Розділ I. Многочлени від однієї змінної

Розділ I. Многочлени від однієї змінної

§ 1. Кільце многочленів. Алгебраїчна і функціональна рівність многочленів. Відношення подільності в кільці многочленів.
Ділення з остачею

 

Питання для самоконтролю:

 

1) Многочлен – це …

2) Старший коефіцієнт многочлена – це …,
старший член многочлена – це …,
степінь многочлена – це ….

3) Чи є такий запис многочлена його канонічною формою. Відповідь пояснити.

4) Канонічне представлення многочлена єдине чи ні?

5) Чому рівний степінь суми та добутку многочлена?

6) Що означають записи і

7) В чому полягає функціональна рівність многочленів?

8) Яка умова алгебраїчної рівності многочленів?

9) Чи вірно, що коли многочлени рівні між собою функціонально, то вони рівні і алгебраїчно?

10) Асоційовані многочлени – це …

11) Що означає запис:

Задачі

 

1) Знайти канонічну форму многочлена:

а) в кільці ;

б) у кільці .

2) Виконати ділення з остачею („кутом”):
а) многочлена на многочлен ;
б) многочлена на многочлен .

3) Використовуючи схему Горнера поділити в кільці многочлен на лінійний двочлен :
а) ;
б) .

4) При якій умові многочлен ділиться на многочлен .

5) При яких значеннях многочлени і з кільця рівні між собою: .

6) Довести, що з функціональної точки зору ці многочлени рівні:

з кільця .

7) Знайти всі значення при яких многочлен є квадратом

деякого многочлена з кільця . Записати . .

8) Знайти суму коефіцієнтів многочленна
в кільці .

9) Знайти необхідну і достатню умову подільності многочленів
на в кільці .

10) Знайти остачу від ділення
на в кільці .

11) При діленні многочлена на в кільці дістали остачу . Знайти остачу від ділення на , якщо .

12) При діленні многочлена на в кільці дістали остачу 3, а при діленні на - остачу 9. Яка буде остача, якщо поділити на ?

13) При діленні многочлена на у кільці дістали частку та остачу . Знайти остачу від ділення на .

 

 

§ 2. Ділення многочлена на двочлен (x-a). Теорема Безу. Схема Горнера. Розклад многочлена за степенями (x-a). Найбільший спільний дільник і найменше спільне кратне многочленів.
Алгоритм Евкліда

 

Питання для самоконтролю:

 

1) Сформулювати теорему Безу і наслідок з неї.

2) Що означає розкласти многочлен за степенями ?

3) Який дільник є спільним для многочленів?

4) Спільний дільник називається найбільшим спільним дільником многочленів, якщо…

5) Взаємно прості многочлени – це…

8) Що означає лінійно представити найбільший спільний
дільник?

9) При якій умові і взаємно прості?

10) Алгоритм Евкліда. Для чого його використовують?

11) Спільне кратне многочленів і - це …

12) Що називається НСК многочленів і як його обчислити?

 

Задачі

 

1) Знайти частку і остачу від ділення многочлена на многочлен .

2) Знайти значення многочлена з кільця в точці , якщо:

а) К = С;

б) ;
в) ;
г) .

3) Методом невизначених коефіцієнтів знайти частку і остачу від ділення на .

4) Остачі від ділення многочлена з кільця на відповідно дорівнюють . Знайти остачу від ділення цього многочлена на .

5) При діленні многочлена на
отримали остачі 5, -4, 6 відповідно. Знайдіть остачу при діленні многочлена на .

6) Знайти остачу від ділення многочлена
на двочлени:
а)
б)
в)

7) Користуючись схемою Горнера розкласти многочлен за степенями двочлена , якщо

а) ;

б) ;

в) .

8) Довести, що многочлен ділиться:

а) на над областю цілісності К з одиницею;
б) на в кільці .

9) Користуючись алгоритмом Евкліда, знайти найбільший спільний дільник таких многочленів:

а) ;
б) ;
в) .

10) Знайти найменше спільне кратне таких многочленів:
а) ;
б) ;
в) .

