Вращение вокруг оси, перпендикулярной плоскости проекций

Правило: При вращении точки вокруг оси, перпендикулярной плоскости проекций, одна ее проекция перемещается по окружности, а вторая — по прямой, перпендикулярной проекции оси вращения (рис. 106).

При вращении вокруг оси i, перпендикулярной H, точка А будет перемещаться по окружности, расположенной в горизонтальной плоскости P. Эта окружность спроецируется на плоскость H в истинную величину, а на плоскость V — в отрезок прямой, расположенный на следе P_V плоскости P (т.е. перпендикулярный i'').

Двойное вращение вокруг проецирующих осей приводит обычно к тому, что последующие построения и новая проекция накладываются на заданную проекцию, что затрудняет чтение эпюра. Этого недостатка лишен способ плоскопараллельного перемещения.

Рис. 106

Плоско-параллельное движение

Плоско-параллельное движение (ППД) представляет собой вращение без указания осей. На рис. 107 показано применение ППД для определения натуральной величины треугольника АВС.

Рис. 107

ПЕРВЫМ ПОВОРОТОМ треугольник приведен в положение А ₁ В ₁ С ₁, перпендикулярное к плоскости H. Построение выполнено с помощью фронтали А ₁, которая вращением вокруг оси, перпендикулярной к плоскости V, расположена перпендикулярно к горизонтальной плоскости проекций H (рис. 107).

Так как фронтальные проекции проецируемого объекта, вращаемого вокруг оси, перпендикулярной к плоскости проекций V, не изменяют ни своей формы, ни величины, фронтальная проекция А"В"С" отнесена параллельно самой себе на свободное место чертежа (рис. 107).

Горизонтальная проекция А'B'C ' получена путем проведения линий связи от фронтальной проекции А"В"С" и переноса глубины (координата y) каждой вершины треугольника.

ВТОРЫМ ПОВОРОТОМ вокруг оси, перпендикулярной к плоскости H, А ₁ В ₁ С ₁ приведен в положение А ₂ В ₂ С ₂, параллельное фронтальной плоскости V, при котором горизонтальная проекция А'B'C ' будет параллельна оси x.

Эта проекция отнесена на чертеже (рис. 107) вправо путем параллельного перемещения на удобное место. Проведя через точки А" ₂ В" ₂ С" ₂ линии связи (перпендикулярно оси x) и перенося высоты (координаты z) точек А, В, С, находим точки А '₂ В '₂ С '₂ Соединяя эти точки последовательно прямыми, получим треугольник А””є, являющийся натуральной величиной треугольника АВС (рис. 107).

9. ЛИНИИ И ПОВЕРХНОСТИ

План:

9.1. ЛИНИЯ

Винтовая линия

9.2. ПОВЕРХНОСТЬ

Поверхности линейчатые

Поверхности линейчатые развертывающиеся

Поверхности линейчатые неразвертывающиеся

Поверхности нелинейчатые

Поверхности параллельного переноса, вращения

Поверхности вращения

Поверхности винтовые

ЛИНИЯ

ЛИНИЯ — это множество всех последовательных положений движущейся точки.

Евклид: “Линия же — длина без ширины”.

Прямая — разновидность линии, которая получается, если движущаяся точка не изменяет направления движения.

Кривая — разновидность линии, которая получается, если движущаяся точка изменяет направление движения.

Плоские линии — линии, все точки которых принадлежат одной плоскости.

Пространственные линии (линии двоякой кривизны) — линии, все точки которых не принадлежат одной плоскости (например, линии пересечения поверхностей).

Алгебраические линии определяются алгебраическими уравнениями в декартовой системе координат (окружность, эллипс, парабола, гипербола и др.).

Трансцендентные линии описываются трансцендентными уравнениями (синусоида, спираль Архимеда и др.).

Если алгебраическое уравнение линии n ‑й степени, то алгебраическая кривая считается n ‑го порядка, то есть ПОРЯДКОМ КРИВОЙ называют наибольшую степень ее уравнения.

Геометрически порядок плоской кривой определяется наибольшим числом точек ее пересечения с прямой, лежащей в плоскости кривой, а для пространственной кривой — пересечением ее с плоскостью.

Для алгебраических кривых это число точек всегда конечно. Для трансцендентных — бесконечно. Например, для эллипса (рис. 108)

x ²/ a ² + y ²/ b ² = 1

имеем n = 2, т.е. это — кривая второго порядка.

Рис. 108 Рис. 109

Для синусоиды (рис. 109) y = sin x имеем n = ¥.

Кривые бывают закономерные и незакономерные, как, например, горизонтали на географической карте.

Винтовая линия

Пространственная кривая, широко применяемая в технике.

Цилиндрическая винтовая линия — пространственная кривая, получающаяся в результате двойного равномерного движения точки: вращения вокруг оси и поступательного движения вдоль прямой, параллельной этой оси (рис. 110).

Рис. 110

p — шаг винтовой линии или расстояние между двумя ее соседними витками в направлении, параллельном оси i. Шаг определяет величину перемещения точки в направлении оси за один оборот этой точки вокруг оси.

Проекция цилиндрической винтовой линии на горизонтальную плоскость проекций (при i ^ H) — окружность, на фронтальную плоскость проекций — синусоида.

Отрезок [1_o1_o1] — развертка цилиндрической винтовой линии.

j^o — угол подъема винтовой линии.

