Линейные операции над векторами. Базис.

ГЛАВА 1. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД ВЕКТОРАМИ. БАЗИС.

КООРДИНАТЫ ВЕКТОРА

 

Основные теоретические сведения

Линейные операции над векторами

Сложение векторов. Суммой векторов называется вектор (рис.1.1), представляющий замыкающую многоугольника, построенного на слагаемых векторах (правило многоугольника). Из этого правила для суммы двух векторов получается правило параллелограмма (рис. 1.2).

Рис. 1.1 Рис. 1.2

 

Свойства суммы векторов:

1. .

2.

Вычитание векторов: Разностью называется вектор , такой что . Для построения вектора приводим к общему началу

векторы и , затем по правилу многоугольника находим

так, чтобы (рис. 1.3)

Рис. 1.3

Замечания

1. Вектор направлен от конца вычитаемого вектора к концу уменьшаемого вектора.

2. Векторы и совпадают с диагоналями параллелограмма, построенного на векторах и (рис. 1.2, рис. 1.3)

Умножение вектора на число (скаляр). Произведением вектора на число называется новый вектор такой, что и при (вектора сонаправлены), при (вектора противоположно направлены).

В частном случае при вектор называется противоположным вектору и обозначается .

Свойства умножения вектора на скаляр:

1.

2.

Имеет место утверждение: , где – число.

Линейная зависимость векторов. Сумма называется линейной комбинацией векторов ; числа называются коэффициентами линейной комбинации.

Векторы называются линейно зависимыми, если существуют числа такие, что и .

Векторы называются линейно независимыми, если только при .

Два вектора зависимы тогда и только тогда, когда они коллинеарны. Три вектора зависимы тогда и только тогда, когда они компланарны. Четыре вектора всегда линейно зависимы.

Разложение вектора на составляющие. Если и независимы (неколлинеарны), то любой третий вектор , лежащий в плоскости и , единственным образом раскладывается на составляющие по направлениям и : . Если независимы (некомпланарны), то любой четвертый вектор единственным образом раскладывается по направлениям векторов : .

Векторный базис и координаты вектора. Упорядоченная система любых трех линейно независимых векторов называется базисом трехмерного пространства. Предположим, что в качестве базиса выбраны 3 некомпланарных вектора , тогда любой вектор можно представить в виде: .

Числа называются координатами вектора в выбранном базисе. Наряду с записью будем пользоваться символической записью: .

Аналогично, упорядоченная пара линейно независимых векторов называется базисом двухмерного пространства.

Базис называется ортонормированным, если базисные векторы являются взаимно перпендикулярными ортами. В этом случае базисные векторы обозначаются буквами и наряду с записью пользуются символической записью: В ортонормированном базисе координаты вектора совпадают с проекциями этого вектора на направления базисных векторов: .

В любом базисе при сложении векторов их соответствующие координаты складываются, при умножении вектора на число все его координаты умножаются на это число.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Задача 1.1. Построить вектор , если известны векторы и .

Решение. Из одного начала строим векторы (рис. 1.5) и . Далее строим параллелограмм со стороной АВ и диагональю АС (рис. 1.6). Тогда по правилу параллелограмма .

С D C

А В A B

Рис. 1.5 Рис. 1.6

Задача 1.2. Векторы и взаимно перпендикулярны, причем Определить и .

Решение. Так как , то параллелограмм, построенный на этих векторах, будет прямоугольником ABCD (рис. 1.7) и D C

или . Из прямоугольного треугольника

АВС имеем или А В

Рис. 1.7

 

Так как модуль вектора есть величина неотрицательная, то .

Ответ. .

Задача 1.3. Векторы и образуют угол , причем . Определить и .

Решение. Векторы и приводим к общему D C

началу и строим параллелограмм ABCD

(рис. 1.8). По условию задачи ; АВ

тогда . Рис. 1.8

Вспомним, что углом между векторами и называется наименьший из двух углов между векторами, приведенными к общему началу, т.е. . По правилу параллелограмма . Из имеем

или

.

