Смысл действий сложения и вычитания

1 (2.28). Гусь весит 7 кг, а петух на 2 кг меньше.

Сколько весят гусь и петух вместе?

Краткая запись условия этой задачи выглядит так:

 

Гусь — 7 кг Петух —? на 2 кг меньше

?

 

Обращаем внимание учащихся на то, что краткая запись условия содержит два вопросительных знака. Выясняем, какой из них обозначает главный вопрос задачи (тот, который формулируется в задаче).

Можно предложить учащимся оформить условие задачи в виде чертежа, сопровождая его построение пояснениями.

Известно, что гусь весит 7 кг. Отметим это произвольным отрезком (например, 7 клеточек). Петух на 2 кг легче. Что значит “легче на 2 кг”? (Иначе можно сказать “петух весит на 2 кг меньше” или “петух весит столько, сколько гусь, но без двух”.) Рисуем второй отрезок короче первого на 2 клеточки. Получаем чертеж:

 

Гусь 7кг Петух? 2 кг

?

 

Разбор задачи (поиск решения) можно вести от вопроса к данным величинам (аналитический способ рассуждений) или от данных в задаче величин к вопросу (синтетический способ рассуждений). Рассуждения сопровождаются построением схемы.

Приведем оба варианта рассуждений.

Аналитический способ

Задаем учащимся вопросы, соответствующие выбранному способу рассуждений и требующие точных ответов.

— Какой главный вопрос задачи? (Сколько весят гусь и петух вместе?)

Начинаем строить схему: показываем схематически главный вопрос задачи в виде овала (круга), внутри которого стоит знак “?”

 

?

 

— Что (какие две величины) надо знать, чтобы ответить на главный вопрос задачи? (Надо знать две величины: сколько весит гусь и сколько весит петух.)

Отмечаем этот шаг на схеме новыми двумя кругами:

 

?

 

— Знаем ли мы, сколько весит гусь? (Да, гусь весит 7 кг.)

В один из нарисованных овалов ставим число 7:

 

?

7

— Знаем ли мы, сколько весит петух? (Нет.)

Во второй овал на схеме ставим знак “?”:

 

?

7?

— Что надо знать, чтобы найти, сколько весит петух? (Надо знать две величины: сколько весит гусь и на сколько петух легче, чем гусь.)

Схема дополняется двумя новыми овалами:

 

?

7?

 

 

— Знаем ли мы эти две величины? (Да, гусь весит 7 кг, а петух легче на 2 кг.)

Дописываем в схему числа 7 и 2:

?

 

7?

 

7 2

(Все овалы и линии рисуются “от руки”, без линейки.)

“Идя”по схеме в обратном порядке, получаем план решения задачи: сначала найдем, сколько весит петух (действием вычитания), а затем — сколько весят гусь и петух вместе (действием сложения). Отразив и этот шаг на схеме, получаем ее окончательный вариант:

 

?

2) 7 +?

 

1) 7 - 2

 

Синтетический способ

Для данного способа рассуждений вопросы формулируются иначе. Прежде всего выбираем из условия задачи данные значения величин (числа).

Рисуем овал, вписываем туда число 7 и при этом ставим вопрос:

 

7

— Что означает число 7? (Столько весит гусь.)

Рисуем рядом второй овал и вписываем число 2:

 

7 2

— Что означает число 2? (На 2 кг петух весит меньше.)

— На какой вопрос можно ответить, зная эти два числа (две величины)? (Сколько весит петух?)

— Каким действием? (Вычитанием: из 7 надо вычесть 2.)

— Почему вычитанием? (Петух весит столько же, сколько гусь, но без двух.)

Этот шаг рассуждений отражаем на схеме:

 

7 - 2

 

?

По этой схеме находим массу петуха. Чтобы найти общую массу, нужно иметь еще одно число (еще одну величину).

Продолжаем рисовать схему:

 

7 - 2

 

? 7

— Что можно найти, зная, сколько весит петух и сколько весит гусь? (Сколько весят петух и гусь вместе.)

