Разности решетчатых функций и разностные уравнения

Скорость изменения РФ характеризуется ее первой разностью или разностью первого порядка, являющейся аналогом первой производной для непрерывных функций.

 

Рисунок 1.4.1

 

Различают левые и правые разности:

                                                                                                                        (1.4.3)

 

Пример:

 

 

 

 

Соотношение между РФ y [ n ] и ее разностями  называется разностным уравнением или уравнением в конечных разностях.

                                                                      (1.4.4)

Если в уравнении (1.4.4) разности РФ заменить соответствующими РФ из выражений (1.4.1,1.4.2), то получим следующую форму записи разностного уравнения:

                                                                                (1.4.5)

Порядок разностного уравнения может не совпадать порядком наивысшей разности, обычно порядок уравнения определяется после приведения к виду (1.4.5). Если выражение содержит РФ вида y [ n ] и y [ n + K ], то оно имеет порядок К.

Это положение иллюстрируется следующим примером:

Произведём замену . В результате получили разностное уравнение первого порядка:

 

Дискретные системы во временной области описываются разностными уравнениями также, как непрерывные – дифференциальными.

1.5 Дискретное (D) преобразование Лапласа.

Дискретное преобразование Лапласа является функциональным преобразованием РФ и определяется соотношением:

                                                 (1.5.1)

Если сравнить с преобразованием Лапласа непрерывных функций (1.5.2), то легко найти аналогию между ними.

Изображение F ^* (q, e) существует, если ряд (1.5.3) сходящийся. Значение , при котором  – ряд сходится, а при  – расходится, называется абсциссой сходимости. Если для данной РФ f [ n ] абсцисса сходимости , то ряд (1.5.1 или 1.5.3) сходится при всех значениях q, удовлетворяющих условию Re q > σ_c. В этом случае РФ называется преобразуемой.

Если РФ имеет ограниченный порядок роста, т.е.  – то изображение  РФ существует.

 

 

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1.

Рисунок 1.5.1

 

                                                                         (1.5.4)

Сумма S бесконечно убывающей прогрессии имеет вид:

a₁ - первый член геометрической прогрессии, d - знаменатель прогрессии (отношение последующего члена прогрессии к предыдущему).

Пример 2.

При e=0, получим

                       (1.5.7)

Рассмотрим теперь на плоскости комплексного переменного q. Так как  является функцией , а является периодической функцией  вдоль мнимой оси на плоскости комплексной переменной q, то F ^* (q), также является периодической функцией  вдоль мнимой оси плоскости q и полностью определяется при  в любой полосе шириной 2π параллельной оси абсцисс.

Обычно выбирают такую полосу симметрично относительно оси абсцисс -π < Im q <π (рисунок 1.5.2).

 

Рисунок 1.5.2

 

1.6 Основные теоремы, правила D-преобразования

1. Свойство линейности.

Изображение линейной комбинации РФ соответствует линейной комбинации их изображений.

                                                              (1.6.1)

2. Теорема смещения оригиналов в области независимого переменного (теорема сдвига).

Смещение независимого переменного на величину ±k соответствует в области изображений умножению на .

                                                            (1.6.2)

при условии

3.  Изображение разности.

Операция взятия «к -ой» разности в области оригинала, в области изображения соответствует умножение на сомножитель при нулевых начальных условиях.

                                                             (1.6.3)

при нулевых начальных условиях.

4.  Изображение суммы.

Суммирование в области оригинала соответствует в области изображений делению на .

                                                                         (1.6.4)

5. Теорема свертывания в вещественной области или умножение изображений.

Произведению изображений соответствует в области оригиналов сумма:

             (1.6.5)

6.  Теорема о конечном значении РФ

                                                                 (1.6.6)

Прямое D преобразование:

                                                                         (1.6.7)

Обратное D преобразование:

                              (1.6.8)

1.7  Z преобразование

Родственное D – преобразованию, получаемое  заменой

Рисунок 1.7.1

 

Особый отрезок   L на плоскости q отображается на плоскости Z в окружность радиуса r.

 (рисунок 1.7.2)

Рисунок 1.7.2