Аналогично из имеем

или

Ответ:

 

Задача 1.4. В параллелепипеде (рис. 1.9) заданы векторы, совпадающие с его ребрами: Построить векторы

и .

Решение.

1) Для построения вектора по правилу многоугольника рассмотрим ломаную из векторов : , где . Вектор замыкающий построенную ломаную , будет искомым вектором (рис. 1.9).

2) Вектор будет замыкающим для ломанной ABCM (рис. 1.10), где

Рис. 1.9 Рис. 1.10

3) Для определения вначале строим (по правилу параллелограмма), затем находим разность следовательно, .

Ответ. 1) , 2) , 3) .

 

Задача 1.5. Найти единичный вектор, коллинеарный данному вектору .

Решение. Искомый вектор , так как . Следовательно, имеем два решения.

Ответ. .

Задача 1.6. Векторы и служат сторонами D C

параллелограмма ABCD. Выразить через и M

векторы , где М – точка пересечения А В

диагоналей (рис. 1.11) параллелограмма. Рис. 1.11

Решение. По правилу сложения , используя определение произведения вектора на число, имеем , но . Следовательно, . Аналогично

 

Задача 1.7. В треугольнике ABC проведены медианы AD, BE, CF. Доказать равенство (Вспомним, что нуль-вектор – это вектор, модуль которого равен нулю, а направление не определено).

Решение. Рассмотрим векторы (рис. 1.12). Очевидно, что . Векторы выразим через , , , откуда

С D Е   А F B   Рис. 1.12

 

Задача 1.8. Найти зависимость между векторами и , если

Решение. Так как , то существует число такое, что . Следовательно,

Ответ. .

 

Задача 1.9. Векторы и зависимы с коэффициентами 4, –3, т.е. . Показать, что они коллинеарны.

Решение. .

 

Задача 1.10. Векторы линейно зависимы с коэффициентами 4, 6, –2, т.е. . Показать, что они компланарны.

Решение. Из следует, что . Следовательно, совпадает с диагональю параллелограмма, построенного на векторах и параллельны одной плоскости, а т.к. то тоже параллельны одной плоскости (компланарны).

 

Задача 1.11. Даны три некомпланарных вектора . Доказать, что векторы , компланарны.

Решение. По условию задачи следует доказать, что существует линейная комбинация векторов такая, что и . Рассмотрим . Используя свойства сложения векторов и умножения вектора на число, последнее равенство запишем в виде:

.

Так как по условию задачи векторы независимы, то их линейная комбинация равна нулю только при нулевых коэффициентах, следовательно,

Откуда имеем , где – произвольная постоянная, отличная от нуля. Таким образом, получим , где .

Задача 1.12. В ромбе ABCD , (рис. 1.13). Разложить по векторам и векторы и .

Решение.

.

D   A K C     B   Рис. 1.13

D   Q C A M B   Рис. 1.14

 

Задача 1.13. В треугольной пирамиде ABCD (рис. 1.14), DM – медиана грани DBC. Найти разложение вектора по векторам

Решение. где – половина диагонали параллелограмма, построенного на векторах и . Следовательно, . Таким образом,

Ответ.

 

Задача 1.14. В задаче 1.13 точка Q (рис. 1.14) – точка пересечения медиан грани BCD. Найти координаты вектора в базисе

Решение. Для определения координат вектора разложим его по направлению векторов

Следовательно, координаты в базисе есть . Символически это записывается так:

 

Задача 1.15. Известно разложение векторов и по базису . Найти в данном базисе координаты вектора

Решение. Имеем откуда и Искомый вектор =

Ответ.

 

Задача 1.16. Проверить коллинеарность векторов и

Решение. Так как координаты векторов пропорциональны, то . Из сравнения координат и следует, что следовательно,

Задача 1.17. В треугольнике с вершинами в точках определить расстояние от вершины С до точки пересечения медиан треугольника (точка М на рис. 1.15).

