Базис и размерность линейного пространства. Координаты вектора в заданном базисе

Умножение матрицы на число.

Транспонирование матрицы.

Для того чтобы транспонировать матрицу, нужно ее строки записать в столбцы транспонированной матрицы.

Транспонированная матрица обычно обозначается надстрочным индексом или штрихом справа вверху.

 

4 Сумма (разность) матриц.

Умножение матриц.

Теорема.

Если матрица А имеет обратную, то  и .

 

Доказательство.

 

Так как определитель произведения матриц равен произведению определителей, то .  поэтому  , что невозможно при  . Из предыдущего равенства следует также  .     

 

Последнее предложение можно сформулировать в следующем виде.

Основы стандартной модели

Стандартная модель, также как и классические теории международной торговли, исходит из того, что мировая экономика представлена двумя странами, в каждой из которых производятся два товара: Х и Y. Кроме того, в стандартной модели используются следующие допущения: покупатели в процессе потребления стремятся обеспечить максимум эффекта (графически это изображается с помощью кривых безразличия), а производители стремятся извлечь максимум прибыли; на внутреннем и мировом рынках существует совершенная конкуренция, в условиях которой равновесная цена устанавливается на уровне, соответствующем предельным издержкам производства

 

Билет 19. Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов.

Скалярное произведение векторов - это операция над двумя векторами, результатом которой является число (не вектор).

Определяется скалярное произведение, как правило, следующим образом:

Иными словами, скалярное произведение векторов равно произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Необходимо заметить, что угол между двумя векторами - это угол, который они образуют, если отложить их от одной точки, то есть начала векторов должны совпадать.

 

Векторное произведение двух векторов а и b - это операция над ними, определенная лишь в трехмерном пространстве, результатом которой является вектор со следующими свойствами:

Для большей ясности приведем пример - на рисунке справа вектор [a,b] - векторное произведение векторов а и b. Как сказано в определении, мы привели все три вектора к общему началу, и тогда, если смотреть на вектора a и b с конца вектора [a,b], кратчайший поворот от вектора а до вектора b будет против часовой стрелки.

 

Смешанное произведение векторов  — скалярное произведение вектора  на векторное произведение векторов  и : .

.

 

 

Билет 20. Различные виды уравнения прямой на плоскости. Полярная система координат.

Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка Ах + Ву + С = 0, причем постоянные А, В не равны нулю одновременно, т.е. А² + В² не равно 0. Это уравнение первого порядка называют общим уравнением прямой.

В зависимости от значений постоянных А,В и С возможны следующие частные случаи:

 

• C = 0, А ≠0, В ≠ 0 – прямая проходит через начало координат

• А = 0, В ≠0, С ≠0 { By + C = 0} - прямая параллельна оси Ох

• В = 0, А ≠0, С ≠ 0 { Ax + C = 0} – прямая параллельна оси Оу

• В = С = 0, А ≠0 – прямая совпадает с осью Оу

• А = С = 0, В ≠0 – прямая совпадает с осью Ох

 

Уравнение прямой может быть представлено в различном виде в зависимости от каких – либо заданных начальных условий.

 

В декартовой прямоугольной системе координат вектор с компонентами (А, В) перпендикулярен прямой, заданной уравнением Ах + Ву + С = 0 — это уравнение прямой по точке и вектору нормали.

Каждый ненулевой вектор (a₁, a₂), компоненты которого удовлетворяют условию Аa₁ + Вa₂ = 0 называется направляющим вектором прямой Ах + Ву + С = 0.

 

Полярная система координат — двумерная система координат, в которой каждая точка на плоскости определяется двумя числами — полярным углом и полярным радиусом.

Полярная система координат задаётся лучом, который называют нулевым или полярной осью. Точка, из которой выходит этот луч называется началом координат или полюсом. Любая точка на плоскости определяется двумя полярными координатами: радиальной и угловой. Радиальная координата (обычно обозначается r) соответствует расстоянию от точки до начала координат. Угловая координата, также называется полярным углом или азимутом и обозначается , равна углу, на который нужно повернуть против часовой стрелки полярную ось для того, чтобы попасть в эту точку.