11) Визначити многочлени і так, щоб для многочленів і виконувалася рівність , якщо

а) ;
б) .

 

 

Задачі

 

1) Встановити чи звідні над полем Q такі многочлени:

2) Розкласти на незвідні множники многочлен в полях Q, R, C, якщо він має дві пари коренів у полі, які є протилежними числами.

3) Розкласти на незвідні у полі Р множники такі многочлени:

4) Знайти многочлен шостого степеня з кільця , якщо

5) Розкласти многочлен f(x) за степенями двочлена і знайти , якщо:

належить .

6) Знайти кратність кореня многочлена :

7) При яких значеннях многочлен має кратний корінь:

8) Визначити коефіцієнт так, щоб многочлен мав число -1 коренем не нижче другої кратності.

9) Відокремити кратні множники таких многочленів:

10) Визначити коефіцієнт так, щоб один з коренів многочлена був рівним подвійному другому.

11) Знайти многочлен третього степеня, якщо його корені рівні , де - корені многочлена .

Задачі

 

1) Довести тотожність:

2) Використовуючи інтерполяційну формулу Ньютона, побудувати многочлен найменшого степеня за такою таблицею:

 

	-3	-2	-1

а)

 

 

	-1

б)

 

 

3) Знайти многочлен найменшого степеня за такою таблицею:

 

		і	-1	-і
	і		-і	-1

а)

Обчислити

 

б) Обчислити

 

4) Знайти цілі числа такі, що

а) ;

б) .

5) У полі знайти нескоротний дріб, який дорівнює
,
.

6) Перевірити, чи є раціональні дроби елементарними над полем , якщо:

7) Розкласти дріб на елементарні дроби:

8) Розкласти дріб на елементарні дроби:

9) Розкласти дріб на елементарні дроби в полі комплексних чисел:

10) Розкласти дріб на елементарні дроби в полі раціональних чисел:

 

Задачі

 

1) Знайти канонічну форму таких многочленів:

2) Упорядкувати лексикографічно і знайти вищий член многочлена:

з кільця .

3) Застосовуючи заміну розкласти на незвідні у полі множники многочлен , якщо

4) Розкласти на незвідні множники многочлен :

5) Чи є симетричними такі многочлени:

6) Виразити через елементарні симетричні многочлени:

7) Перевірити вірність даної рівності: .

8) Виразити через елементарні симетричні многочлени:

Задачі

1) У множині дійсних чисел розв’язати системи:

2) Розв’язати систему ірраціональних рівнянь:

3) Розв’язати системи рівнянь, звівши їх за допомогою допоміжних змінних до симетричних многочленів:

4) Розв’язати такі рівняння:

5) Скоротити дріб

6) Скласти квадратне рівняння, коренями якого є куби коренів рівняння

7) Скласти квадратне рівняння, коренями якого є , якщо відомо, що

8) Знайти многочлен третього степеня, коренями якого є:
а) куби комплексних коренів многочлена
б) четверті степеня комплексних коренів многочлена

9) Знайти многочлен четвертого степеня, коренями якого є:
а) квадрати комплексних коренів многочлена
б) куби комплексних коренів многочлена

10) Довести такі тотожності:

11) Довести, що коли , то

12) Розкласти на незвідні над полем R множники симетричний однорідний многочлен

 

Задачі

 

1) Обчислити результант многочленів:
а) використовуючи означення;
б) використовуючи симетричні многочлени;
в) у формі Сільвестра.

2) При якому значенні мають спільні корені слідуючі многочлени:

3) Обчислити дискримінант многочленів:

4) Довести, що дискримінант многочлена дорівнює дискримінанту многочлена

5) При якому значенні многочлен має кратний корінь:

6) Розв’язати системи рівнянь:

 

Задачі

 

1) Знайти многочлен найменшого степеня, в якого:
а) 1 – подвійний корінь, а 2, 3, – прості;
б) -1 – потрійний корінь, а 3 і 4 – прості.

2) Знайти многочлен найменшого степеня з дійсними коефіцієнтами, якщо – його потрійний корінь.

3) Знайти суму квадратів коренів многочлена

5) Сума двох коренів рівняння дорівнює 1. Визначити .