— Какое действие для этого надо выполнить? (Сложение.)

— Почему сложение? (Чтобы найти общую массу, надо к массе гуся прибавить массу петуха.)

Схема дополняется новыми элементами:

7 - 2

 

? + 7

 

?

— Прочитайте вопрос задачи. Ответили мы на него? (Да.)

Далее составляем план решения задачи, отвечая на вопросы:

— Что найдем первым действием? Вторым?

Отражаем это на схеме и получаем ее окончательный вариант:

1) 7 - 2

 

2)? + 7

?

Теперь с опорой на схему можно повторить план решения задачи, ответив на вопросы: “Что узнаем в первом действии? Что узнаем во втором действии?”

Запись решения задачи можно оформить по-разному:

а) по действиям без пояснений:

1) 7 - 2 = 5 (кг)

2) 7 + 5 = 12 (кг)

Ответ: 12 килограммов весят вместе гусь и петух.

б) по действиям с пояснениями:

1) 7 - 2 = 5 (кг) — весит петух,

2) 7 + 5 = 12 (кг) — весят вместе гусь и петух.

Ответ: 12 килограммов.

в) с вопросами:

1) Сколько килограммов весит петух?

7 - 2 = 5

2) Сколько килограммов весят вместе петух и гусь?

7 + 5 = 12

Ответ: 12 килограммов.

г) в виде выражения:

7 + (7 - 2) = 12 (кг)

Ответ: 12 килограммов весят вместе гусь и петух.

Способ записи решения задачи выбирается учителем в зависимости от обстоятельств: сколько времени отводится на оформление решения задачи, как быстро ученики умеют писать и т.д. Иногда полезно сочетать разные способы записи решения, например: по действиям и выражением.

Проверить решение задачи можно, например, сделав прикидку (до решения задачи): общая масса петуха и гуся должна быть больше массы петуха и гуся в отдельности (12 > 7).

Можно решить задачу другим способом (для сильных учеников). Этому поможет чертеж. Если бы петух весил столько, сколько гусь (отрезки равные), то вместе они весили бы 14 кг:

1) 7 + 7 = 14 (кг).

Так как массу петуха мы увеличили на 2 кг, то и общая масса увеличилась на 2 кг. Теперь эти 2 кг надо вычесть:

2) 14 - 2 = 12 (кг).

Дополнительная работа над задачей может быть такая:

- изменить вопрос задачи;

- изменить числа в условии задачи и исследовать возможные при этом ситуации.

Аналогичная работа проводится при решении задач:

3.31, 4.33, 2.74, 4.84, 3.107.

2 (4.80). По рисунку можно составить такую задачу:

Коля и Петя вышли навстречу друг другу. Коля

прошел 40 м, а Петя на 10 м меньше и дошли до

моста. Какое расстояние было между

мальчиками, если длина моста 12 м?

Условие задачи можно записать так:

Коля — 40 м Петя —? на 10 м меньше Длина моста — 12 м

?

Искомое расстояние — сумма трех величин, найти которую можно разными способами.

С п о с о б 1.

?

 

? +?

40 + 12 40 - 10

1) 40 - 10 = 30 (м) — прошел Петя,

2) 40 + 12 = 52 (м) — расстояние, которое прошел

Коля, и длина моста,

3) 30 + 52 = 82 (м) — все расстояние.

Другие способы получаем, выполнив по-другому действия 2 и 3.

С п о с о б 2.

1) 40 - 10 = 30 (м) — прошел Петя,

2) 40 + 30 = 70 (м) — прошли Коля и Петя до моста,

3) 70 + 12 = 82 (м) — все расстояние.

С п о с о б 3.

1) 40 - 10 = 30 (м) — прошел Петя,

2) 30 + 12 = 42 (м) — расстояние, которое прошел

Петя, и длина моста,

3) 42 + 40 = 82 (м) — все расстояние.

Ответ: было 82 метра.

3 (3.110). На яблоне росло 37 яблок. Саша сорвал 17

яблок, а Юля на 7 меньше. Сколько яблок

осталось на яблоне?