Билет 21. Угол м/у прямыми. Условия перпендикулярности и параллельности двух прямых.

Условия параллельности двух прямых:

а) Если прямые заданы уравнениями (xcos(альфа)+ysin(альфа)-p=0) с угловым коэффициентом, то необходимое и достаточное условие их параллельности состоит в равенстве их угловых коэффициентов:

k1 = k2.   

б) Для случая, когда прямые заданы уравнениями в общем виде (A1x + B1y + C1 = 0, A2x + B2y + C2 = 0), необходимое и достаточное условие их параллельности состоит в том, что коэффициенты при соответствующих текущих координатах в их уравнениях пропорциональны, т. е.

 

Условия перпендикулярности двух прямых:

а) В случае, когда прямые заданы уравнениями (xcos(альфа)+ysin(альфа)-p=0) с угловым коэффициентом, необходимое и достаточное условие их перпендикулярности заключается в том, что их угловые коэффициенты обратны по величине и противоположны по знаку, т. е.

k1k2 = -1.

б) Если уравнения прямых заданы в общем виде (A1x + B1y + C1 = 0, A2x + B2y + C2 = 0), то условие их перпендикулярности (необходимое и достаточное) заключается в выполнении равенства A1A2 + B1B2 = 0.

 

Билет 22. Расстояние от данной точки до данной прямой.

Теорема. Если задана точка М(х₀, у₀), то расстояние до прямой Ах + Ву + С =0 определяется как

Доказательство. Пусть точка М₁(х₁, у₁) – основание перпендикуляра, опущенного из точки М на заданную прямую. Тогда расстояние между точками М и М₁:

 (1)

 

Координаты x1 и у1 могут быть найдены как решение системы уравнений:

 

 

Второе уравнение системы – это уравнение прямой, проходящей через заданную точку М0 перпендикулярно заданной прямой.

 

Если преобразовать первое уравнение системы к виду:

A(x – x₀) + B(y – y₀) + Ax₀ + By₀ + C = 0,

то, решая, получим:

 

Подставляя эти выражения в уравнение (1), находим:

 

Теорема доказана!

 

 

Билет 23. Кривые второго порядка.

Кривые второго порядка – кривые, описываемые уравнениями второй степени с двумя переменными.

Алгебраической кривой второго порядка называется кривая Г, уравнение которой в декартовой системе координат имеет вид:

Аx² + 2Вxy + Сy² + 2Dx + 2Еy + F = 0, где не все коэффициенты А, В и С равны одновременно нулю.

Эллипс - геометрическое место точек, для которых сумма расстояний до двух фиксированных точек (фокусов) есть для всех точек эллипса одна и та же постоянная величина (эта постоянная величина должна быть больше, чем расстояние между фокусами).

Окружность - замкнутая плоская кривая, все точки которой одинаково удалены от данной точки (центра).

Гипербола - геометрическое место точек, разность расстояний которых от двух данных фиксированных точек (фокусов) гиперболы есть одна и та же постоянная величина. Предполагается, что эта постоянная величина не равна нулю и меньше, чем расстояние между фокусами.

Простейшее уравнение гиперболы:

Парабола - геометрическое место точек, каждая из которых одинаково удалена от заданной фиксированной точки и от заданной фиксированной прямой. Точка, о которой идет речь в определении, называется фокусом параболы, а прямая - ее директрисой.

Простейшее уравнение параболы: y² = 2px.

Билет 24. Каноническое уравнение прямой в пространстве.

  

Каноническое уравнение получается из параметрическиx уравнений делением одного уравнения на другое:

где  — координаты  и  направляющего вектора прямой,  и  координаты точки, принадлежащей прямой.

 

Вывод:

Билет 25. Плоскость, виды уравнений плоскости.

Плоскость — поверхность, содержащая полностью каждую прямую, соединяющую любые её точки.

