Свойства геометрических прогрессий, начинающихся с единицы

1. Отношение двух смежных членов прогресии всегда постоянно и равно знаменателю прогресси.

Так, для прогрессии 1—2—4—6—8—16—32—64 и т, д. это свойство может быть выражено следующим образом:

 

или, в общем виде

 

2. Произведение или частное от деления двух членов прогрессии всегда является членом этой прогрессии.

Если воспользоваться ранее рассмотренной прогрессией, то:

2X4 = 8; 8X4 = 32; 16X4 = 64; 16: 2 = 8; 64: 8 = 8; 32: 8 = 4.

В общем виде это записывается следующим образом:

 

 

где n и m — значения порядкового номера (i) членов прогрессии.

3.  Целая положительная степень любого члена прогресии всегда является членом этой прогрессии:

2² =4; 2³ = 8; 4³ = 64; 2⁵ = 32 или, в общем виде,

 

 

где n — значение порядкового номера (i) членов прогресии: m — целая положительная степень.

Недостатком рассматриваемой прогрессии является то, что сумма и разность двух членов прогрессии в общем случае не являются членами прогрессии. Так, для рассматриваемой прогрессии 1—2—4—8—16—32—64 и т. д. будем иметь 8-2 = 6; 4-1=3; 4+8=12. Члены геометрической прогрессии в десятичной системе не являются круглыми числами, и при использовании на практике их надо округлять. Исключение составляет прогрессия со знаменателем 10.

Преимущество геометрического ряда для целей стандартизации можно показать на следующем примере. Пусть имеется два ряда мощностей двигателей внутреннего сгорания. В диапазоне от 10 до 160 кВт промежуточные градации выбраны по арифметической прогрессии с разностью 25 и по геометрической со знаменателем Q = 1.6 при общем числе градаций 7. Тогда первый ряд будет включать значения мощностей 10: 35; 85; 110; 135; 160, а второй 10; 16; 25; 40; 63; 100; 160. Из сравнения видно, что второй ряд обеспечивает более плавное наращивание мощностей и тем самым исключает появление близких по мощности двигателей (например, 135 кВт и 160 кВт).

 

Ряды предпочтительных чисел

Одним из наиболее важных направлений стандартизации является разработка параметрических стандартов, в которых устанавливаются ряды параметров, характеризующих мощность, производительность, грузоподъемность и т. д. различных изделий. Создание и использование изделий будет наиболее успешным только в том случае, если параметры их будут согласованы между собой. Так, объем ковша экскаватора, работающего в карьере, должен быть согласован с объемом кузова автомобиля, а технологические характеристики металлургического и прокатного оборудования должны быть не только увязаны между собой, но и с соответствующими характеристиками прессов, металлорежущих станков и другого технологического оборудования. Для этого при выборе параметров необходимо придерживаться определенных, строго обоснованных рядов чисел, которые подчиняются определенной математической закономерности.

Такими рядами являются ряды предпочтительных чисел.

Применение рядов предпочтительных чисел при конструировании создает предпосылки для унификации машин, агрегатов, узлов и деталей, Чтобы облегчить выбор и увязку параметров изделий, ряды предпочтительных чисел должны отвечать следующим требованиям:

представлять рациональную систему чисел, отвечающую потребностям производства и эксплуатации;

быть бесконечными в сторону как малых, так и больших величин:

включать все десятикратные значения любого члена в единицу:

быть простыми и легко запоминаемыми.

Геометрические ряды в большинстве случаев более пригодны для стандартизации параметров, чем арифметические. Однако геометрических рядов бесконечное множество, и необходимо выбрать из них такие, которые будут иметь определенные преимущества перед остальными. К таким геометрическим рядам относятся прогресси с знаменателем  Для упрощения расчетов весьма удобной будет прогрессия, у которой степени, будучи целыми числами для искомого знаменателя, дают как число 10, так и число 2. Тогда эти числа и кратные им будут входить в число членов такого ряда. Для этого должно быть выполнено уравнение  при условии, что y и z целые числа.

Чтобы определить значение y и z, логарифмируем это уравнение

 

 

откуда

 

Приближенно этому условию удовлетворяют следующие значения

y  -3 6 12 24 48

z -10 20 40 80 160 и т.д.

Для системы предпочтительных чисел отобраны следующие показатели степени z=10; z = 20; z= 40; z = 80; z = 160.

Рассмотрим образование ряда геометрической прогрессии в десятичном интервале при Тогда в общем случае будем иметь следующую последовательность: a; aQ; aQ ²; aQ ³; aQ ⁴; aQ ⁵; aQ ⁶; aQ ⁷; aQ ⁸; aQ ⁹; aQ ¹⁰.

При а = 1 и Q = 1, 25 с учетом округлений получим: 1; 1,25; 1,6; 2,0; 2,5; 3,15; 4,0; 5,0; 6,3; 8,0; 10,0.

Аналогично образуются ряды с показателями степени z = 20, z = 40, z = 80, z = 160. Ряды предпочтительных чисел регламентированы ГОСТ 8032-84 и представляют собой ряды геометрической прогрессии со следующими знаменателями:

для ряда R5:

для ряда R5:

для ряда R5:

для ряда R5:

Ряды с указанными выше знаменателями получили название ос новных.

В отдельных технически обоснованных случаях стандартом допускается применение дополнительных рядов R80 со знаменателем

Обозначения рядов, не ограниченных пределами: R5; R10; R20; R40; R80; R160. R5:  и R160 со знаменателем R5: . Членами рядов предпочтительных чисел являются округленные числа. Число членов в интервале от 1 до 10 ряда R5 равно 5; R10 - 10; R20 - 20; R40 - 40; R80 - 80; R160 - 160. При этом каждый последующий ряд включает в себя числа предыдущих рядов.