6) Використовуючи формули Вієта, побудувати многочлен за його коренями:

7) Знайти зведений многочлен, в якого корені задовольняють умову: , а , , є коренями многочлена .

8) Корені многочлена утворюють арифметичну прогресію. Знайти цей многочлен і його корені, якщо .

9) Чи утворюють корені рівняння арифметичну прогресію?

10) Визначте так, щоб один з коренів многочлена був рівний подвоєному другому кореню.

 

Задачі

 

1) Розв’язати рівняння:

, якщо ;
, якщо ;

, якщо .

2) Знайти нормований многочлен найменшого степеня з дійсними коефіцієнтами, що має:

а) простий корінь і двократний корінь 1;

b) простий корінь і двократні корені та ;

с) трикратний корінь .

3) Знаючи, що число є коренем многочлена , знайти інші його корені:

4) Розкласти многочлен на множники, незвідні над полем R:

5) Яким умовам повинні задовольняти дійсні коефіцієнти многочлена:

, щоб він мав два різних дійсних корені;

, щоб він мав один дійсний корінь.

Рівняння третього степеня

Питання для самоконтролю:

1) Яке рівняння називається рівнянням третього степеня?

2) Рівняння третього степеня зводиться до рівняння виду за допомогою …

3) Як називається вираз ?

4) Як знайти корені рівняння ?

5) Коли рівняння має один дійсний і два комплексні корені спряжених?

6) Якщо , то які корені має рівняння ?

7) Рівняння має три дійсні корені, якщо …

8) U₁ i V₁ – це …

9) З якої умови знаходиться числа U₁ i V₁?

 

Задачі

 

1) Звести кубічне рівняння до виду, у якому відсутній доданок з невідомим у другому степені:

2) Розв’язати рівняння:

3) При яких дійсних значеннях рівняння має кратний корінь? Знайти його.

4) Які корені залежно від значення числа має рівняння з дійсними коефіцієнтами ?

5) Розв’язати рівняння , коли відомо, що серед його коренів є два числа, обернених за абсолютною величиною і протилежних за знаком.

6) Розв’язати рівняння , коли відомо, що добуток двох його коренів дорівнює 1.

7) Розв’язати кубічне рівняння , коли відомо, що його коефіцієнти в порядку спадання степенів утворюють геометричну прогресію з знаменником 2.

 

§ 11. Відокремлення дійсних коренів многочленів.
Теорема Штурма

 

Питання для самоконтролю:

1) Як розташовані комплексні корені з дійсними коефіцієнтами відносно дійсної осі?

2) Де розміщені всі дійсні корені рівняння ?

3) Число М є верхньою межею додатних коренів многочлена , якщо …

4) Кількість змін знаків деякої впорядкованої послідовності дійсних чисел – це …

5) Сформулюйте правило Декарта.

6) Яка заміна використовується для знаходження кількості від’ємних коренів многочлена ?

7) Щоб побудувати ряд Штурма необхідно…

8) Сформулювати теорему Штурма.

9) Чи мають дві сусідні функції ряду Штурма спільні корені?

10) Якщо є коренем однієї з проміжних функцій ряду Штурма, то…

11) Якщо , зростаючи, проходить через корінь якої-небудь проміжної функції ряду, але не проходить через корінь
, то …

12) Якщо , зростаючи, проходить через корінь многочленна
, то…

 

Задачі

 

1) Знайти верхню межу дійсних коренів многочлена методом Ньютона:

2) Знайти нижню межу дійсних коренів многочлена методом Ньютона:

3) Обмежити зверху і знизу дійсні корені многочленів:

4) Знайти число дійсних коренів для многочленів:
на проміжку [0,2],
на проміжку [-3,5].

5) Відокремити дійсні корені многочленів:

6) Оцінити за правилом Декарта число додатніх і від’ємних коренів многочлена

 

 

 

Задачі

 

1) Розв’язати рівняння:

2) Знайти раціональні корені рівняння:

3) Розкласти на незвідні множники дані многочлени або довести їх незвідність:

4) Дослідити на звідність у полі Q такий многочлен:

5) Що можна сказати про звідність даного многочлена у
кільці :

6) Користуючись критерієм Ейзенштейна, довести незвідність над полем Q многочленів:

Задачі

 

1) Довести, що число a є алгебраїчним і знайти його мінімальний многочлен:

2) Довести, що числа і алгебраїчні. Знайти степінь числа .

