Контур без активного сопротивления.

Закон Ома и правила Кирхгофа установлены и, строго говоря, справедливы для постоянного тока. Однако, они остаются практически справедливыми и для мгновенных значений изменяющихся токов и напряжений, если их изменения происходят не слишком быстро. Если за время t, распространения электромагнитного возмущения по длине l всей цепи, сила тока изменяется незначительно, то такие токи называются квазистационарными. Математически для периодически изменяющихся токов условие квазистационарности имеет вид:

(21.01)

Т - период.

Для квазистационарных токов закон Ома справедлив и мы будем рассматривать только такие токи.

Простейшей цепью, в которой могут возникнуть электрические колебания, является цепь, состоящая из ёмкости С и индуктивности L. Колебания в контуре можно вызвать либо сообщив конденсатору начальный заряд, либо возбудив в индуктивности индукционный ток, например, выключив внешнее магнитное поле.

Например, рассмотрим процессы при замыкании заряженного конденсатора на катушку индуктивности. Будем считать, что сопротивление проводников схемы равно нулю.

1. В начальный момент времени энергия системы сосредоточена в электрическом поле конденсатора. При замыкании цепи в цепи возникает электрический ток, возбуждающий в катушке нарастающее магнитное поле, с которым оказывается связанной часть запасенной конденсатором энергии. В катушке возбуждается ЭДС самоиндукции, которая противодействует нарастанию тока, в соответствии с правилом Ленца. Ток продолжает нарастать (энергия переходит в энергию магнитного поля катушки) и достигает максимального значения при полном разряде конденсатора. При этом изменение тока прекращается, ЭДС самоиндукции обращается в нуль. Вся запасенная конденсатором энергии преобразуется в энергию магнитного поля в катушке индуктивности. По времени описанные процессы составляют четверть периода электромагнитного колебания в контуре.

2. Однако ток в цепи не прекращается, вследствие того, что ЭДС самоиндукции изменяет знак на противоположный и поддерживает его. Протекая в прежнем направлении, ток начинает заряжать конденсатор, но полярность зарядов на обкладках конденсатора меняется на противоположную. Энергия системы начинает преобразовываться из энергии магнитного поля в энергию электрического поля конденсатора. Процесс подзарядки конденсатора продолжается до полного перехода энергии в поле конденсатора. Напряжение на конденсаторе достигает максимального значения, равного исходному, но имеет противоположную полярность. По времени описанные процессы составляют вторую четверть периода электромагнитного колебания в контуре.

3. В третьей четверти периода процессы в контуре повторяют первую, но начинаются с заряженного состояния конденсатора, отличающегося обратной полярностью.

4. В четвертой четверти процессы аналогичны второй, но конденсатор и система возвращаются в исходное состояние.

Найдём уравнение колебаний в таком контуре.

Условимся считать положительным ток, заряжающий конденсатор:

. (21.02)

Тогда по второму правилу Кирхгофа падение напряжения на активном сопротивлении цепи должно быть равно сумме ЭДС, действующих в контуре. В контуре имеется конденсатор, напряжение, на котором можно рассматривать, как ЭДС, которую следует взять в сумме «с минусом», поскольку она напрвлена навстречу току зарядки конденсатора. К этой ЭДС необходимо добавить ЭДС самоиндукции . Поэтому уравнение по второму правилу Кирхгофа следует записать в виде:

(21.03)

Подставим в (21.03) выражения для ЭДС и учтем, что по предположению в контуре нет активного сопротивления:

. (21.04)

Но по определению силы тока

. (21.05)

Поэтому уравнению (21.04) можно придать вид:

. (21.06)

Уравнение точно такого вида мы решали при рассмотрении механических колебаний. Положив , получим

. (21.07)

Решение (21.07) имеет вид

. (21.08)

называется: собственной частотой контура.

Период колебаний определяется по формуле Томпсона

. (21.09)

Напряжение на конденсаторе изменяется по закону:

. (21.10)

Дифференцируя (21.08) по времени, найдём для силы тока:

. (21.11)

Сравнивая (21.10)и (21.11), видим, что сила тока опережает по фазе напряжение на конденсаторе на p/2. Когда ток достигает максимума, напряжение обращается в нуль и наоборот. С учетом именно этого утверждения построены графики на рисунке 1.

Представляет интерес рассмотреть отношение максимального напряжения на конденсаторе к максимальному току . Это отношение имеет размерность сопротивления и называется характеристическим сопротивлением контура. Поскольку , а , то

. (21.12)

следовательно,

. (21.13)

Затухающие колебания.

Во всяком реальном контуре обязательно присутствует активное сопротивление R. Соответственно выражение для закона Ома будет иметь вид (21.03):

или . (21.14)

Разделим (21.14) на и воспользуемся обозначением:

. (21.15)

Получаем дифференциальное уравнение, описывающее колебания в контуре с ненулевым активным сопротивлением:

(21.16)

Параметр называется коэффициентом затухания. По смыслу эта величина обратна времени, в течение которого амплитуда колебаний уменьшается в «е» раз.

Решение (21.16) при не слишком большом затухании имеет вид (как известно!):

(21.17)

«…при не слишком большом затухании» означает:

. (21.18)

В этом случае циклическая частота колебаний остается вещественной:

. (21.19)

Из (21.19) следует, что частота затухающих (т.е. при ненулевом сопротивлении в контуре) колебаний меньше собственной.

Для характеристики степени затухания колебаний используют логарифмический декремент затухания, который определяется соотношением:

. (21.20)

Напомним, что есть количество колебаний, совершаемых системой за время, пока амплитуда колебаний уменьшается в «е» раз.

В нашем случае и , поэтому

. (21.21)

поскольку определяется параметрами контура , то логарифмический декремент затухания l является характеристикой контура. Важно отметить, что соотношение (21.21) справедливо всегда, в отличии от широко используемого приближенного соотношения, которое мы сейчас рассмотрим.

При небольшом затухании ,и вторым слагаемым в (21.19) можно пренебречь. Тогда

. (21.22)

. (21.23)

Чаще для характеристики степени затухания колебаний используется добротность контура:

. (21.24)

Добротность контура, как и любой колебательной системы, пропорциональна .

Энергия, запасённая в контуре, пропорциональна квадрату напряжения на конденсаторе, а значит, уменьшается по закону:

. (21.25)

Тогда отношение энергии DW, теряемой в контуре за период к запасённой . (21.26)

Если (!) затухание невелико: l << 1, то , а значит

. (21.27)Отсюда находим, что

. (21.27)

Другими словами добротность пропорциональна отношению энергии запасённой в контуре к энергии, теряемой за период.