Приведите формулу Мора для расчета перемещений в ферме?

   (сечение постоянно по длине, нагрузки приложены только в узлах)

С_ф – число ст. ф.

221. Приведите формулу Мора для расчета изгибных перемещений.

Δ kF – перемещение по k-му направлению от от заданной нагрузки;

 Σ – суммирование по всем m-участкам,

∫ – интегрирование по длине участка l;

MF, NF, QF – внутренние усилия в грузовом состоянии; `Mk, Nk, Qk – внутренние усилия в единичном состоянии (от единичной силы, приложенной в направлении искомого перемещения; EI – жесткость сечения стержня при изгибе;

222. Приведите формулу Мора для случая кручения с изгибом.

223. Какие состояния рассматриваются при применении ф. Мора?

Единичное и грузовое. (формула Максвелла – Мора служит для определения перемещения по направлению сил единичного состояния от сил грузового состояния).

224. Вспомогательное состояние для расчета линейн. перемещения?

единичный силовой фактор - сосредоточенная сила

225.. ​ Вспомогател. состояние для расчета угла поворота сечения?

единичный силовой фактор - сосредоточенная пара

226.. ​ Вспомогател. состояние для расчета взаимного лин. смещения?

2 сосредоточенные единич. силы

227. Вспомогател. состояние для расчета взаимного угла поворота?

2 сосредоточенные единич. пары

228.. ​ Почему при расчете изгибн. перемещений пренебрегают N, Q?

прогибы, зависящие от Q, несравнимо малы по сравнению с прогибами и от изгибающих моментов, а N не вызывают изгиб. перемещений.

229. Перечислите формулы «перемножения» эпюр по методу Мора.

230. Как «перемножить» эпюры усилий по формуле Верещагина?

Умножить площадь эпюры от заданной нагрузки на координату эпюры от единичной силы под ц.т. площади первой эпюры.

 

231. Ограничение применимости формулы Верещагина?

1. Эпюра изгибающего момента от единичной нагрузки должна быть в виде одной прямой линии.

2. Изгибающий момент от внешней нагрузки в пределах участка должен иметь один знак.

3. Жесткость стержня в пределах участка должна быть постоянна, иначе интегрирование следует распространять отдельно на участки с постоянной жесткостью.

232. Как «перемножить» эпюры усилий по формуле Трапеций?

233. Ограничение применимости формулы Трапеций?

Формула трапеции перемножения эпюр применяется, только если обе эпюры линейны.

234. Как «перемножить» эпюры усилий по формуле Симпсона?

 

 

235. Как «перемножить» эпюры усилий по формуле Ньютона?

236. Формула расчета перемещений от действия температуры

интеграл Мора для определения температурных перемещений:

где α – коэффициент температурного расширения материала;

Интеграл значительно упрощается тогда, когда интегрирование ведётся для прямолинейных или ломаных стержней, имеющих по длине постоянное поперечное сечение. В этом случае интегралы могут быть определены, как площади единичных эпюр.

, (5.37)

где и - площади единичных эпюр и .

(Пусть верхнее волокно элемента ds нагрето на t1, а нижнее - на t2. При этом t1 > t2. Распределение температуры по высоте сечения принято по прямолинейному закону. При температурном коэффициенте линейного расширения a верхнее волокно удлинится на at1ds, а нижнее - на at2ds. На уровне нейтральной оси это удлинение, что очевидно из рис. 5.19, составит полусумму удлинений верхнего и нижнего волокон элемента ds.

. (5.34)

Выражение (5.34) соответствует тому состоянию элемента ds, при котором он по всей высоте сечения h получил равномерное изменение температуры. От неравномерного нагрева торцевые сечения элемента ds поворачиваются на угол

. (5.35)

Деформация сдвига в элементе ds не возникает, поэтому интергал Мора принимает такой вид).

237. ​ Правило знаков при расчете перемещений от температуры?

При расчете перемещений методом Мора, если деформации элемента ds от температуры и от единичной силы одного знака, то соответствующие слагаемые в формуле положительны, и соответственно наоборот.

238. Какие деформации стержней вызывает температ. воздействие?

сечения элементов сооружения поступательно перемещаются (линейные перемещения) и поворачиваются (угловые перемещения).

239. Формула для определения перемещений от смещения опор?

∆_k∆ = – ∑ Ri ∙∆_i 

∆_k∆ – искомое перемещение какой-либо точки (сечения) в заданном направлении i;

 Ri – реакция в i-й связи, которая возникает от действия единичной нагрузки, приложенной в направлении искомого перемещения;

∆_i – заданное смещение j-й связи (опоры). Чем вызвано это смещение не имеет значения.

240. Правило знаков реакций при опред. перемещений от осадки опор?

Произведение Rj ∙cj положительно, если реакции Rj и заданное смещение опоры сj совпадают по направлению. (см.239).

241. Матричная запись формул перемножения эпюр в общем виде?