Краткую запись условия задачи можно оформить по-разному: в виде таблицы, словесно, круговой диаграммой:

 

	Было	Сорвали	Осталось
Саша Юля	37 ябл.	17 ябл. ? на 7 ябл.меньше	?

37 яблок

Было — 37 ябл. Юля

Сорвали — 17 ябл. и? на 7 ябл. меньше? Саша

Осталось —? 17

?

 

Для ответа на вопрос задачи надо из числа 37 вычесть сумму чисел (сорванные яблоки). Это можно сделать разными способами.

С п о с о б 1.

?

 

37 -?

 

17 +?

 

17 - 7

1) 17 - 7 = 10 (яблок) — сорвала Юля.

2) 17 + 10 = 27 (яблок) — сорвали Саша и Юля вместе,

3) 37 - 27 = 10 (яблок) — осталось.

С п о с о б 2.

1) 17 - 7 = 10 (яблок) — сорвала Юля.

2) 37 - 17 = 20 (яблок) — осталось после того, как сорвала

яблоки Юля,

3) 20 - 10 = 10 (яблок) — осталось.

С п о с о б 3

1) 17 - 7 = 10 (яблок) — сорвала Юля.

2) 37 - 10 = 27 (яблок) — осталось после того, как сорвал

яблоки Саша,

3) 27 - 17 = 10 (яблок) — осталось.

Ответ: осталось 10 яблок.

4 (4.46). Курица весит 3 кг, а индюк на а кг больше.

Сколько килограммов весят курица и индюк

вместе?

Задача необычна тем, что одна из величин задана переменной.

Прежде, чем приступить к работе над данной задачей, следует поупражняться в решении следующих простых задач:

Курица весит 3 кг, а индюк на 2 кг больше. Сколько весит индюк?

— Что значит “на 2 кг больше”? (Индюк весит столько же, сколько курица, да еще 2 кг.)

— Как узнать, сколько весит индюк? (3 + 2)

— А если индюк весит на 4 кг больше? (3 + 4) и т.д.

Ученики должны заметить, что второе слагаемое этой суммы меняется. Поэтому вместо чисел, обозначающих второе слагаемое, можно записать пустую клеточку (3 +) или переменную а: (3 + а). Переменная а может принимать разные значения: 1, 2, 3,....

Теперь можно вернуться к первоначальной составной задаче и составить выражение для ее решения. Курица весит 3 кг, индюк — (3 + а) кг, а вместе они весят (3 + 3 + а) кг. Можно найти значения этого выражения, если а = 1, 2, 3:

если а = 1, то 3 + 3 + а = 3 + 3 + 1 = 7 (кг);

если а = 2, то 3 + 3 + а = 3 + 3 + 2 = 8 (кг);

если а = 3, то 3 + 3 + а = 3 + 3 + 3 = 9 (кг).

5 (4.83). В хоре 30 девочек, а мальчиков на 15 больше.

Сколько всего детей в хоре?

Краткое условие задачи можно представить в виде словесной записи или чертежом:

 

Д. — 30 чел. М. —? на 15 чел. больше

?

Д. 30 М. 30 15

?

 

Методика работы над этой задачей такая же, как над задачей 1.

Задачу можно решить двумя способами.

С п о с о б 1.

30 + (30 + 15) = 75 (чел.)

С п о с о б 2. Из чертежа видно, что решение задачи можно записать и так:

(30 + 30) + 15 = 75 (чел.)

Ответ: всего в хоре 75 человек.

3.84, 3.100, 3.131. — аналогичные задачи.

6 (2.58). В книге и тетради Саша насчитал 60

страниц, а Катя в такой же книге и двух

тетрадях насчитала 80 страниц. Сколько

страниц в книге и сколько в тетради?

В учебнике условие задачи иллюстрируется рисунком:

 

Саша Катя

60 с. 80 с.

Можно оформить краткую запись в виде чертежа:

 

60 с.

Саша ??

книга тетрадь тетрадь

Катя

80 с.

