Ранг матрицы. Элементарные операции с матрицей.

Ранг матрицы

Строки и столбцы матрицы являются элементами соответствующих векторных пространств:

• столбцы матрицы составляют элементы пространства размерности ;
• строки матрицы составляют элементы пространства размерности .

Рангом матрицы называют количество линейно независимых столбцов матрицы (столбцовый ранг матрицы) или количество линейно независимых строк матрицы (строчный ранг матрицы). Этому определению эквивалентно определение ранга матрицы как порядка максимального отличного от нуля минора матрицы.

При элементарных преобразованиях ранг матрицы не меняется.

Свойства линейных операций:

Везде далее матрицы , и - матрицы одного размера.

1. Ассоциативность

2. , где - нулевая матрица соответствующего размера.

3.

4. Коммутативность

5. Дистрибутивность

6.

7.

Теорема о базисном миноре.

В произвольной матрице каждый столбец (строка) является линейной комбинацией столбцов (строк), в которых расположен базисный минор.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

В матрице минор порядка называется базисным, если он не равен нулю, а все миноры порядка и выше равны нулю или не существуют вовсе, т.е. совпадает с меньшим из чисел или.

Следствие. Определитель -го порядка равен нулю тогда и только тогда, когда его строки (столбцы) линейно зависимы.

Теорема о базисном миноре матрицы служит для доказательства таких важных теорем:

Теорема 1. Линейно независимые строки (столбцы) матрицы, количество которых равно рангу матрицы, являются базисными строками (столбцами).

Теорема 2. (Теорема о ранге матрицы). Для любой матрицы ее ранг равен максимальному количеству ее линейно независимых строк (столбцов).

Критерий совместности СЛАУ

Теоре́ма Кро́некера — Капе́лли — критерий совместности системы линейных алгебраических уравнений:

Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг её основной матрицы равен рангу её расширенной матрицы, причём система имеет единственное решение, если ранг равен числу неизвестных и бесконечное множество решений, если ранг меньше числа неизвестных.

Для того, чтобы линейная система являлась совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг расширенной матрицы этой системы был равен рангу ее основной матрицы.

Доказательство (условия совместности системы)

Необходимость

Пусть система совместна. Тогда существуют числа такие, что . Следовательно, столбец является линейной комбинацией столбцов матрицы . Из того, что ранг матрицы не изменится, если из системы его строк (столбцов) вычеркнуть или приписать строку (столбец), которая является линейной комбинацией других строк (столбцов) следует, что .

Достаточность

Пусть . Возьмем в матрице какой-нибудь базисный минор. Так как , то он же и будет базисным минором и матрицы . Тогда, согласно теореме о базисном миноре, последний столбец матрицы будет линейной комбинацией базисных столбцов, то есть столбцов матрицы . Следовательно, столбец свободных членов системы является линейной комбинацией столбцов матрицы .

Следствия

• Количество главных переменных системы равно рангу системы.
• Совместная система будет определена (её решение единственно), если ранг системы равен числу всех её переменных.

Решение СЛАУ общего вида.

Основная запись СЛАУ. Понятие решения СЛАУ и некоторые определения.В общем случае основная запись системы n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными имеет следующий вид:

 

(2.2.1)

 

При этом через обозначены неизвестные, подлежащие определению; величины называемые коэффициентами системы, и величины , называемые свободными членами, предполагаются известными. Каждый коэффициент системы имеет два индекса, первый из которых указывает номер уравнения, а второй номер неизвестного, при котором стоит этот коэффициент.

Система называется однородной, если все ее свободные члены равны нулю.

Если хотя бы один из свободных членов отличен от нуля, то система называется неоднородной.

Решением системы называется такая совокупность чисел , которая при подстановке в систему на место неизвестных обращает все уравнения этой системы в тождества.

Система уравнений вида называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если у нее не существует ни одного решения.

Совместная система вида называется определенной, если она имеет единственное решение.

Совместная система вида называется неопределенной, если у нее существуют по крайней мере два различных решения.

 

Краткая запись СЛАУ:

. (2.2.2)

Матричная формулировка СЛАУ:

, (2.2.3)

где

; (2.2.4)

– матрица коэффициентов системы; – вектор неизвестных; – вектор свободных членов.

Представление с помощью расширенной матрицы.В действительности, система уравнений полностью определяется элементами матрицы и вектора правой части. Обозначения неизвестных имеют чисто символический смысл. При различных допустимых преобразованиях системы также меняются только значения элементов матрицы и правой части. Поэтому вполне достаточным представлением системы уравнений является, так называемая, расширенная матрица (она получается из матрицы коэффициентов системы путем добавления к этой матрице столбца свободных членов):

 

(2.2.5)

где .

Прямые методами решения СЛАУ называются методы, которые позволяют получить теоретически точное (с учетом ограниченности разрядной сетки ЭВМ) решение за конечное число операций. Прямым методом является, в частности, метод Гаусса,

Решение однородной СЛАУ.

Любая однородная СЛАУ имеет хотя бы одно решение – нулевое (его ещё называют тривиальное), в котором все переменные равны нулю. Подставим, например, x 1=0, x 2=0, x 3=0 и x 4=0 в записанную выше систему. Получим два верных равенства:

{2⋅0−3⋅0−0−0=0;−4⋅0+5⋅0+3⋅0=0.

Однако следствие из теоремы Кронекера-Капелли однозначно указывает на то, что если СЛАУ имеет решение, то есть только два варианта. Либо это решение единственно (и тогда СЛАУ называют определённой), либо этих решений бесконечно много (такую СЛАУ именуют неопределённой).

С однородными СЛАУ связано дополнительное понятие – фундаментальная система решений. Дело в том, что если ранг матрицы системы однородной СЛАУ равен r, то такая СЛАУ имеет n − r линейно независимых решений: φ 1, φ 2,..., φn − r.

Любая совокупность n − r линейно независимых решений однородной СЛАУ называется фундаментальной системой (или совокупностью) решений данной СЛАУ.

Часто вместо словосочетания "фундаментальная система решений" используют аббревиатуру "ФСР". Если решения φ 1, φ 2,..., φn − r образуют ФСР, и X – матрица переменных данной СЛАУ, то общее решение СЛАУ можно представить в таком виде:

X = C 1⋅ φ 1+ C 2⋅ φ 2+…+ Cn − r ⋅ φn − r,

где C 1, C 2,..., Cn − r – произвольные постоянные.

Метод Гаусса

классический метод решения системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Это метод последовательного исключения переменных, когда с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе треугольного вида, из которой последовательно, начиная с последних (по номеру), находятся все переменные системы