Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Теория аналитических функций.Стр 1 из 4Следующая ⇒
Глава XIV Теория аналитических функций.
Комплексное число z=x+iy, отличное от нуля можно записать в тригонометрической форме: , где - модуль комплексного числа z, Arg z – аргумент этого числа. Значение аргумента заключенное в промежутке (-π, π], называется главным значением аргумента и обозначается arg z. Аргумент комплексного числа вычисляется по формуле: (), где –π<arg z π. Главное значение аргумента числа z=x+iy можно вычислить по формулам: , при x>0, , при x<0, y 0, , при x<0, y<0.
№2664. Найти модули и главные значения аргумента комплексных чисел, заданных ниже. Записать эти числа в тригонометрической форме: 1) z=1+i (т.к. x>0) 3) z=3 5) z=6i 7) z=-1+i 9) 11) 13)
Корень n-ой степени из комплексного числа , отличного от нуля имеет n значений. Все они определяются по формуле: (k=0;+1;…;n-1)
№2665. Найти все значения корней, заданных ниже комплексных чисел, и изобразить их в виде точек комплексной плоскости: 1) (k=0;1) ( ) k=0, k=1 3) , z=-1, , (k=0,1,2) k=0, k=1, k=2, 5) (k=0,1,2,3) k=0, k=1, k=2, k=3, 7) , z=
(k=0,1) k=0, ; k=1,
9) , z=2- i 2 (k=0,1,2,3,4)
В задачах 2675-2684 требуется найти множество точек в комплексной плоскости (Z), удовлетворяющих соответствующему равенству: №2675 - окружность с центром в точке z0 радиуса R. =R2 №2677 |z+1-2 i |=3 – окружность с центром в точке -1+2 i радиуса 3. №2679. Re z - Im z =2 x – y =2 => y = x – 2 - прямая.
№2681. |z - 1| + |z + 1| =3 , , , №2683. , , , , , ,
В задачах 2685-2696 требуется найти множество точек в комплексной плоскости (Z), удовлетворяющих соответствующему неравенству:
№2685. |z - z0|<R, , - внутренность круга с центром в точке z0 радиуса R. №2687. |z +1- i | <3 , - внутренность круга с центром в точке радиуса 3. №2689. Re z > 2, x>2 – полуплоскость расположенная справа от прямой x=2. №2690. , - прямая y=-1 и полуплоскость расположенная ниже этой прямой. №2691. 0<Re z<2, 0<x<2 – полоса расположенная между прямыми x=0,x=2. №2692. , - прямые y=0, y=3 и все точки между ними. №2693. , , , , . Парабола y2=1-2x и её внутренность. №2695. , , , . Угол, образованный положительной частью действительной оси и лучом, выходящим из начала координат и образующим с положительным направлением действительной оси угол, равный радиана, а также точки, лежащие на сторонах этого угла.
Для того чтобы сходился (абсолютно сходился) ряд , необходимо и достаточно, чтобы сходились (абсолютно сходились) ряды и .
Производная и интеграл. Для того чтобы функция была дифференцируема в точке необходимо и достаточно чтобы функции u(x,y) и v(x,y), рассматриваемые как действительные функции от двух действительных переменных x и y, были дифференцируемы в точке (x,y) и чтобы имели место равенства: (условие Коши-Римана) При этом производная может быть вычислена по формулам:
№2756. Проверить выполнение условий Коши-Римана и найти производную функции в следующих задачах. (2756-2759) w=z2. Пусть z=x+ i y, тогда w=(x+ i y)2=x2-y2+2xyi= , где u(x;y)=x2-y2, v(x;y)=2xy. Проверим условие Коши-Римана: т.е. условие Коши-Римана выполняется №2757. w=z2+2z-1 Пусть z=x+ i y, тогда w=x2-y2+2xy i +2x+2y i -1=x2-y2+2x-1+(2xy+2y) i =u(x;y)+ i v(x;y)
т.е. условие Коши-Римана выполняется
№2758. w=cos 2z Пусть z=x+ i y, тогда Итак, Поэтому Условие Коши-Римана выполняется. w´=-2sin 2z
№2761. Доказать, что w=z Im z дифференцируема только в точке z=0, найти w´(0). Проверим условие Коши-Римана. Пусть z=x+ i y, тогда Im z=y и
w´(0)=0+i 0=0 №2760. Доказать, что функция нигде не дифференцируема. Пусть z=x+ i y, тогда и Условие Коши-Римана не выполняется ни в одной точке, следовательно функция нигде не дифференцируема.
§79. Радиус R сходимости степенного ряда определяется по формуле Коши-Адамара (круг сходимости |z-z0|<R): , причем R=0, если и R=0, если . Можно по формуле:
В задачах 2729-2736 определить радиусы сходимости и круг сходимости степенных рядов. №2729. (очевидно z0=0)
|Z|<1
№2730 , |z-i|<3 - круг сходимости №2731
№2732
|z-(-1)|<1 (круг сходимости) №2733 R=1, |z|<1 (круг сходимости) т.к.