 

Работу над задачей будем направлять с помощью вопросов:

— Что означает число 60? (Столько страниц насчитал Саша.)

— Что означает число 80? (Столько страниц насчитала Катя.)

— Кто насчитал больше страниц? (Катя.)

— Почему? (У Кати на 1 тетрадь больше.)

— Что спрашивается в задаче? (Сколько страниц в книге и сколько страниц в тетради?)

— Можем ли мы сразу узнать, сколько страниц в книге? (Нет.) Что надо знать, чтобы ответить на этот вопрос? (Надо знать, сколько страниц содержат книга и тетрадь вместе и сколько страниц содержит тетрадь.)

— Знаем мы эти величины? (Книга и тетрадь вместе содержат 60 страниц. Неизвестно, сколько страниц в тетради.)

— Что надо знать, чтобы найти количество страниц в тетради? (Надо знать, сколько страниц насчитала Катя и сколько страниц насчитал Саша.)

— Знаем мы эти величины? (Да, Катя насчитала 80 страниц, Саша — 60 страниц.)

?

 

2) 60 -?

 

1) 80 - 60

— Что узнаем первым действием? (Сколько страниц в тетради.) Какое действие выполним? (Вычитание: чтобы узнать, на сколько одно число больше другого, надо от большего числа отнять меньшее.)

— Что узнаем вторым действием? (Сколько страниц в книге.) Какое действие выполним? (Вычитание: находим неизвестное слагаемое.)

1) 80 - 60 = 20 (с.) — содержит тетрадь,

2) 60 - 20 = 40 (с.) — содержит книга.

Ответ: 40 страниц в книге, 20 страниц в тетради.

7 (4.59). По рисунку в учебнике формулируем условие задачи:

Высота дома 6 м, высота дерева 4 м. На сколько

метров нужно подрасти дереву, чтобы быть

выше дома на 5 м?

Задача требует дополнительной работы по условию.

— Какова высота дома? (6 м) Какова высота дерева? (4 м) Какой высоты должно стать дерево? (На 5 м выше дома.) Что значит “на 5 м выше дома”? (Высота дерева будет такая, как высота дома да еще 5 м.) Как можно сформулировать вопрос задачи? (На сколько метров нужно подрасти дереву?)

Условие задачи можно смоделировать рисунком:

5м

?

 

6м 4м

 

 

Можно построить чертеж. Произвольным отрезком (например, 6 клеточек) обозначим высоту дома. Отрезок, показывающий, каким должно стать дерево, на 5 клеточек (5 м) больше (6 клеточек и еще 5 клеточек).

Дом 6 м

Дерево станет 5 м

Дерево сейчас 4 м?

 

— Что означает число 6? (6 м — высота дома.)

— Что означает число 5? (На 5 м больше дома будет высота дерева.)

— Что можно узнать по этим двум числам? (Можно узнать, какой должна стать высота дерева.)

— Какое действие надо выполнить? (Сложение.)

— Что означает число 4? (Такая высота дерева сейчас.)

— На какой вопрос можно ответить, зная, какой должна стать высота дерева и какая высота дерева сейчас? (На сколько метров надо подрасти дереву?)

— Какое действие выполним? (Вычитание.)

Приведенным рассуждениям соответствует схема:

1) 6 + 5

 

2)? - 4

 

?

1) 6 + 5 = 11 (м) — должна стать высота дерева,

2) 11 - 4 = 7 (м) — на столько метров должно подрасти дерево.

Решение можно записать выражением: (6 + 5) - 4 = 7 (м).

С п о с о б 2. Чертеж подсказывает и такой способ решения:

(6 - 4) + 5 = 7 (м).

Ответ: надо подрасти дереву на 7 м.

8 (4.48). Длина первого отрезка 15 см, второй —

на 2 см короче первого, а третий — на 4 см

короче второго. Найди длину третьего

отрезка.