Обозначение рядов, ограниченных пределами и числами:

R5 (... 40...) — основной ряд R5, не ограниченный верхним и нижним пределом, но с обязательным, включением члена 40;

R10 (1,25...) - основной ряд R10, ограниченный членом 1,25 в качестве нижнего предела;

R40 (75... 300) - основной ряд R40, ограниченный членом 75 в качестве нижнего предела и членом 300 в качестве верхнего предела.

Кроме основных и дополнительных рядов предпочтительных чисел допускается применять выборочные ряды, получаемые путем отбора каждого 2, 3, 4 или n -го члена основного или дополнительного ряда.

Эти ряды применяются, когда устанавливаются градации параметров, размеров и другие числовые характеристики, зависимые от параметров и размеров, образованных на базе основных рядов. Выборочные ряды обозначаются следующим образом:

R5/2 (1... 1000000) — выборочный ряд, полученный путем отбора каждого второго члена основного ряда R5 и ограниченный членами 1 и 10000000;

R10/3 (... 80...) - выборочный ряд, полученный путем отбора каждого третьего члена основного ряда R10, включающий число 80 и неограниченный и в обоих направлениях.

Например, выборочный ряд R10/3 (1...) будет состоять из следующих членов: 1; 2;4; 8; 16; 31.5: выборочный ряд R20/2 (1,12.,.) из членов: 1,12; 1,4; 1,8; 2,24; 2,80...

Если при установлении градации параметров изделий диапазон ряда составлен из нескольких интервалов, каждый из которых образован с помощью различных знаменателей прогрессии, то такие ряды называются с о с т а в н ы м и, т. е. получаемыми путем сочетания различных основных и (или) выборочных рядов.

Например, ряд 1; 1,6; 2,5; 4,5; 6,3; 8; 10 состоит из чисел 1; 1,6; 2,5; 4 по ряду R5 (Q = 1,6) и чисел 5; 6,3; 8; 10 по ряду R10 (Q = 1,25).

Производные ряды получают путем простейшего преобразования основных и дополнительных рядов предпочтительных чисел. В соответствии с ГОСТ 8032—84 к производным рядам относятся:

убывающие ряды положительных предпочтительных чисел. Обозначение убывающих рядов  и т. д.;

комплементарные предпочтительные ряды чисел, которые представляют собой убывающую геометрическую прогрессию, значения которой асимпотически стремятся к 10^m (где m — целое число или нуль). Комплементарные предпочтительные ряды чисел используют для выбора параметров определяющих чистоту вещества, КПД, вероятность безотказной работы. Обозначение комплементарных рядов  и т.д.;

арифметические предпочтительные ряды чисел, которые представляют собой арфиметическую прогрессию с разностью  (где R = 5, 10, 20, 40, 80, 160).

Арифметические предпочтительные ряды чисел применяют при установлении значений таких параметров, как температура окружающего воздуха, размеры обуви, одежды, уровень шума и т, д. В обозначениях арифметических предпочтительных рядов чисел указываются их разность и числа, ограничивающие ряд, например:

А5; А2 (-10,...,+ 10) и т. д.,

где А - обозначение арифметического предпочтительного ряда; 2 и 5 -значение разности; - 10 и + 10 - числа, ограничивающие ряд.

Как отмечалось ранее, предпочтительные числа являются округленными по сравнению с расчетными числами геометрических прогрессий. Тем не менее, в отдельных, технически обоснованных случаях требуются дополнительные округления стандартизованных чисел. Например, при установлении числа зубьев шестерен нельзя использовать число 31,5, так как число зубьев не может быть дробным. В подобных случаях вместо основных рядов предпочтительных чисел и отдельных членов этих рядов допускается применять ряды приближенных предпочтительных чисел и отдельные приближенные предпочтительные числа этих рядов, По ГОСТ 8032—84 приближенные ряды предпочтительных чисел обозначаются R' или R" в зависимости от величины проведенных округлений.

Рассмотрим некоторые свойства основных рядов предпочтительных чисел.

1. Если величины, входящие в ряды предпочтительных чисел, связаны степенной зависимостью, то знаменатели рядов, которые они образуют, также связаны такой же степенной зависимостью.

2. Ряды предпочтительных чисел безграничны в обоих направлениях.

3. Номера предпочтительных чисел N от 0 до 40 представляют собой логарифмы чисел ряда R40 при основании логарифмов, равном знаменателю прогрессии (для ряда R40, Q = 1,06). Логарифмическая связь ду номерами предпочтительных чисел и соответствующими предпочтительными числами в этом случае выражается следующим образом:

Q° = 1; Q¹ = 1,06; Q² = 1,12; Q³ = 1,18; Q⁴⁰ = 10.

Необходимо помнить, что вычисления с помощью порядковых номеров дают небольшую погрешность, вызванную расхождениями между теоретическими предпочтительными числами и округленными членами основных рядов.

Начиная от ряда R10 в числах рядов находится число 3,15, приближенно равное числу π. Отсюда следует, что длина окружности и площадь круга, если их диаметры — числа предпочтительные, также могут быть выражены предпочтительными числами. Это может быть применено и к окружным скоростям, поверхностям и объемам цилиндров.

Члены одного ряда, возведенные в квадрат, дают более редкий ряд: например, если члены ряда R10 (1; 1,25; 1,6; 2,0) возвестив квадрат (1²; 1,25²; 1,6²; 2,0²), то получим ряд R5 (1; 1,6; 2,5; 4,0).