№2734 (круг сходимости) №2735 - круг сходимости
№2735 - круг сходимости Вычеты и их приложения. Коэффициент a-1 в лорановском разложении однозначной аналитической функции в окрестности конечной изолированной особой точки z0 , называется вычетом этой функции относительно точки z0 и обозначается (начальные буквы res от французского слова residu – остаток). Вычет через интеграл выражается формулой:
, где - окружность, В частном случае, когда z0 – полюс функции , вычет можно также вычислить по формуле: , если z0 – простой полюс, и по формуле: , если z0 – полюс кратности m>1. Конформные отображения Дробно-линейное отображение (окружность в окружности) представляется 3-мя точками: тогда
разность где встречается ∞ заменяется единицей. 1. №220. Написать какую-либо дробно-линейную функцию, которая переводит круг в нижнюю полуплоскость. Решение. На границе данного круга выберем три точки, например, z1=0, z2=2, z3=-2 i. на окружности задается направление обхода, при котором круг оказывается справа. Выберем теперь в плоскости w на действительной оси (которая является границей нижней полуплоскости) три точки w1, w2, w3 таким образом, чтобы при соответствующем обходе границы нижняя полуплоскость оставалась справа. Можно взять, например, w1=0, w2=1, w3=∞. По выбранным трем парам соответственных точек , используя формулу (7.4), запишем искомую дробно-линейную функцию:
- искомое отображение. Это не единственное решение, т.к. точки z1, z2, z3, w1, w2, w3 – произвольные. 2. Отобразить полосу на верхнюю полуплоскость: a) Рассматривая отображение w1=z-3 i, получим полосу b) с помощью отображения (полоса 0<y<h (h<2π) преобразуется в угол раствора h с вершиной в начале координат) преобразует полосу в c) наконец, отображение w3=w2 (угол в угол ). В нашем случае 3. Найти функцию, отображающую область на область . a) осуществим поворот вокруг нуля на , это осуществляет функция Следовательно, при данном повороте угол преобразуется в . b) Рассмотрим отображение преобразующее угол в угол . В нашем случае 4. Отобразить угол раствора с вершиной в точке z=2+ i ограниченный лучами Arg (z-2-i)=0+2kπ, на нижнюю полуплоскость. a) (переводит угол с вершиной в начале координат) b) угол в верхней полуплоскости c) - искомое отображение. Глава XIV Теория аналитических функций.
Комплексное число z=x+iy, отличное от нуля можно записать в тригонометрической форме: , где - модуль комплексного числа z, Arg z – аргумент этого числа. Значение аргумента заключенное в промежутке (-π, π], называется главным значением аргумента и обозначается arg z. Аргумент комплексного числа вычисляется по формуле: (), где –π<arg z π. Главное значение аргумента числа z=x+iy можно вычислить по формулам: , при x>0, , при x<0, y 0, , при x<0, y<0.
№2664. Найти модули и главные значения аргумента комплексных чисел, заданных ниже. Записать эти числа в тригонометрической форме: 1) z=1+i (т.к. x>0) 3) z=3 5) z=6i 7) z=-1+i 9) 11) 13)
Корень n-ой степени из комплексного числа , отличного от нуля имеет n значений. Все они определяются по формуле: (k=0;+1;…;n-1)
№2665. Найти все значения корней, заданных ниже комплексных чисел, и изобразить их в виде точек комплексной плоскости: 1) (k=0;1) ( ) k=0, k=1 3) , z=-1, , (k=0,1,2) k=0, k=1, k=2, 5) (k=0,1,2,3) k=0, k=1, k=2, k=3, 7) , z=
(k=0,1) k=0, ; k=1,
9) , z=2- i 2 (k=0,1,2,3,4)
В задачах 2675-2684 требуется найти множество точек в комплексной плоскости (Z), удовлетворяющих соответствующему равенству: №2675 - окружность с центром в точке z0 радиуса R.
=R2 №2677 |z+1-2 i |=3 – окружность с центром в точке -1+2 i радиуса 3. №2679. Re z - Im z =2 x – y =2 => y = x – 2 - прямая.
№2681. |z - 1| + |z + 1| =3 , , , №2683. , , , , , ,
В задачах 2685-2696 требуется найти множество точек в комплексной плоскости (Z), удовлетворяющих соответствующему неравенству:
№2685. |z - z0|<R, , - внутренность круга с центром в точке z0 радиуса R. №2687. |z +1- i | <3 , - внутренность круга с центром в точке радиуса 3. №2689. Re z > 2, x>2 – полуплоскость расположенная справа от прямой x=2. №2690. , - прямая y=-1 и полуплоскость расположенная ниже этой прямой. №2691. 0<Re z<2, 0<x<2 – полоса расположенная между прямыми x=0,x=2. №2692. , - прямые y=0, y=3 и все точки между ними. №2693. , , , , . Парабола y2=1-2x и её внутренность. №2695. , , , . Угол, образованный положительной частью действительной оси и лучом, выходящим из начала координат и образующим с положительным направлением действительной оси угол, равный радиана, а также точки, лежащие на сторонах этого угла.
Для того чтобы сходился (абсолютно сходился) ряд , необходимо и достаточно, чтобы сходились (абсолютно сходились) ряды и .
|
|||||||
Последнее изменение этой страницы: 2017-02-19; просмотров: 282; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.147.42.168 (0.213 с.) |