Понятие независимых повторных испытаний. Формула Бернулли и ее доказательство

Пусть проводятся независимые испытания (такие, при которых вероятность появления события в каждом испытании не зависит от результатов предыдущих испытаний). Далее, вероятность наступления интересующего нас события в каждом испытании постоянна и равна p(так считается при повторных испытаниях).Тогда вероятность того, что рассматриваемое событие появится ровно m раз при n испытаниях (безразлично, в каком порядке), равна

P_m,n=C_n^mP^mq^n-m

 

Для реализации схемы Бернулли необходимы два условия:
1) независимость проводимых испытаний;
2) p = const (постоянное значение вероятности появления события)

Вывод формулы Бернулли. Вероятность одного сложного события, состоящего в том, что в n испытаниях событие А наступит m раз и не наступит n-m раз, по теореме умножения вероятностей независимых событий равна P^mq^n-m. Таких сложных событий может быть столько, сколько можно составить сочетаний из n элементов по m элементов, т. е. С_n^m. Так как эти сложные события несовместны, то по теореме сложения вероятностей несовместных событий искомая вероятность равна сумме вероятностей всех возможных сложных событий. Поскольку же вероятности всех этих сложных событий одинаковы, то искомая вероятность (появления m раз события А в n испытаниях) равна вероятности одного сложного события, умноженной на их число:

 

P_m,n=C_n^mP^mq^n-m

 

Вопрос

Как вычислить при независимых повторных испытаниях вероятность появления события менее К раз, более К раз, не менее К раз, не более К раз?

 

P_n(m<k)=P_n(0)+P_n(1)­­+…P_n(k-1)

P_n(m>k)=P_n(k+1)+P_n(k+2)­­+…P_n(n)

P_n(m≤k)=P_n(0)+P_n(1)­­+…P_n(k)

P_n(m≥k)=P_n(k)+P_n(k+1)­­+…P_n(n)

Вопрос

Что такое наивероятнейшее число появления события в независимых испытаниях. Как оно вычисляется?

Наивероятнейшее число успехов Биномиальное распределение (распределение по схеме Бернулли) позволяет, в частности, установить, какое число появлений события А наиболее вероятно.

 

Число m0 называют наивероятнейшим числом, если вероятность того, что событие наступило в этих испытаниях m₀ раз, превышает или по крайней мере не меньше вероятности остальных возможных исходов.

P_n(m₀)≥P_n(m) то m₀- наивероятнейшее число появления события А

 

Наивероятнейшее число m₀ появления события при n независимых испытаниях:

np-q≤m₀≤np+p, р - вероятность появления события при одном испытании.

Вопрос

В каких случаях при повторных независимых испытаниях используется формула Пуассона? Приведите расчетную формулу и условия ее применения

Если вероятность Р наступления события А в каждом испытании à0 (Pà0) при неограниченном увеличении n (nà∞), причем nPàλ, λ=сonst, то вероятность Р_m,_n того, что А произойдет m раз в n независимых испытаниях

Р_m,_n=λ^me^-λ/m! при условии что nP=λ≤10

Если при наличии схемы Бернулли число испытаний n велико, а вероятность наступления события p мала, то вместо формулы Бернулли используют формулу Пуассона

 

Вопрос

Когда применяют локальную теорему Муавра-Лапласса (при независимых повторных испытаниях)? Изложите ее сущность и область применения

Если вероятность Р наступления события А в каждом испытании = const и отлична от 0 и 1, то вероятность Р_m,_n того, что событие А произойдет m раз в n независимых испытаниях при достаточно большом числе n

Р_m,_n≈ f(x)= функция Гаусса x= nPq≥20

Чем больше n, тем ближе значение вероятности к точному. Если есть под рукой таблица значений функции плотности стандартного нормального распределения то сначала вычисляем величину x а потом смотрим нужное значение. Для отрицательных значений аргумента пользуются теми же таблицами, так как функция f(-x)=f(x). x≥4 то f(x)=0

 

Вопрос

Сущность интегральной теоремы Муавра-Лапласса, область ее применения при независимых повторных испытаниях

Если вероятность Р наступления события А в каждом испытании = const и отлична от 0 и 1, то вероятность того, что число m наступления события А в n независимых испытаниях заключено в пределах от а до в включительно, при достаточно большом n

P_n(a≤m≤b)=Ф(х₂)-Ф(х₁) x₁= x₂= nPq≥20

Ф(-x)=-Ф(x). x≥4 то Ф(x)=0

 

- функция Лапласа.

 

Вопрос