Глава I. Развитие понятия интеграла

Интеграл Лебега-Стилтьеса

Содержание

Введение

Глава I. Развитие понятия интеграла

1.1 Проблема моментов

Глава II. Интеграл Стилтьеса

2.1 Определение интеграла Стилтьеса

2.2 Общие условия существования интеграла Стилтьеса

2.3 Классы случаев существования интеграла Стилтьеса

2.4 Свойства интеграла Стилтьеса

2.5 Интегрирование по частям

2.6 Приведение интеграла Стилтьеса к интегралу Римана

2.7 Вычисление интегралов Стилтьеса

2.8 Примеры

2.10 Теорема о среднем, оценки

2.11 Предельный переход под знаком интеграла Стилтьеса

2.12. Примеры и дополнения

Глава III. Применение интеграла Стилтьеса

3.1 Применение в теории вероятностей

3.2 Применение в квантовой механике

Заключение

Список литературы

Приложение

 

Введение

Понятие интеграла Римана, известное из элементарного курса анализа, применимо лишь к таким функциям, которые или непрерывны или имеют "не слишком много" точек разрыва. Для измеримых функций, которые могут быть разрывны всюду, где они определены (или же вообще могут быть заданы на абстрактном множестве, так что для них понятие непрерывности просто не имеет смысла), римановская конструкция интеграла становится непригодной. Вместе с тем для таких функций имеются аналоги в теории измерений: это интегралы Лебега и Стилтьеса. Так как интеграл Стилтьеса охватывает более широкий класс функций, мы остановимся на рассмотрении этого интеграла.

Выбор темы обусловлен тем, что изучению интеграла Стилтьеса уделяется меньше внимания, чем интегралам Римана и Лебега, хотя именно идея стилтьесовского интегрирования богаче и плодотворней предыдущих, определение интеграла Стилтьеса шире классического и в некотором отношении удобнее его.

Цель работы - рассмотреть необходимость введения понятия интеграла Стилтьеса, дать точное, компактное, сравнительно полное изложение теории интеграла Стилтьеса.

Задачи, которые нужно выполнить для достижения цели:

изучить множество литературы по этой теме;

отобрать из изученного материла необходимый;

привести примеры использования интеграла.

Работа состоит из трёх глав. Первая посвящена развитию данного понятия, проблеме моментов, которая и привела к необходимости введения нового понятия интеграла.

Во второй главе рассмотрены основные понятия, определение самого интеграла, свойства, способы вычисления, рассмотрено множество примеров.

Третья глава посвящена применению интеграла Стилтьеса в других разделах математики и в других науках.

 

Глава I. Развитие понятия интеграла

Проблема моментов

Введение понятия интеграла Стилтьеса и последующая его разработка связаны с проблемой моментов, состоящей в следующем. Пусть задана последовательность чисел ; требуется найти такую функцию распределения , чтобы члены заданной последовательности были моментами, т.е. . Если a и b конечны, то поставленная задача называется проблемой моментов в конечном интервале; если , то получаем проблему моментов Стилтьеса.

Проблема моментов первоначально ставилась в менее общей форме. А именно по заданной последовательности чисел ищется такая функция , чтобы имели место равенства . Целесообразность привлечения интеграла Стилтьеса для постановки и решения проблемы моментов напрашивается довольно естественно. С таким положением вещей и столкнулся Стилтьес при изучении непрерывных дробей, и именно в результате этих исследований он предложил своё обобщение интеграла.

Ранние исследования Стилтьеса изложены в его статье о механических квадратурах, в которой выясняется, позволяют ли формулы квадратур получать неограниченное приближение интеграла в смысле Римана. Во вводной части статьи Стилтьес решает задачу об определении многочлена

Условиями

(1)

при неотрицательной на .

Мы коснемся двух моментов из содержания его статьи.

Первый относится к задаче о степени приближения, даваемого квадратурной формулой Гаусса:

Здесь Стилтьес пользуется доказанными им формулами П.Л. Чебышева в виде

где . (2)

Он показывает, что если в квадратурной формуле Гаусса в качестве брать числа , получаемые по формуле (2) из цепной дроби, соответствующей интегралу , а будут корнями знаменателей подходящих дробей, то формула Гаусса даст сколь угодно точное приближение при возрастании . Для этой цепной дроби числа , очевидно, удовлетворяют неравенствам

(3)

так как в этом случае .

Вторым моментом является следующий. Отметив, что его результаты полезны при изучении вопроса о квадратуре интеграла , Стилтьес ставит вопрос о квадратурных формулах для интеграла вида

. (4)

Он ограничивается тем частным случаем, когда - произвольная интегрируемая по Риману функция, а такова, что внутри не существует интервала , в котором , и показывает, что в этом случае аппроксимация возможна со сколь угодно большой степенью точности. Доказательство этого факта опирается на то, что функция

(5)

является непрерывной и строго монотонной, а потому существует обратная функция , и в интеграле (4) возможна замена переменных

сводящих интеграл (4) к уже изученному Стилтьесом случаю.

По поводу же общего случая Стилтьес указал, что "условия, налагаемые на функции , делаются источником трудностей, которых удастся избежать лишь с помощью новых исследований о самих принципах интегрального исчисления". Действительно, если не удовлетворяет условию отсутствия в интервала , в котором , то она может оказаться не монотонной, поэтому обращение в том виде, в каком такую замену тогда производили, становится невозможным, и квадратуру интеграла (4) уже нельзя свести к квадратуре интеграла .

Приведенные слова Стилтьеса показывают, что уже в 1884 г. он был в некоторой степени подготовлен к пересмотру понятия интеграла. К мысли о таком пересмотре его приводил прием замены переменных, который играл заметную роль в последующей истории интеграла Стилтьеса.

Стилтьес рассматривал непрерывные дроби вида

(6)

где - в общем случае комплексное число.

Пусть - подходящая дробь порядка для непрерывной дроби (6). Тогда существуют пределы

причем, если ряд расходится, то

если же ряд сходится, то

и функции и различны.

К этому времени математикам, занимавшимся непрерывными дробями, была известна связь между интегралом

(7)

и непрерывной дробью

, (8)

где - суть линейные функции , а числа связаны с коэффициентами разложения (7) в ряд по убывающим степеням :

Формулами

Этой-то связью и руководствовался Стилтьес в своих исследованиях. Ход его мысли был следующим. Для подходящих дробей дроби (6) справедливы следующие свойства: корни и действительны и различны, степень меньше степени . Для -й подходящей дроби справедливо равенство

или, в другой форме,

В частности,

Как уже говорилось при , а потому, если обозначить через нули , то и при . Аналогично, если - нули функции , то и для случая нечетных . В случае расходимости ряда очевидно, что .

Пусть дробь вида (6) задана разложением в ряд по убывающим степеням :

(9)

Тогда оказывается, что ряды

сходятся и

(10)

Эти формулы позволяют по цепной дроби (6) найти её разложение в ряд (9). Обратная же задача - по разложению (9) найти дробь (6) - неизбежно приводит к решению более или менее общей проблемы моментов.

В самом деле, Стилтьесу была известна чебышевско-марковская интерпретация , как массы, сосредоточенной в точке , являющейся корнем . Естественно было распространить эту интерпретацию и на предельный случай, рассматривая как массы, расположенные в нулях функции (или ). После введения формул (10) Стилтьес пишет: "Рассмотрим на бесконечной прямой распределение массы (положительной), при котором на расстоянии от начала сосредоточена масса .

Сумма

может быть названа моментом порядка масс относительно начала. В таком случае из предшествующих формул следует, что момент порядка системы масс

имеет значение .

Равным образом система масс , где , будем иметь те же моменты .

Мы назовем проблемой моментов следующую задачу:

Найти распределение положительной массы на прямой , если даны моменты порядка ".

Действительно, формулы (10) приводят к постановке проблемы моментов, если принято истолкование и как масс, а как соответствующих расстояний этих масс от начала координат.

Цепные дроби рассматривающегося П.Л. Чебышевым и А.А. Марковым типа получились из разложения интеграла (7) и все корни знаменателей их подходящих дробей были заключены в промежутке . Стилтьес же не связывал рассматриваемые им дроби с заранее данным аналитическим выражением в виде интеграла, и корни , оказывались в общем случае распределенными по всей положительной части числовой оси. Поэтому закономерным был выход в проблеме моментов за пределы конечного интервала и рассмотрение её на интервале . Далее, поскольку рассматриваются как моменты массы относительно начала координат, то прежнее определение момента через интеграл Римана становилось недостаточным, существенно ограничивая класс последовательностей чисел ; даже для таких распределений массы, как концентрация её в отдельных точках, приходилось принимать довольно неожиданные предположения относительно функции плотности , как это было у русских ученых. Между тем, как показал Стилтьес, на последовательность чисел достаточно было наложить довольно слабые ограничения, чтобы ряд (9) можно было обратить в цепную дробь (6), а тем самым найти функции . Зная же эти функции, мы тем самым знаем решение системы уравнений (10), т.е. решение проблемы моментов. Если при этом и , и попарно совпадут, то получится определенное решение: если же они попарно различны, то решений по крайней мере два: системы и . Следовательно, общность цепных дробей вида (6) достаточно широка, чтобы сделать вывод о разрешимости проблемы моментов для интервала , но для этого требовалось дать иное определение моментов.

Физическое определение момента материальной точки в соединении с обычным для физиков и математиков переходом от момента точки к моменту отрезка приводило к новому определению интеграла, тесно связанному с функциями распределения.

Таким образом, именно для того, чтобы описать в форме некоторого аналитического выражения физическое понятие момента, Стилтьес ввел новое понятие интеграла, причем последнее, как это обычно и случается в математике, оказалось имеющим более общий характер, чем исходное физическое понятие.

Он рассмотрел интеграл для случая произвольной непрерывной и произвольной возрастающей . В этих предположениях он высказал без доказательства теорему существования интеграла, отметив лишь, что оно может быть осуществлено так же, как и для определенного интеграла Римана. Затем в этих же общих приложениях он доказал одну из важнейших формул теории нового интеграла, а именно формулу интегрирования по частям. И теорему существования, и формулу интегрирования по частям мы рассмотрим в последующих главах.

 

Интегрирование по частям

Для интегралов Стилтьеса имеет место формула

(9)

в предположении, что существует один из этих интегралов; существование другого отсюда уже вытекает. Формула эта носит название формулы интегрирования по частям. Докажем её.

Пусть существует интеграл . Разложив промежуток на части , выберем в этих частях произвольно по точке , так что

Сумму Стилтьеса для интеграла

можно представить в виде

Если прибавить и опять отнять справа выражение

то перепишется так:

Выражение в фигурных скобках представляет собою стилтьесову сумму для интеграла (существование которого предположено!). Она отвечает разбиению промежутка точками деления

если в качестве выбранных из промежутков точек взять , а для промежутков и , соответственно, и . Если, как обычно, положить , то теперь длины всех частичных промежутков не превзойдут . При сумма в квадратных скобках стремится к , следовательно, существует предел и для , т.е. интеграл , и этот интеграл определяется формулой (9).

Как следствие нашего рассуждения, особо отметим тот любопытный факт, что если функция в промежутке интегрируема по функции , то и функция интегрируема по функции .

Это замечание позволяет добавить ряд новых случаев существования интеграла Стилтьеса к тем, которые были рассмотрены в п.3, переменив роли функций и .

Примеры

Вычислить по формуле (11) интегралы:

а)

б)

в)

Решение:

а)

б)

в)

Вычислить по формуле (15) интегралы:

а) где

б) где

Решение:

а) Функция имеет скачок 1 при и скачок - 2 при ; в остальных точках . Поэтому

б) Скачок 1 при и - 2 при (значение функции при не влияет на результат); в прочих точках .

Имеем:

Вычислить по формуле (15) интегралы:

а) б) в)

где

Решение:

Функция имеет скачки, равные 1, при и . Производная

Поэтому

а)

Аналогично,

б)

в)

Предположим, что вдоль отрезка оси расположены массы, как сосредоточенные в отдельных точках, так интеграл распределенные непрерывно. Не делая различия между ними, обозначим для через сумму всех масс, расположенных в промежутке ; сверх того, положим, . Очевидно, - монотонно возрастающая функция. Поставим себе задачей найти статический момент этих масс относительно начала координат.

Разобьем промежуток на части точками

На отрезке при содержится, очевидно, масса . Точно так же на отрезке содержится масса . Считая массу во всех случаях сосредоточенной, например, на правом конце промежутка, получим для искомого статического момента приближенной выражение

.

При стремлении к 0 всех , в пределе придем к точному результату:

. (16)

Можно было бы здесь сначала установить "элементарный" статический момент , отвечающий отрезку оси от до , а затем "просуммировать" эти элементы.

Аналогично для момента инерции тех же масс относительно начал найдем формулу

(17)

Важно подчеркнуть, что интеграл Стилтьеса дал возможность объединить одной интегральной формулой разнородные случаи непрерывно распределенных интеграл сосредоточенных масс!

Пусть непрерывно распределенные массы имеют линейную плотность ; кроме них пусть в точках расположены сосредоточенные массы . Тогда, исключая эти точки, функция имеет производную

В каждой же точке функция испытывает скачок, равный именно массе , в этой точке сосредоточенной.

Если теперь разложить интеграл (16) по формуле (15), то получим

Всмотревшись в правую часть, легко в первом члене узнать статический момент непрерывно распределенных масс, а во втором - статический момент сосредоточенных масс. Аналогичный результат получится интеграл для интеграла (17).

а) Составить выражение и построить график его для следующего распределения масс: массы величины 1 в точках и непрерывно распределенные массы с плотностью 2 в промежутке .

