Приближенное моделирование случайного процесса

 

3.1. Теоретические основания. Как отмечено в конце предыдущего параграфа, во многих случаях представляет интерес аппроксимация данного случайного процесса X _t линейной моделью (5), т.е. конечной суммой:

 

. (6)

 

Случайные коэффициенты Y_k в (6) будем называть координатами случайного процесса X_t Выбор координат и системы детерминированных функций y_k (t) неоднозначен и зависит от условий задачи, для решения которой используется аппроксимация (6). Вместе с тем известен достаточно общий подход к такому выбору, основанный на теореме разложения с.к. непрерывного случайного процесса в ряд со случайными ортогональными коэффициентами.

Теорема 1. С.к. непрерывный вещественный гильбертов с.п. X_t, t Î [a,b], с M X_t º 0 и корреляционной функцией R(t,s) разлагается в ряд

, (7)

сходящийся в среднем квадратическом при каждом t Î [a,b]. В этом разложении - ортогональная последовательность с.в., определяемых равенствами

, k = 1, 2,... (8)

с M Y_k = 0, M Y_kY_j = 0 при k¹ j и M = D Y_k = l_k; l_k > 0, y_k(t) - соответственно собственные числа и собственные функции интегрального уравнения Фредгольма 2-го рода с ядром R(t,s):

. (9)

 

Доказательство этой теоремы можно найти в [2]. Формула (7) часто называется разложением Карунена-Лоэва.

Замечание 1. Если X_t - гауссов процесс с M X_t º 0, то коэффициенты Y_k ряда (7) являются независимыми гауссовыми величинами и ряд (7) сходится почти наверное при каждом t.

Замечание 2. В случае гауссова процесса случайные коэффициенты в разложении (7) можно выбирать так, чтобы они были независимыми стандартными гауссовыми случайными величинами. Для этого новые коэффициенты a_k следует положить равными и тогда разложение процесса X_t в ряд будет иметь вид

 

, (10)

 

где , а - последовательность независимых одинаково распределенных по закону N(0,1) случайных величин. Последнее обстоятельство, очевидно, существенно упрощает моделирование коэффициентов разложения, а следовательно, и самого процесса.

Для приближенного моделирования произвольного процесса по формуле (6) достаточно смоделировать n -мерный вектор случайных коэффициентов (Y ₁,..., Y_n), координаты которого определены формулами (8). Использование формул (8) предполагает, что уже найдены собственные функции интегрального уравнения (9), хотя при решении этого уравнения можно столкнуться с серьезными трудностями. Но даже если все собственные функции уравнения (9) найдены, известны все конечномерные распределения процесса, но они не гауссовы, найти распределение даже отдельных коэффициентов Y_k из формулы (8), вообще говоря, непросто. Тем более трудной представляется задача нахождения совместного распределения n коэффициентов для достаточно больших n. Эти обстоятельства и являются существенным препятствием к использованию формулы (6) для моделирования с.п. X_t. Если всё же предположить, что мы имеем совместное распределение коэффициентов Y ₁,..., Y_n для любого n и, следовательно, в принципе можем смоделировать вектор коэффициентов, то это означает лишь, что мы моделируем аппроксимирующую частную сумму ряда, в который разлагается процесс X_t. При этом сама аппроксимация процесса X_t n -й частной суммой ряда (7) вносит среднюю квадратическую погрешность величины

 

. (11)

 

3.2. Приближенное моделирование винеровского процесса. Рассмотрим винеровский процесс w _t на отрезке [0,1]. Для него w ₀ = 0, M w_t º 0 и R (t, s) = min (t, s). Собственные числа и собственные функции ядра R (t, s) легко находятся (см., например, [2]):

 

, , k =0, 1,....

 

Так как винеровский процесс является гауссовым, то, учитывая замечание 2,

для него запишем разложение в ряд:

 

, (12)

 

где { a_k, k = 0,1,...} - последовательность независимых гауссовых величин с параметрами (0,1). При фиксированном t этот ряд сходится с вероятностью 1.

Для приближенного моделирования винеровского процесса при допустимой (заданной) с.к. погрешности e > 0 следует моделировать n -ю частную сумму ряда (12), выбирая n из условия

 

. (13)

 

При выбранном n остается смоделировать n + 1 независимых гауссовых величин a ₀, a ₁,..., a_n и подставить их в n -ю частную сумму ряда (12). Таким образом, будем иметь приближенное равенство

 

, (14)

 

с.к. погрешность которого не превосходит заданного e

Замечание 3. Можно получить (см. [2]) несколько иное разложение w_t, t Î [0,1] в ряд:

 

, (15)

 

где a_k, k = 0, 1,... - снова последовательность независимых гауссовых с.в. с параметрами (0,1). В этом случае при допустимой с.к. погрешности аппроксимации e следует выбирать n из условия

 

. (16)

 

Тогда

 

(17)