Анализируя условие задачи, обращаем внимание на такие моменты:

- “второй отрезок на 2 см короче первого” означает: “длина второго отрезка на 2 см меньше первого” или “второй отрезок такой же, как первый, но без 2 см”;

- “третий отрезок на 4 см короче второго” означает: “длина третьего отрезка на 4 см меньше второго” или “третий отрезок такой же, как второй, но без 4 см”.

Краткую запись условия задачи можно выполнить в виде чертежа (первый отрезок можно взять длиной 15 клеточек):

I 15 см

II 2 см

III 4 см

?

Поиск решения задачи можно проводить аналитическим или синтетическим способом.

Приведем пример аналитического способа рассуждений (можно в форме вопроса- ответа, можно в форме рассуждения).

Чтобы узнать длину третьего отрезка (ответить на главный вопрос задачи), надо знать две величины: длину второго отрезка и на сколько третий отрезок меньше второго. Из этих величин мы знаем вторую: третий отрезок меньше второго на 4 см. Длина второго отрезка неизвестна. Чтобы найти длину второго отрезка, надо знать две величины: длину первого отрезка и на сколько второй отрезок меньше первого. Обе эти величины нам известны: длина первого отрезка 15 см, а второй на 4 см меньше.

Схема рассуждений и решение задачи выглядят так:

? 1) 15 - 2 = 13 (см),

2) 13 - 4 = 9 (см),

2)? - 4 или 15 - 2 - 4 = 9 (см).

Ответ: длина третьего отрезка 9 см.

1) 15 - 2

В качестве дополнительной работы над задачей можно предложить учащимся поискать иной способ решения задачи.

Проанализировав чертеж, можно обнаружить, что третий отрезок короче первого на 2 см и еще на 4 см. Тогда получаем такой способ решения:

С п о с о б 2

1) 4 + 2 1) 4 + 2 = 6 (см) — на столько третий

отрезок короче первого,

2) 15 -? 2) 15 - 6 = 9 (см) — длина третьего

отрезка.

? или 15 - (4 + 2) = 9 (см).

4.98. — аналогичная задача.

9 (3.87). Второклассники посадили 12 деревьев,

пятиклассники на 25 деревьев больше, а

выпускники — на 10 деревьев больше, чем

пятиклассники.

Сколько деревьев посадили выпускники?

Краткую запись условия можно выполнить словесно или с помощью чертежа. При построении чертежа отрезок, соответствующий количеству деревьев, что посадили второклассники, рисуем произвольной длины, второй отрезок — несколько длиннее первого (“столько же, да еще 25”), третий — длиннее второго. Чертеж получается более условный, чем предыдущий, т.к. по клеточкам (12 клеточек, да еще 25, да еще 10) выполнять чертеж неудобно.

2 кл. — 12 д. 2 кл. 12 д.

5 кл. —? на 25 д. больше 5 кл. 25 д.

Вып. —? на 10 д. больше Вып. 10 д.

?

Задача решается разными способами.

С п о с о б 1

?

2)? + 10

1) 12 + 25

1) 12 + 25 = 37 (д.) — посадили 5-классники,

2) 37 + 10 = 47 (д.) — посадили выпускники.

или (12 + 25)+ 10 = 47 (д.)

 

С п о с о б 2

1) 25 + 10

 

2) 12 +?

?

1) 25 + 10 = 35 (д.) — на столько больше посадили выпускники,

чем 2-классники,

2) 12 + 35 = 47(д.) — посадили выпускники.

или 12 + (25 + 10) = 47 (д.)

Ответ: 47 деревьев.

10 (4.146). В первом ящике 56 кг картошки, во втором

на 7 кг больше, чем в первом. В третьем

ящике на 15 кг меньше, чем во втором.

Сколько картошки в третьем ящике?

Краткую запись условия можно оформить так:

I — 56 кг I 56 кг

II —? на 7 кг больше II 7кг

III —? на 15 кг меньше III? 15 кг

Решение задачи.

С п о с о б 1.

1) 56 + 7 = 63 (кг) — во втором ящике,

2) 63 - 15 = 48 (кг) — в третьем ящике,

или (56 + 7) - 15 = 48 (кг).