А N M B C Рис. 1.15

Решение. Пусть N – середина стороны AB, тогда Следовательно, искомое расстояние равно модулю вектора:

,

так как

то

.

Ответ.

Все формулы, необходимые для самостоятельного решения задач, приведены в таблице 1, в конце главы.

 

 

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

 

1. По данным векторам и построить каждый из следующих векторов:

1) + ; 2) – ; 3) – ; 4) – – .

2. Векторы и образуют угол , причём и . Определить и .

Ответ. .

3. Какому условию должны удовлетворять векторы и , чтобы имели место следующие соотношения:

1) , 2) , 3) .

Ответ. 1) Векторы взаимно перпендикулярны.

2) Угол между векторами должен быть острым.

3) Угол между векторами должен быть тупым.

4. Какому условию должны удовлетворять векторы и , чтобы вектор + делил пополам угол между и .

Ответ. .

5. По данным векторам и построить каждый из следующих векторов:

1) 3 ; 2) ; 3) ; 4) .

6. В параллелепипеде заданы векторы, совпадающие с его рёбрами Построить каждый из следующих векторов:

1) , 2) .

7. Даны два вектора и . Определить проекции на координатные оси следующих векторов:

1) + ; 2) - ; 3) 2 ; 4) ; 5) 2 +3 ; 6) .

Ответ. 1) 2) 3) 4) 5) 6) .

8. Определить при каких a, b векторы и коллинеарны.

Ответ. a =4, b =–1.

9. Принимая в качестве базиса векторы и , совпадающие со сторонами треугольника ABC, определить разложение векторов, приложенных вершинах треугольника и совпадающих с его медианами.

Ответ: , , где M,N,P – середины сторон треугольника АВС.

10. Даны точки А (3,–1,2) и В (–1,2,1). Найти координаты векторов и .

Ответ. , .

11. Проверить коллинеарность векторов и . Установить, какой из них длиннее и во сколько раз, как они направлены: в одну или в противоположные стороны.

Ответ. длиннее в три раза, и направлены в противоположные стороны.

12. Разложить вектор по трём некомпланарным векторам: .

Ответ. .

13. Доказать, что для любых заданных векторов векторы , , компланарны.

14. В тетраэдре OABC медиана AL грани ABC делится точкой М в отношении . Найти координаты вектора в базисе из рёбер .

Ответ. .

15. В тетраэдре ABCD, DM – медиана грани BCD и Q – центр масс этой грани. Найти координаты векторов и в базисе .

Ответ. , .

16. Заданы векторы и . Разложить вектор по базису векторов .

Ответ. .

17. Показать, что тройка векторов , , образует базис в множестве всех векторов пространства. Найти координаты вектора в базисе .

Ответ. .

18. Дан вектор . Найти , если , , .

Ответ. или .

 

 

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Задача 2.1. ; ; =2p/3. Вычислить:

a) ; б) ; в) .

Решение. Используя свойства скалярного произведения, находим:

a) ;

б) = = =

= =3 9+4 3 4 – 4 16=

=27 –4 –64 = –61;

в)

= = =9+2 3 4 +16=13.

Замечание. Квадрат суммы двух векторов раскрывается по формуле, используемой в обычной алгебре.

Ответ. a) 9; б) –61; в) 13.

 

Задача 2.2. ; . Определить, при каком значении векторы ₁+ ₂ и ₁– ₂ будут перпендикулярны.

Решение. Из условия ортогональности двух векторов следует, что ( ₁+ ₂) ( ₁–

– ₂)=0. Таким образом,

²= = .

Ответ. = .

Задача 2.3. Даны единичные векторы , и , удовлетворяющие условию + + . Вычислить + + .

Решение.

Способ 1. Векторы , , образуют равносторонний треугольник, у которого стороны равны 1: ; ( ^, )=(,^ )=(,^ )=2 /3. (Почему? Рис.1.16).

Рис. 1.16

Тогда + + = cos( ^, )+ cos(,^ )+ cos(,^ )= = .

Способ 2. ( + + )²= ²+ ²+ ² +2 +2 +2 =0