(матричная формула Симпсона-?),

где – матрица искомых перемещений по k-тому направлению от заданной нагрузки;

– вектор грузовой эпюры  изгибающих моментов (Mн –ордината в начале эпюры моментов, Мк- в конце эпюры);

– вектор эпюры изгибающих моментов от  вспомогательного состояния ( – ордината в начале эпюры, -мв конце эпюры);

; –матрицы коэффициентов. (буква T значит, что матрица транспонированная)

242. Содержание векторов моментов в матричной форм. Симсона? (см.241)

– вектор грузовой эпюры изгибающих моментов (Mн –ордината в начале эпюры моментов, Мк- в конце эпюры);

– вектор эпюры изгибающих моментов от вспомогательного состояния ( – ордината в начале эпюры, -мв конце эпюры)

243. Содержание матриц коэф-тов в матричной форм. Симпсона? (см.241)

; –матрицы коэффициентов.

244. Что такое единичное перемещение, как оно определяется?

Единичное перемещение – перемещения от единичной безразмерной силы (единичного момента ), используемые в расчетах как вспомогательные силовые факторы. (Например, – перемещение по направлению i, вызванное единичной безразмерной силой, приложенной по направлению k).

Определение единичных перемещений:

Перемещение по i-ому направлению, вызванное силой F: . Тогда если принять F=1, то единичное перемещение по i-тому направлению .

245. Каков физический смысл единичного перемещения?

Единичное перемещение-перемещение от единичной силы в этом направлении (в как ом «этом»-не совсем понятно, но он так а лекции сказал). (см.246)

Матрица податливости состоит из коэффициентов податливости (единичных перемещений):  –перемещение по i,-тому направлению от единичной силы .

246.  Структура матрицы податливости для расчета перемещений?

Упругие свойства некоторых элементов расчетной схемы (участков), на которые разбиваются конструкция, при определении перемещений представляются матрицами податливости. При отсутствии нагрузки на рассматриваемом участке эти матрицы дают соотношения между усилиями и перемещениями по направлению этих усилий в рассматриваемом элементе расчетной схемы.

; i,j=1,2.

=const– матрица податливости.

Состоит из коэффициентов податливости, представляющих собой единичные перемещения:возможные углы поворота от действия единичных пар, возможные перемещения, удлинение (укорочение) от действия единичной силы (для стрежней, подверженных одноосному растяжению-сжатию).

Коэффициент податливости  –перемещение по i,-тому направлению от единичной силы .

 

247. Формула расчета перемещений через матрицу податливости?

,

где – вектор, определяющий перемещения балки;

= const –матрица податливости;

– вектор нагрузки.

В векторном виде:  (P-вектор нагрузки).

 (k –матрица жесткости).

Пример:

Линейные и угловые перемещения- степенb свободы (в данном случае 6 степеней свободы).

248. Формула расчета усилий в стержнях через матрицу влияния

Матрица влияния усилия S:

,

, i=1,2,…n –матрица-столбец искомого усилия;

, i=1,2,…n;— матрица-столбец внешних сил;

L— матрица влияния усилия S, составляющими которой являются ординаты построенных линий влияния:

,

Номер строки матрицы влияния усилия определяется номером сечения, в котором определяется усилие (i=1, 2,..., n), номер столбца определяется номером внешней силы (k=1,2,..., n). (Sik –это значение искомого усилия в i-ом сечении сооружения от единичной силы, приложенной в k-ом сечении сооружения (от Рk=1)).

249. Что такое вектор нагрузки на стержневую систему?

Пусть на пусть на сооружение действуют силы Р₁, Р₂,... Рi, Рn.

Для решения задачи в матричной форме по определению усилий в сечениях сооружения представим силы Pi(Рi - значение внешней си­лы, приложенной в i-ом сечении) в виде матрицы-столбца (вектора) внешней нагрузки :

, i=1,2,…n.

250. Что такое матрица влияния для расчета усилий, содержание?

Матрица влияния –матрица-столбец, в качестве составляющих которой используют ординаты построенных линий влияния. С помощью матрицы влияния можно получить значения усилий в сечениях для любых вариантов загружения.

Расчетная система балки (а) заменяется дискретной балкой, для чего вводятся сечения i=1,2,3…n, в которых необходимо вычислить усилия S_i. Распределенная нагрузка заменяется сосредоточенными силами, момент заменяется парой сосредоточенных сил. В результате получаем вектор сил: P^Т=(P₁,P₂,P₃…P_n), где Рi - значение внешней си­лы, приложенной в i-ом сечении.

Далее строятся линии влияния для введенных сечений i=1,2,3…n (в).

Зависимость искомого внутреннего усилия от введенных сосредоточенных сил для каждого i-го сечения составляется в соответствии с принципом суперпозиции

Вводят вектор усилий S^T=(S₁,S₂,S₃…Sn) и матрицу Ls, в качестве составляющих которой применяют ординаты построенных линий влияния:

Матрица влияния усилия S:

,

где S– матрица-столбец искомого усилия; P— матрица-столбец внешних сил; L— матрица влияния усилия S.

Приложим единичные силы в каждом сечении. Постоим линии влияния изгибающих моментов для каждого сечения.

Матрица влияния изгибающих моментов L_M= _..Элементы-ординаты эпюр от единичных сил.

P-вектор нагрузки.

Матрица влияния поперечных сил: