Следствия из второго замечательного предела.

1.

2. где a > 0, y = a^x - 1.

3.

Натуральный логарифм и гиперболические функции.

Определение 14.2. Логарифм с основанием е называется натуральным логарифмом.

Обозначение: log _ex =ln x.

Определение 14.3. Функции (гиперболический синус), (гиперболический косинус), (гиперболический тангенс) и (гиперболический котангенс) называются гиперболическими функциями.

Замечание 1. Гиперболические функции обладают некоторыми свойствами, похожими на свойства обычных тригонометрических функций. Например,

сh² x – sh² x = ¼( e ^{2 x} + 2 + e ^{-2 x} - e ^{2 x} + 2 - e ^{-2 x} )=1,

2 sh x ch x = 2 = =sh2 x ,

th x =sh x /ch x, cth x =ch x /sh x ,

th x ·cth x = =1 и т.д.

Замечание 2. Термин «гиперболические» объясняется тем, что уравнения

x = a ch t, y = a sh t, a >0,

являются параметрическими уравнениями правой ветви гиперболы x ² - y ² = a ², так же, как x = a cos t, y = a sin t (0≤ t ≤2π) – параметрические уравнения окружности x ²+ y ²= a ².

 

Лекция 15.

Сравнение бесконечно малых. Символы «о» и «О». Эквивалентные бесконечно малые, их применение к вычислению пределов. Бесконечно большие функции и их связь с бесконечно малыми.

Рассмотрим функции α(х ) и β(х), для которых то есть бесконечно малые в окрестности х₀ .

1. Если то α(х ) и β(х )называются бесконечно малыми одного порядка. В частности, если А =1, говорят, что α(х ) и β(х ) – эквивалентные бесконечно малые.

2. Если то α(х ) называется бесконечно малой более высокого порядка по сравнению с β(х ).

3. Если , то α(х ) есть бесконечно малая порядка n по сравнению с β(х).

Обозначения: α(х)=О(β(х)) – бесконечно малые одного порядка, α(х)~β(х ) – эквивалентные бесконечно малые, α(х)=о(β(х)) – α есть бесконечно малая более высокого порядка, чем β .

Замечание 1. Используя 1-й и 2-й замечательные пределы и их следствия, можно указать бесконечно малые функции при х →0, эквивалентные х: sin x, tg x, arcsin x, arctg x, ln(1+ x ), e^x -1.

Замечание 2. При раскрытии неопределенности вида , то есть предела отношения двух бесконечно малых, можно каждую из них заменять на эквивалентную – эта операция не влияет на существование и величину предела.

Пример.

Бесконечно большие функции.

Определение 15.1. Функция f(x) называется бесконечно большой при х х₀, если

Для бесконечно больших можно ввести такую же систему классификации, как и для бесконечно малых, а именно:

1. Бесконечно большие f(x ) и g(x ) считаются величинами одного порядка, если

.

2. Если , то f(x ) считается бесконечно большой более высокого порядка, чем g(x).

3. Бесконечно большая f(x ) называется величиной k -го порядка относительно бесконечно большой g(x ), если .

Замечание. Отметим, что а^х – бесконечно большая (при а >1 и х ) более высокого порядка, чем x^k для любого k, а log _ax – бесконечно большая низшего порядка, чем любая степень х^k .

Теорема 15.1. Если α(х ) – бесконечно малая при х→х₀, то 1/ α(х ) – бесконечно большая при х→х₀ .

Доказательство. Докажем, что при | x - x₀ | < δ. Для этого достаточно выбрать в качестве ε 1/ M. Тогда при | x - x₀ | < δ | α(x)|< 1/ M, следовательно,

|1/ α(x )|> M. Значит, , то есть 1/ α(х ) – бесконечно большая при х→х₀.

Лекция 16.

Непрерывность функции в точке. Локальные свойства непрерывных функций. Непрерывность сложной и обратной функций. Непрерывность элементарных функций. Точки разрыва функций и их классификация. Свойства функций, непрерывных на отрезке: ограниченность, существование наибольшего и наименьшего значений, промежуточные значения.

Определение 16.1. Функция y=f(x ) называется непрерывной в точке х₀, если

Замечание. Из этого определения следует, во-первых, что функция определена при х = = х₀, и во-вторых, что при х→х₀ существует конечный предел функции.