 

Уравнения плоскости:

1. Уравнение плоскости в отрезках:  где a, b, c - величины отрезков, отсекаемых плоскостью на осях координат.

 

2. Нормальное уравнение плоскости:  где - углы, образуемые нормальным вектором плоскости с осями координат; p - расстояние от начала координат до плоскости.

Сложение комплексных чисел.

Суммой комплексных чисел z₁ = a + bi и z₂ = с + di называется комплексное число (a + c) + (b + d)i.

Таким образом:

  z₁ + z₂ = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i.

Сумма комплексных чисел обладает свойствами:

- коммутативности: z1 + z2 = z2 + z1

- ассоциативности: (z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3)

Разность комплексных чисел.

Разностью комплексных чисел z1 = a + bi и z2 = c + di называется комплексное число z = z1 - z2 = (a - c) + (b - d)i.

Частное.

Частным от деления комплексного числа z1 на комплексное число z2 называется такое число z, которое удовлетворяет условию z? z2 = z2? z= = z1.

 

Билет 29. Геометрическое изображение комплексных чисел. Модуль и аргумент.

 

Действительные числа можно изобразить точками прямой линии, как показано на рисунке, где точка A изображает число 4, а точка B число -5. Эти же числа можно изображать также отрезками OA, OB, учитывая не только их длину, но и направление.

Каждая точка M числовой прямой изображает некоторое действительное число (рациональное, если отрезок OM соизмерим с единицей длины, и иррациональное если несоизмерим). Таким образом, на числовой прямой не остается места для комплексных чисел.

Но комплексные числа можно изображать на числовой плоскости. Для этого мы выбираем на плоскости прямоугольную систему координат, с одинаковым масштабом на обеих осях.

Комплексное число a + b·i изображается точкой M, у которой абсцисса x равна абсциссе a комплексного числа, а ордината y равна ординате b комплексного числа.

 

Длина вектора, изображающего комплексное число, называется модулем комплексного числа. Модуль любого комплексного числа, не равного нулю, есть положительное число. Модуль комплексного числа a + b·i обозначается |a + b·i |, а также буквой r. Из чертежа видно, что:

Модуль действительного числа, совпадает с его абсолютным значением. Сопряженные комплексные числа a + b·i и a - b·i имеют один и тотже модуль.

 

Угол φ между осью абсцисс и вектором OM, изображающим комплексное число a + b·i, называется аргументом комплексного числа a + b·i

Каждое не равное нулю комплексное число имеет бесчисленное множество аргументов, отлючающихся друг от друга на целое число полных оборотов (т.е. на 360°·k, где k - любое целое число). Аргумент комплексного числа связан с его координатами следующими формулами:

Однако ни одна из этих формул в отдельности не позволяет найти аргумент. Для того чтобы найти аргумент комплексного числа, эти формулы надо использовать в совокупности, а также учитывать номер четверти, на координатной плоскости, в которой находится комплексное число.

 

Билет 30. Тригонометрическая форма комплексного числа. Формула Муавра.

Абсцисса a и ордината b комплексного числа a + b·i выражаются через модуль r и аргумент φ формулами:

1. a = r*cos(φ)
2. b = r*sin(φ)

Поэтому всякое комплексное число можно представить в виде:

a+b*i = r*(cos (φ) + i*sin (φ))

Это так называемая, нормальная тригонометрическая форма, или просто, тригонометрическая форма комплексного числа.

В противоположность тригонометрической форме выражение вида a + b·i называется алгебраической или координатной формой комплексного числа.

 

 

Формула Муавра для комплексных чисел , заданная в тригонометрической форме — формула

 

 

Формула Муавра сразу следует из формулы Эйлера  и правила для экспонент , верного, если b — целое число. (Если b — не целое, то  — многозначная функция переменной a и  — одно из её значений.)

Открыта французским математиком Абрахамом де Муавро

 

 

Билет 31. Корень n-ой степени из комплексного числа.

Корнем n -ой степени из комплексного числа называется такое комплексное число, n-я степень которого равна подкоренному числу.

Из этого определения следует, что из равенства  следует равенство .

