производной

х
	-	0	+	Не существует	+
	Ç	Перегиб	È	Не существует	È

 

Вторая производная, проходя через , изменяет знак.

Найдем ее ординату: .

Таким образом,  – точка перегиба.

График функции вогнутый при .

График функции выпуклый при

7. Прямая  – вертикальная асимптота.

Так как  то наклонных асимптот нет.

8. Строим график функции.