Дослідження системи (1.1) з коефіцієнтами, заданими формулами (1.41) - (1.42)

 

Будемо проводити наше дослідження в припущенні, що

 

 

Нехай ми маємо систему (1.1), коефіцієнти якої визначаються формулами (1.41) - (1.42). Тоді система (1.1) буде мати вигляд:

 

 (2.8)

 

Інтегральні криві в цьому випадку мають вигляд:

 

 (2.9)

 (2.10)

 

Приватний інтеграл (1.13) у цьому випадку перетворюється у дві прямі (2.10)

1. Знайдемо стани рівноваги системи (2.8). Для цього дорівняємо праві частини системи нулю

 

 

Розглянемо два випадки:

 

 

Одержуємо:

 

 

З першого рівняння знайдемо y:

 

 

і підставляючи y у друге рівняння одержимо:

 

 

Вирішуючи це рівняння, знаходимо:

 

.

 

Отже, одержуємо

 

,

,

 

Отже, одержуємо крапки

 

, , ,

 

і пряму x=0, що є траєкторією системи (2.8).

2. Досліджуємо поводження траєкторій на околицях станів рівноваги

Досліджуємо крапку .

Складемо характеристичне рівняння в крапці .

 

Звідси

 (2.11)

 

Отже, характеристичне рівняння прийме вид:

 

 

Характеристичними числами для крапки  системи (2.8) будуть , . Коріння  - дійсні й різні знаки не залежно від параметра d, значить крапка  - сідло. Досліджуємо крапку . Згідно (2.11) складемо характеристичне рівняння в крапці :

 

 

Характеристичними числами для крапки  системи (2.8) будуть , .

Коріння  - дійсні й одного знака, що залежать від параметра d. Якщо d<0, то крапка  - нестійкий вузол, а якщо d>0, то крапка  - стійкий вузол.

3. Досліджуємо поводження траєкторій в околиці крапки .

Складемо характеристичне рівняння згідно (2.11)

 

.

 

Характеристичними числами для крапки  системи (2.8) будуть

 

,

 

Коріння  - дійсні й одного знака, що залежать від параметра d. Якщо d<0, то крапка - стійкий вузол, якщо d>0, то крапка  - нестійкий вузол.

4. Досліджуємо поводження траєкторій в околиці крапки .

Згідно (2.11) складемо характеристичне рівняння:

 

 

Характеристичними числами для крапки  системи (2.8) будуть , . Коріння  - дійсні й різні знаки не залежно від параметра d, отже  - сідло. Досліджуємо нескінченно - вилучену частину площини системи (2.8) поза кінцями осі oy. Перетворення [7]  переводить систему (2.8) у систему:

 

 (2.12)

 

де .

Вивчимо нескінченно - вилучені крапки на осі U, тобто при z=0. Одержуємо:

 

Отже .

 

Таким чином, одержуємо дві крапки N1 (0,-1) і N2 (0,1), які є станом рівноваги. Досліджуємо характер цих крапок звичайним способом.

Складемо характеристичне рівняння в крапці N1 (0,-1).

 

 (2.13), . Маємо:

, .

 

Коріння  - дійсні й різні за знаком, отже крапка N1 (0,-1) - сідло.

Досліджуємо крапку N2 (0,1). Згідно (2.13) складемо характеристичне рівняння:

 

, .

 

Коріння  - дійсні й одного знака, значить крапка N2 (0,1) - стійкий вузол.

Досліджуємо кінці осі y за допомогою перетворення [7] . Це перетворення переводить систему (2.8) у систему:

 

 (2.14)

 

де .

Для дослідження станів рівноваги на кінцях осі y, нам необхідно досліджувати тільки крапку N3 (0,0). Складемо характеристичне рівняння в крапці N3 (0,0):

 

,

 

Коріння  - дійсні й одного знака, значить крапка N3 (0,0) - нестійкий вузол.

Тепер дамо розподіл станів рівноваги системи (2.1) у вигляді таблиці 2.

 

Таблиця 2.

d					∞
					N1	N2	N3
(-∞; 0)	сідло	невуст. вузол	вуст. вузол	сідло	сідло	вуст. вузол	невуст. вузол
(0; +∞)	сідло	вуст. вузол	невуст. вузол	сідло	сідло	вуст. вузол	невуст. вузол

 

Положення кривих (2.9), (2.10) і розташування щодо їхніх станів рівноваги при d (0 і d (0 дається відповідно мал.2 (а, б).

Поводження траєкторій системи в цілому при d (0 і d (0 дається мал.5 (а, б) додатка Б: Поводження траєкторій системи (2.8).

Питання про існування граничних циклів не виникає, тому що Воробйов А.П. [5] довів, для квадратичної системи граничний цикл не може оточувати вузол.

 

а (d<0)            б (d>0)

Мал.2