Из равенства комплексных чисел следует , а аргументы отличаются на число, кратное ;. Отсюда , . Здесь  есть арифметическое значение корня, а k – любое целое число. Таким образом, получается формула

.

В этой формуле число k может принимать всевозможные целые значения, но различных значений корня будет только n и они соответствуют значениям k = 0, 1, 2, …, n - 1.

 

Докажем этот факт. Действительно, правые части в этой формуле различны тогда, когда аргументы  и  отличаются на величину, не кратную , и будут одинаковыми, если указанные аргументы отличаются на величину, кратную . Поэтому разность не может быть кратна . Из этого результата и следует, что любым подряд взятым n целым числам k соответствуют n различных значений корня.

Пусть теперь k3– целое число, не входящее в эту последовательность подряд взятых значений k. Это число можно представить в виде k3= gn + ki, где g – целое число, а ki – одно из чисел этого ряда, поэтому , то есть значению k3 соответствует то же значение корня, что и значению ki.

Вывод: корень n -ой степени из комплексного числа имеет n различных значений. Исключением из этого правила является лишь частный случай, когда извлекается корень из нуля. В этом случае все значения корня равны нулю.

 

Основные определения и задачи линейного программирования.

Задачи оптимального планирования, связанные с отысканием оптимума заданной целевой функции (линейной формы) при наличии ограничений в виде линейных уравнений или линейных неравенств относятся к задачам линейного программирования.

Линейное программирование - наиболее разработанный и широко применяемый раздел математического программирования. Это объясняется следующим:

• математические модели очень большого числа экономических задач линейны относительно искомых переменных;
• эти типы задач в настоящее время наиболее изучены;
• для них разработаны специальные конечные методы, с помощью которых эти задачи решаются, и соответствующие стандартные программы для их решения на ЭВМ;
• многие задачи линейного программирования, будучи решенными, нашли уже сейчас широкое практическое применение в народном хозяйстве;
• некоторые задачи, которые в первоначальной формулировке не являются линейными, после ряда дополнительных ограничений и допущений могут стать линейными или могут быть приведены к такой форме, что их можно решать методами линейного программирования.

Итак, Линейное программирование – это направление математического программирования, изучающее методы решения экстремальных задач, которые характеризуются линейной зависимостью между переменными и линейным критерием.

Необходимым условием постановки задачи линейного программирования являются ограничения на наличие ресурсов, величину спроса, производственную мощность предприятия и другие производственные факторы.

Сущность линейного программирования состоит в нахождении точек наибольшего или наименьшего значения некоторой функции при определенном наборе ограничений, налагаемых на аргументы и образующих систему ограничений, которая имеет, как правило, бесконечное множество решений. Каждая совокупность значений переменных (аргументов функции F), которые удовлетворяют системе ограничений, называется допустимым планом задачи линейного программирования. Функция F, максимум или минимум которой определяется, называется целевой функцией задачи. Допустимый план, на котором достигается максимум или минимум функции F, называется оптимальным планом задачи.

Система ограничений, определяющая множество планов, диктуется условиями производства. Задачей линейного программирования (ЗЛП) является выбор из множества допустимых планов наиболее выгодного (оптимального).

В общей постановке задача линейного программирования выглядит следующим образом:

Имеются какие-то переменные х = (х₁, х₂, … х_n) и функция этих переменных f(x) = f (х₁, х₂, … х_n), которая носит название целевой функции. Ставится задача: найти экстремум (максимум или минимум) целевой функции f(x) при условии, что переменные x принадлежат некоторой области G:

В зависимости от вида функции f(x) и области G и различают разделы математического программирования: квадратичное программирование, выпуклое программирование, целочисленное программирование и т.д. Линейное программирование характеризуется тем, что
а) функция f(x) является линейной функцией переменных х₁, х₂, … х_n
б) область G определяется системой линейных равенств или неравенств.

Математическая модель любой задачи линейного программирования включает в себя:

• максимум или минимум целевой функции (критерий оптимальности);
• систему ограничений в форме линейных уравнений и неравенств;
• требование неотрицательности переменных.