Решение:

В промежутке имеем:

б) То же самое - для такого распределения: массы величины 2 при и 4 и непрерывно распределенные массы с плотностью в промежутке .

Решение:

 

В промежутке имеем

в) выяснить распределение масс, если равна функции задачи 3).

Решение:

Массы величины 1 в точках и 0, в промежутке непрерывно распределенные массы с плотностью 1, в промежутке - массы с плотностью .

6. Рассмотрим другой вопрос, в котором интеграл Стилтьеса играет такую же роль, как интеграл в упражнении 4). Предположим, что на балку (рис) покоящуюся на двух опорах, кроме непрерывно распределенной нагрузки действуют и сосредоточенные силы. Расположим ось вдоль по оси балки, а ось вертикально вниз (см. рис) Не делая различий между действующими силами, обозначим для через сумму всех сил, приложенных на отрезке балки, включая интеграл реакции опор; далее, пусть . Силу называют перерезывающим усилием в сечении балки. При этом силы, направленные вниз, будем считать положительными, а вверх - отрицательными.

Поставим задачей определить так называемый изгибающий момент в произвольном сечении балки. Под этим разумеют сумму моментов всех сил, действующих на правую (или на левую) часть балки, относительно этого сечения. При этом, когда речь идет о правой части балки, момент считают положительным, если он вращает эту часть по часовой стрелке (для левой части - обратное правило).

Так как на элементе , скажем, правой части балки приложена сила , создающая элементарный момент

то, "суммируя" получим

Аналогично, исходя из левой части балки, можно было бы получить (учитывая изменение положительного направления для отсчета моментов)

(18)

Легко непосредственно усмотреть, что оба выражения изгибающего момента в действительности тождественны. Их равенство равносильно условию

которое является следствием из условий равновесия

выражающих равенство нулю суммы всех сил интеграл суммы моментов (относительно начала) всех сил, действующих на балку.

Если интенсивность непрерывно распределенной нагрузки обозначить через , то, исключая точки, где приложены сосредоточенные силы, будет

Пусть сосредоточенные силы приложены в точках . Тогда, очевидно, перерезывающее усилие именно в этих точках имеет скачки, соответственные равные . Далее, применяя, например, к интегралу (18) формулу (15), получим

.

В двух слагаемых правой части легко узнать моменты, порожденные порознь непрерывной нагрузкой интеграл сосредоточенными силами: интеграл Стилтьеса охватывает их единой интегральной формулой.

Установим ещё один факт, интересный для теории сопротивления материалов. Произведя в формуле (18) интегрирование по частям, получим

Отсюда ясно, что всюду, за исключением точек приложения сосредоточенных сил, имеет место равенство

Пусть балка длины несет "треугольную" нагрузку с интенсивностью ; кроме того, пусть к ней приложены сосредоточенная сила, равная 3, в точке , интеграл реакции опор, обе равные - 3 (они устанавливаются по закону рычага). Определить перерезывающее усилие интеграл изгибающий момент .

Решение:

Формула (15) может оказаться полезной интеграл для вычисления обычных интегралов (в смысле Римана). Проиллюстрируем это на следующем примере.

Пусть - "кусочно-полиномиальная" функция в промежутке ; это означает, что промежуток разлагается на конечное число частей точками

так, что в каждой из частей функция представляется полиномом не выше -й степени. Заменив значения функции и всех её производных в точках и нулями, обозначим через величину скачка -й производной в -й точке .

Пусть, далее, - любая непрерывная функция; положим

и, вообще,

Тогда имеет место следующая формула:

Действительно, последовательно находим

двойная подстановка исчезает, а интеграл

<="" div="">

width="288" height="51" border="0" />

Аналогично

и т.д.

Установим в заключение, с помощью формулы (11) одно полезное обобщение формулы интегрирования по частям для обыкновенных интегралов. Именно, если и обе абсолютно интегрируемы в промежутке , а и определяются интегральными формулами:

то справедлива формула

(19)

Для доказательства, по формуле (11) заменим интеграл слева интегралом Стилтьеса интеграл проинтегрируем по частям (п.5):

Остается ещё раз применить формулу (11) к последнему интегралу, чтобы прийти к (19).

Здесь функции и играют как бы роль производных от функций , не будучи ими на деле. При непрерывности функций и мы возвращаемся к обычной формуле интегрирования по частям, ибо тогда, наверное

Геометрическая иллюстрация интеграла Стилтьеса

Рассмотрим интеграл

(20)

предполагая функцию непрерывной интеграл положительной, а - лишь монотонно возрастающей (в строгом смысле); функция может иметь и разрывы (скачки).

Система параметрических уравнений

(21)

выражает некоторую кривую , вообще говоря, разрывную (рис). Если при некотором функция испытывает скачок, так что