Второй способ получаем, анализируя чертеж: 15 — это 7 и 8. Третий отрезок получится, если от первого отрезка отнять 8.

С п о с о б 2

1) 15 - 7 = 8 (кг) — на столько больше картошки в первом

ящике, чем в третьем,

2) 56 - 8 = 48 (кг) — в третьем ящике,

или 56 - (15 - 7) = 48 (кг).

Ответ: в третьем ящике 48 кг картошки.

11 (4.60). По рисунку составляем задачу.

В одном куске 30 м ткани, в другом —

столько же, в третьем — на 12 м больше,

чем в двух первых. Сколько метров ткани в

третьем куске?

Анализируя условие задачи, уточняем, что во втором куске 30 м ткани (столько же, сколько в первом). Краткую запись условия можно оформить так:

I — 30 м II — 30 м III —? на 12 м больше

30 м 30 м 12 м ?

Зная количество ткани в первом и втором кусках, можем найти количество ткани в двух кусках вместе (действие сложения). Зная количество ткани в первых двух кусках вместе и то, что в третьем на 12 м больше, можем найти количество ткани в третьем куске. Для этого снова выполним действие сложения.

1) 30 + 30

 

2)? + 12

?

(30 + 30) + 12 = 72 (м).

Ответ: в третьем куске 72 метра.

12(2.150). Дети вырастили 40 кур, 9 гусей, а уток на 4

меньше, чем кур и гусей вместе. Сколько

уток вырастили дети?

Возможны такие варианты краткой записи условия задачи:

 

Кур — 40 шт. Гусей — 9 шт. Уток —? на 4 меньше

к у р ы гуси 40 9 ? 4 у т к и

Зная количество кур (40) и количество гусей (9), можно найти действием сложения их общее количество. Зная общее количество кур и гусей и то, что уток было на 4 меньше, чем это количество, действием вычитания можем найти количество уток:

1) 40 + 9 1) 40 + 9 = 49 (шт.) — было гусей

и кур вместе,

2)? - 4 2) 49 - 4 = 45 (шт.) — уток.

или (40 + 9) - 4 = 45 (шт.)

?

Чертеж помогает обнаружить иной способ решения.

9 — это 4 и 5.

1) 9 - 4 = 5 (шт.) — на столько больше уток, чем кур,

2) 40 + 5 = 45 (шт.) — уток вырастили дети.

или 40 + (9 - 4) = 45 (шт.)

Ответ: 45 уток.

13 (2.42. В двух мешочках 15 конфет. Когда из первого

мешочка взяли 3 конфеты, то в нем осталось

7 конфет. Сколько конфет было во втором

мешочке?

Краткую запись условия можно оформить в виде двух частей, сформулировав две простые задачи:

1) Из первого мешочка взяли 3 конфеты. После этого в нем осталось 7 конфет. Сколько конфет было в мешочке?

2) В двух мешочках 15 конфет. Сколько конфет во втором мешочке, если количество конфет в первом мешочке можем найти?

1) Было —? Взяли — 3 к. Осталось — 7 к.

2) Первый —? Второй —?

15 к.

 

Опираясь на эту краткую запись условия, проводим поиск решения аналитическим способом:

— Какой главный вопрос задачи? (Сколько конфет во втором мешочке.)

— Что надо знать, чтобы ответить на этот вопрос? (Надо знать две величины: сколько конфет всего в двух мешочках и сколько конфет в первом мешочке.)

— Какая из эти величин известна? (В двух мешочках 15 конфет.) Какая неизвестна? (Сколько конфет в первом мешочке.)

— Что надо знать, чтобы найти, сколько конфет было в первом мешочке? (Надо знать две величины: сколько конфет взяли и сколько конфет осталось.)

— Эти величины известны? (Да, взяли 3 конфеты, осталось 7 конфет.)

?

 

2) 15 -?

 

1) 7 + 3

1) 7 + 3 = 10 (к.) — было в первом мешочке,

2) 15 - 10 = 5 (к.) — было во втором мешочке.

Ответ: 5 конфет.

4.113. — аналогичная задача.