Или

 

 

Задачи.

Общей задачей линейного программирования называется задача, которая состоит в определении максимального (минимального) значения функции

(8)

при условиях

(9)

(10)

(11)

где - заданные постоянные величины и .

Определение 2.

Функция (8) называется целевой функцией (или линейной формой) задачи (8) – (11), а условия (9) – (11) – ограничениями данной задачи.

Определение 3.

Стандартной (или симметричной} задачей линейного программирования называется задача, которая состоит в определении максимального значения функции (8) при выполнении условий (9) и (11), где k = m и l = n.

Определение 4.

Канонической (или основной) задачей линейного программирования называется задача, которая состоит в определении максимального значения функции (8) при выполнении условий (10) и (11), где k = 0 и l = п.

Определение 5.

Совокупность чисел ,удовлетворяющих ограничениям задачи (9) – (11), называется допустимым решением (или планом).

Определение 6.

План , при котором целевая функция задачи (8) принимает свое максимальное (минимальное) значение, называется оптимальным.

Значение целевой функции (8) при плане Х будем обозначать через . Следовательно, X^*– оптимальный план задачи, если для любого Х выполняется неравенство [соответственно ].

Указанные выше три формы задачи линейного программирования эквивалентны в том смысле, что каждая из них с помощью несложных преобразований может быть переписана в форме другой задачи. Это означает, что если имеется способ нахождения решения одной из указанных задач, то тем самым может быть определен оптимальный план любой из трех задач.

Чтобы перейти от одной формы записи задачи линейного программирования к другой, нужно уметь, во-первых, сводить задачу минимизации функции к задаче максимизации; во-вторых, переходить от ограничений-неравенств к ограничениям-равенствам и наоборот; в-третьих, заменять переменные, которые не подчинены условию неотрицательности.

В том случае, когда требуется найти минимум функции , можно перейти к нахождению максимума функции , поскольку .

Ограничение-неравенство исходной задачи линейного программирования, имеющее вид “ ”, можно преобразовать в ограничение-равенство добавлением к его левой части дополнительной неотрицательной переменной, а ограничение-неравенство вида “ ” – в ограничение-равенство вычитанием из его левой части дополнительной неотрицательной переменной. Таким образом, ограничение-неравенство

преобразуется в ограничение-равенство

(12)

а ограничение-неравенство

– в ограничение-равенство

(13)

В то же время каждое уравнение системы ограничений

можно записать в виде неравенств:

(14)

Число вводимых дополнительных неотрицательных переменных при преобразовании ограничений-неравенств в ограничения-равенства равно числу преобразуемых неравенств.

Вводимые дополнительные переменные имеют вполне определенный экономический смысл. Так, если в ограничениях исходной задачи линейного программирования отражается расход и наличие производственных ресурсов, то числовое значение дополнительной переменной в плане задачи, записанной в форме основной, равно объему неиспользуемого соответствующего ресурса.

Отметим, наконец, что если переменная , не подчинена условию неотрицательности, то ее следует заменить двумя неотрицательными переменными и , приняв .

 

Билет 33. Графический метод решения задач линейного программирования.

Графический метод основан на геометрической интерпретации задачи линейного программирования и применяется в основном при решении задач двумерного пространства и только некоторых задач трёхмерного пространства, так как довольно трудно построить многогранник решений, который образуется в результате пересечения полупространств. Задачу пространства размерности больше трёх изобразить графически вообще невозможно.

Пусть задача линейного программирования задана в двумерном пространстве, то есть ограничения содержат две переменные. Найти минимальное значение функции

При

Допустим, что система (2) при условии (3) совместна и её многоугольник решений ограничен. Каждое из неравенств (2) и (3), как отмечалось выше, определяет полуплоскость с граничными прямыми:

. Линейная функция (1) при фиксированных значениях  является уравнением прямой линии: . Построим многоугольник решений системы ограничений (2) и график линейной функции (1) при . Тогда поставленной задаче линейного программирования можно дать следующую интерпретацию. Найти точку многоугольника решений, в которой прямая  опорная и функция  при этом достигает минимума.

