Корреляционный анализ взаимосвязи между варьирующими признаками объекта

 

В данном разделе необходимо определить, как переменные параметры могут быть связаны друг с другом. С помощью расчета коэффициента корреляции установить, существует ли связь между параметрами.

Корреляция измеряет мощность и направление связи между параметрами. На рисунке 1 представлены различные типы корреляции в виде графиков рассеяния упорядоченных пар (x, y). По традиции переменная х размещается на горизонтальной оси, а y — на вертикальной.

 

(А) Положительная                (В) Отрицательная

линейная корреляция            линейная корреляция

 

(С) Отсутствие корреляции      (D) Нелинейная корреляция

 

Рис. 1. Примеры корреляции

 

График А являет собой пример положительной линейной корреляции: при увеличении х также увеличивается у, причем линейно. График В показывает пример отрицательной линейной корреляции, на котором при увеличении х у линейно уменьшается. На графике С – отсутствие корреляции между х и у. Эти переменные никоим образом не влияют друг на друга. График D – нелинейное отношение между переменными. По мере увеличения х у сначала уменьшается, потом меняет направление и увеличивается.

Коэффициент корреляции

Коэффициент корреляции, r, предоставляет как силу, так и направление связи между независимой и зависимой переменными. Значения r находятся в диапазоне между -1.0 и +1.0. Когда r имеет положительное значение, связь между х и у является положительной (график A на рисунке 1), а когда значение r отрицательно, связь также отрицательна (график В). Коэффициент корреляции, близкий к нулевому значению, свидетельствует о том, что между х и у связи не существует (график С).

Сила связи между х и у определяется близостью коэффициента корреляции к — 1.0 или +- 1.0 (смотри рисунок 2).

 

 

Рис. 2. Примеры сил связи между переменными

 

График A показывает идеальную положительную корреляцию между х и у при r = +1.0. График В – идеальная отрицательная корреляция между х и у при r = -1.0.  Графики С и D – примеры более слабых связей между зависимой и независимой переменными. При r= 0 между переменными х и у нет никакой связи.

Фактический коэффициент корреляции вычисляется с помощью следующего уравнения

 

                    (1)

Пример

Определить, существует ли связь между количеством часов, затраченных студентом на изучение дисциплины, и финальной экзаменационной оценкой. Таблица 1 иллюстрирует алгоритм определения промежуточных данных для расчета коэффициента корреляции.

 

Таблица 1

Исходные и промежуточные данные для определения r

	A	B	C	D	E
1	Часы изучения, x	Экзамен, y	Оценка, xy	X^2	Y^2
2	3	86	258	9	7396
3	5	95	475	25	9025
4	4	92	368	16	8464
5	4	83	332	16	6889
6	2	78	156	4	6084
7	3	82	246	9	6724
8	Σx=21	Σy=516	Σxy=1835	Σx^2=79	Σy^2=44582

 

.                (2)

 

Как видно, между числом часов, посвященных изучению предмета, и экзаменационной оценкой существует весьма сильная положительная корреляция.

Таким образом, если обнаруживается, что связь существует, можно прогнозировать экзаменационные результаты на основе определенного количества часов, посвященных изучению предмета. Чем сильнее связь, тем точнее будет прогноз.

Использование Excel для вычисления коэффициентов корреляции

Вычисления коэффициентов корреляции производится с использованием программы Excel с помощью функции КОРРЕЛ со следующими характеристиками:

КОРРЕЛ (массив 1; массив 2),

 

где массив 1 = диапазон данных для первой переменной;

массив 2 = диапазон данных для второй переменной.

Например, на рисунке 3 показана функция КОРРЕЛ, используемая при вычислении коэффициента корреляции для примера с экзаменационной оценкой.

 

Рис. 3. Расчет коэффициента корреляции с использованием

программы Excel