Розвязування раціональних нерівностей вищих степенів методом інтервалів

 

Будемо розглядати розв’язання раціональних нерівностей методом інтервалів. Існують різні схеми реалізації цього методу. Розглянемо одну з цих схем, допускаючи, що розв’язується нерівність . У випадку нерівності  ця схема аналогічна.

1.Перенести всі члени нерівності вліво:

 

.

 

2.Ліву частину отриманої нерівності привести до спільного знаменника:

 

.

 

3.Багаточлени  і  розкласти на множники. Якщо при цьому з’являються однакові множники, то треба замінити їх відповідним степенем. Наприклад,

 

.

 

При скороченні треба мати на увазі, що:

 

4. Виключити з розкладення нелінійні множники. Це виключення виконується таким чином.

Якщо в розкладенні є множник, , де , то його виключення залежить від знака старшого коефіцієнта і виконується за правилом:

 

 

Якщо в розкладенні є множник , то його виключення здійснюється за правилами

 

 

 

 

Нелінійний множник  виключається за правилом:

.

 

5. На числовій осі відмітимо точки, в яких обертаються в нуль всі множники, що стоять в чисельнику і знаменнику лівої частини нерівності, отриманої в результаті виконання пунктів «1» - «4». При цьому, якщо нерівність нестрога, точки, які відповідають множникам чисельника будемо визначати зафарбованими кружками, а точки, що відповідають множникам знаменника світлими. Якщо нерівність строга, всі точки відмічаються світлими кружками.

6. Поставити знаки в кожному проміжку, на якій числова вісь розбивається відміченими точками.

Спочатку поставити знак у самому правому проміжку на числовій осі за правилом: знак «+» ставиться, якщо число множників виду  парне, і знак «-», якщо це число непарне. Знаки в інших проміжках ставляться з урахуванням того, що вони чергуються в сусідніх проміжках.

7. Вибираються проміжки, в яких стоїть знак «+», якщо нерівність, отримана в пункті 4 має вигляд: , або «-», якщо ця нерівність має вигляд . Ці проміжки містять у собі крайні точки, відмічені на числовій осі зафарбованими кружками, і не містять точок, відмічених світлими кружками,. Об’єднання цих проміжків і є множиною розв’язків даної нерівності.[4:124]

Приклад 1. Розв’язати методом інтервалів нерівність

 

. (1)

 

Розв’язування:З нерівності  знаходимо ОДЗ:

 

 

Далі замість нерівності (1) розв’язуємо рівняння

 

 або  звідки

 

Наносимо відповідні точки на числову вісь (див. рисунок).

 

 

Розглядаємо кожний з утворених інтервалів окремо.

1. Підставляємо значення  з інтервалу  у нерівність (1). Дістаємо нерівність , яка не виконується. Тому нерівність (1) не виконується в усіх точках інтервалу .

2. Підставляючи в нерівність (1) значення  з інтервалу , дістаємо правильну нерівність . Отже, нерівність (1) виконується на інтервалі .

3. Підставляючи в (3) значення  з інтервалу  дістаємо неправильну нерівність . Це означає, що нерівність (1) не виконується ні в одній точці інтервалу .

Остаточно маємо розв’язок нерівності (1)

Відповідь .[1:161]

Приклад 2. Розв’язати нерівність

Розв’язування: Для знаходження коренів рівняння  необхідно розкласти його на множники. Отже

 

 

Отже числа , , є коренями даного рівняння. Наносимо ці числа на числову вісь і визначаємо знак лівої частини функції

 на одному з інтервалів. Зокрема, взявши точку  з інтервалу , дістаємо . Провівши «криву знаків», визначаємо знак  в кожному з інтервалів.

 

 +  +

1 2 3 x

Відповідь: