Запасы устойчивости замкнутой системы

Запасы устойчивости легко определяются по логарифмических частотным характеристикам:

Заметим, что запас по амплитуде может быть равен бесконечности, если фазовая характеристика не пересекает линию ° −180.

К сожалению, в некоторых случаях классические запасы устойчивости (по амплитуде и фазе) дают не совсем верное представление о том, насколько система действительно близка к границе устойчивости. Поэтому в качестве единой характеристики иногда используют кратчайшее расстояние γ от годографа до точки (−1;0).

 

Передаточная функция и пространство состояний

Пространство состояний в теории управления используется для исследования устойчивости.
пространство состояний - метрическое пространство, каждый элемент которого полностью определяет состояние рассматриваемой системы (процесса).
ПРостранстов состояний применяется как при описании замкнутых (автономных) систем и процессов, не взаимодейтсвующих с другими системами и процессами, так и для систем и процессов, в которых такое взаимодействие существует.
В пространстве состояний создаётся модель динамической системы, включающая набор переменных входа,выхода и состояния, связанных между собой дифференциальными уравнениями первого порядка, которые записываются в матричной форме. В отличие от описания в виде передаточной функции и других методов частотной области, пространство состояний позволяет работать не только с линейными системами и нулевыми начальными условиями.

Используя преобразование Лапласа, можно построить передаточную функцию для модели объекта в пространстве состояний

здесь u(t),y(t) и x(t) обозначают соответственно вход, выход и вектор состояния объекта. Преобразуя левые и правые части каждого уравнения по Лапласу (переходя к изображениям сигналов по Лапласу при нулевых начальных условиях), получаем

(1)

В первом уравнении перенесем все члены, зависящие от X(s),в левую часть:

где I обозначает единичную матрицу, у которой на главной диагонали стоят единицы, а все остальные элементы – нули. Умножая обе части последнего равенства на (s*I-A)^-1, получим выражение для X(s):

которое при подстановке во второе уравнение в (1) дает

Чтобы определить передаточную функцию, найдем отношение изображений выхода и входа:

Обратный переход, от передаточной функции к модели в пространстве состояний, более

сложен и неоднозначен. Дело в том, что каждой передаточной функции соответствует бесчис-

ленное множество моделей в пространстве состояний. Одну из них можно найти следующим

образом. Для передаточной функции

где d,a_i (i=0,1,2) и b_i (i=0,1,2) – постоянные коэффициенты, модель в пространстве состояний задается матрицами

 

Точность САР

Точность регулирования оценивают по ошибкам, с которыми воспроизводятся заданные значения регулируемых величин. Чем выше точность регулирования, тем меньше должны быть ошибки. В одной и той же системе ошибки получаются различными различными в зависимости от того, каким воздействием задающим, возмущающим или тем и другим одновременно они вызваны.

Систему, контур которой не имеет интегрирующих звеньев, называют статической, а при наличии в системе одного или нескольких интегрирующих звеньев – астатической. По числу интегр-их зв-ев определяют порядок астатизма системы, при одном – астатизм первого порядки и т.д.

Для определения ошибок в установившемся режиме (при t->∞):

где K, K1 – коэффициент усиления всей разомкн. системы и коэф усил-ия объекта

Для систем с астатизмом υ изображение ошибки в установивш. режиме имеет вид:

При отсутствии в системе интегрирующих звеньев постоянные воздействия g₀ и f₀ вызывают постоянную пищьмищьку ε₀, которую называют статической. Эта ошибка будет тем меньше, чем больше коэффициент усиления К системы, причем для уменьшения статической ошибки, вызванной возмущающим воздействием, следует увеличить K₂ регулятора, а не K₁ объекта. В системе с астатизмом первого порядка установившаяся ошибка возникает при воздействиях с постоянной скоростью. Такая ошибка называется скоростной. При воздействиях с постоянным ускорением в системе с астатизмом второго порядка возникает ошибка по ускорению.