3) Довести безпосередньо, що число є алгебраїчним, і знайти многочлен над Q (не обов’язково мінімальний), коренем
якого є :

4) Для даного числа , алгебраїчного над Q, знайти алгебраїчно спряжене до нього (над Q) число:

5) Чи міститься в полі число ? В полі
число ?

6) Знайти алгебраїчне число, приєднанням якого до Q поля можна дістати складне алгебраїчне розширення:

де - прості числа,

,

.

7) Нехай і - натуральні числа, причому і - не цілі. Довести, що .

8) Знайти вираження для кожного з чисел і через
+ :

 

Задачі

 

1) Позбавитися від ірраціональності в знаменнику дробу:

де ,
де

2) Позбавитися від ірраціональності в знаменнику дробу:

3) Позбавитися від ірраціональності в знаменнику дробу:

4) Позбавитися від ірраціональності в знаменнику дробу:

5) В полі , де , знайти представлення для числа у вигляді .

6) Звільнитись від в знаменнику дробу , якщо - корінь рівняння .

7) Спростити вираз:

ТЕМАТИЧНІ ТЕСТИ

ТЕСТ 1

 

Подільність. Взаємнопрості многочлени.
НСД та НСК многочленів. Раціональні дроби

 

1) Чи є многочленом від змінної чи вираз:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

2) Який степінь має многочлен :

а) 3;

б) 4;

в) 8;

г) 7.

3) Канонічною формою многочлена називається такий запис:

а) коли його члени впорядковані в довільному порядку;

б) коли його члени впорядковані за спаданням степеня ;

в) коли його члени впорядковані за зростанням степеня ;

г) коли його члени впорядковані за спаданням значення
коефіцієнта.

4) Які з многочленів записані в канонічній формі:

а) над полем ;

б) над полем ;

в) над кільцем ;

г) над полем .

5) Допишіть нерівність: …

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

6) При яких та многочлен з кільця рівні між собою: та

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

7) У кільці многочлени і …, якщо вони відрізняються лише множником, який є відмінною від нуля константою.

а) незвідні;

б) асоційовані;

в) подібні;

г) звідні.

8) Знайти суму коефіцієнтів многочлена з кільця :

а) -5;

б) 24;

в) 0;

г) -25.

9) Як називається многочлен у виразі :

а) ділене;

б) частка;

в) остача;

г) дільник.

10) Як називається вираз виду :

а) лінійний запис НСД;

б) лінійний запис НСК;

в) лінійне представлення НСД;

г) лінійне представлення НСК.

11) … називається будь-який многочлен такий, що
:

а) СД;

б) НСК;

в) НСД;

г) СК.

12) Якщо , то називається …

а) СД;

б) НСК;

в) НСД;

г) СК.

13) Многочлен називається … у полі , якщо і в кільці існують многочлени і такі, що = , і .

а) незвідним;

б) асоційованим;

в) симетричним;

г) звідним.

14) Чи вірне твердження: многочлен першого степеня над будь-яким полем є звідним у кільці ?

а) так;

б) ні;

в) в окремих випадках;

г) можливо.

15) Поле , де многочлен розкладається на лінійні множники називається:

а) канонічним полем;

б) полем розкладу;

в) кратним полем;

г) звідним полем.

16) Якщо , то многочлени і називаються:

а) асоційованими;

б) звідними;

в) незвідними;

г) взаємно простими.

17) Число всіх можливих коренів многочлена степеня над
полем …

а) дорівнює ;

б) не перевищує ;

в) більше ;

г) менше .

18) Скільки многочленів можуть бути найменшим спільним дільником многочленів і у кільці :

а) 2;

б) 1;

в) 4;

г) безліч.

19) Скільки многочленів можуть бути найменшим спільним кратним многочленів