Значения  возрастают в направлении вектора , поэтому прямую  передвигаем параллельно самой себе в направлении вектора . Прямая дважды становится опорной по отношению к многоугольнику решений (в точках  и ), причем минимальное значение принимает в точке . Координаты точки  находим, решая систему уравнений прямых  и .

Алгоритм графического метода решения задач линейного программирования с двумя переменными:

1. Построить область допустимых решений.

2. Если область допустимых решений является пустым множеством, то задача не имеет решения ввиду несовместно­сти системы ограничений.

3. Если область допустимых решений является непустым множеством, построить нормаль линий уровня n = (c₁, c₂) и одну из линий уровня, имеющую общие точки с этой областью.

4. Линию уровня переместить до опорной прямой в задаче на максимум в направлении нормали, в задаче на минимум - в противоположном направлении.

5. Если при перемещении линии уровня по области допус­тимых решений в направлении, соответствующем приближе­нию к экстремуму целевой функции, линия уровня уходит в бесконечность, то задача не имеет решения ввиду неограни­ченности целевой функции.

6. Если задача линейного программирования имеет опти­мальное решение, то для его нахождения нужно решить сис­тему уравнений для прямых, ограничивающих область допус­тимых решений и имеющих общие точки с соответствующей опорной прямой. Если целевая функция задачи достигает мак­симума (минимума) в двух угловых точках, то задача имеет бесконечное множество решений. Оптимальным решением является любая выпуклая линейная комбинация этих точек.

Пример 17.2.

1) ;

2) .

 

Если x_n=const, то последовательность называется постоянной.

 

Последовательность {x_n} ограничена, если .

 

Определение 17.3.

Число а называется пределом числовой последовательности {x_n}, если для любого положительного числа ε существует номер N такой, что при всех n>N выполняется неравенство .

 

Обозначение: или .

Последовательность, имеющая предел называется сходящейся, не имеющая его – расходящейся.

 

Пример 17.3.

Определить предел последовательности .

(Ответ: .)

Пример 17.4.

Показать, что последовательность не имеет предела. Действительно, пусть а – предел x_n..

Выберем интервал с длиной . Расстояние между -1 и 1 равно 2 и, следовательно, они оба не могут попадать в этот интервал.

 

 

Доказательство

Пусть {x_n} имеет два предела a и b. Накроем их интервалами(c,d) и (e,f) (т.е. ) Т.к. a=lim x_n , то все элементы {x_n} начиная с некоторого номера лежат в (c,d) и значит это противоречит тому, что b – предел.

 

Теорема 17.3.

Если последовательность {x_n} сходится, то она ограничена.

Доказательство

Пусть . Зададим . Тогда : .

Известно, что ,

 

поэтому <1

.

Пусть ,

тогда очевидно, что .

 

Доказательство

Идея доказательства построена на неравенстве:

.

Пусть , . Тогда согласно равенству (17.1):

1) - бесконечно малая последовательность (согласно 17.1);

2) (бесконечно малая последовательность);

3) (бесконечно малая последовательность).

 

Предел функции в точке

Определение 3. Число b называют пределом функции f(х) при х а, если f(х)—b является бесконечно малой функцией при х а; пишут

Воспользовавшись для бесконечно малой функции f (х)— b определениями

1 и 2, получим еще два определения, эквивалентные предыдущему.

Определение 4. Число b называют пределом функции f(х) при х а, если для любого > О существует > 0 такое, что из неравенства О < | х —а| < следует неравенство |f (х)— b| < . Короче:

( >0)( >0)( :0<|х-а|< )|f(x)-b|< .

Определение 5. Число b называют пределом функции f(х) при х а, если для любого >0 можно указать такую проколотую -окрестность точки а, в которой выполняется неравенство |f (х) — b|< .

Определение 3 условимся называть определением предела функции в точке «на языке бесконечно малых», определение 4—«на языке е—