Цилиндрические винтовые линии бывают правые и левые. Основание для такого деления — направление движения точки, спускающейся по винтовой линии. Если проекция этого направления на плоскость, перпендикулярную к оси винтовой линии, совпадает с направлением движения часовой стрелки — винтовая линия ПРАВАЯ. В противном случае — ЛЕВАЯ.

Коническая винтовая линия — пространственная кривая, получающаяся в результате двойного равномерного движения точки: вращения вокруг оси и поступательного движения вдоль прямой, пересекающейся с этой осью (рис. 111).

Рис. 111

При i ^ H горизонтальная проекция конической винтовой линии — архимедова спираль, фронтальная — затухающая синусоида.

ПОВЕРХНОСТИ

С житейской точки зрения поверхность — внешняя сторона предметов. Так утверждают толковые словари. Евклид: “Поверхность есть то, что имеет только длину и ширину”.

В технической практике принято рассматривать образование поверхности (как и линии) с позиций кинематики — движения.

ПОВЕРХНОСТЬ — это множество последовательных положений движущейся линии — образующей.

Образующая может сохранять свою форму или изменять ее — деформироваться. Закон перемещения образующей определяется направляющими линиями, по которым скользит образующая и характером движения образующей. Например, поверхности Каталана (названы так по имени бельгийского ученого, их исследовавшего), или — поверхности с плоскостью параллелизма. Прямолинейная образующая “a” перемещается — скользит по двум направляющим — “n” и “m”, оставаясь параллельной плоскости параллелизма a.

Для изображения поверхности на чертеже, используют КАРКАС — множество линий, заполняющих поверхность так, что через каждую точку поверхности проходит в общем случае хотя бы одна линия каркаса. Проекции каркаса можно построить, если известен определитель поверхности.

ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ПОВЕРХНОСТИ — совокупность независимых условий, однозначно задающих поверхность.

Различают две части определителя:

— геометрическая часть указывает на геометрические фигуры (точки, линии, поверхности), с помощью которых образовывается поверхность; обозначается (Г);

— алгоритмическая (описательная) часть содержит указания о характере изменения образующей и законе ее перемещения; обозначается [ A ].

Таким образом, определитель пишется в следующей форме:

F(Г)[ A ]

Определитель находят, исходя из кинематического способа образования поверхности. Например, для поверхностей Каталана:

F(m,n)[ a || a]

Для задания этих поверхностей на эпюре Монжа достаточно указать проекции направляющих m и n и положение плоскости параллелизма a (рис. 112).

Рис. 112

В геометрическую часть определителя не записывают образующую a. Поверхность линейчатая (образующая — прямая линия). Поэтому априорно известно, что а — прямая.

В алгоритмической части содержится указание, что поверхность Каталана является поверхностью с плоскостью параллелизма. Поэтому в геометрическую часть определителя не записывают также и плоскость параллелизма.

Поверхности линейчатые

Линейчатые поверхности — поверхности, образующей которых является прямая. Они могут быть развертывающиеся и неразвертывающиеся.

Развертывающиеся поверхности — поверхности, которые после разреза их, например, по образующей, можно односторонне совместить с плоскостью без появления разрывов и складок (рис. 113).

Рис. 113

Неразвертывающиеся поверхности — поверхности, которые нельзя совместить таким образом с плоскостью.

У развертывающихся поверхностей смежные образующие параллельны или пересекаются.

У неразвертывающихся поверхностей смежные образующие скрещиваются.

Поверхности линейчатые развертывающиеся

Эти поверхности делятся на три вида:

— с одной направляющей и вершиной в собственной точке;

— с одной направляющей и вершиной в несобственной точке;

— с ребром возврата (торсы).

К поверхностям с одной направляющей и вершиной в собственной точке относятся коническая (направляющая — кривая) (рис. 114) и пирамидальная (направляющая — ломаная) (рис. 115).

Определитель имеет вид:

F(m)[(Sa Îm);(a ' S)],

причем “m” может быть соответственно или .

Рис. 114 Рис. 115

К поверхностям с одной направляющей и вершиной в несобственной точке относятся цилиндрическая (направляющая — кривая) (рис. 116) и призматическая (направляющая — ломаная) (рис. 117).

Рис. 116 Рис. 117

Определитель имеет вид:

F(m)[(S_¥; (a || S)],

причем “m” может быть соответственно или .

Поверхность с ребром возврата имеет одну направляющую — пространственную кривую (ребро возврата). Образующая во всех своих положениях касательна к ребру возврата (рис. 118).

Рис. 118

Определитель имеет вид:

F(m)[ a U m]

 

 

Поверхности линейчатые неразвертывающиеся

Наиболее распространены в этой разновидности поверхностей поверхности Каталана или поверхности с двумя направляющими и плоскостью параллелизма. Образующие параллельны этой плоскости. Обычно принимают, что плоскости параллелизма совпадают с одной из плоскостей проекций, т.е. a || H или a || V.

В числе поверхностей Каталана различают: цилиндроид, коноид и косую плоскость или гиперболический параболоид.

Цилиндроид образуется, когда обе направляющие — кривые. Его определитель имеет вид:

F(, )[ a || a]

Цилиндроид общего вида и пример применения этого вида поверхности для соединения двух трубопроводов одинакового диаметра, оси которых пересекаются под некоторым углом, показаны на рисунке 119 и рисунке 120.

Рис. 119 Рис. 120

Для случая (рис. 119) определитель имеет вид:

F(, )[ a || H]

Для случая (рис. 120) определитель имеет вид:

F(, )[ a || V]

Коноид образуется, когда одна направляющая — прямая, другая — кривая. Определитель имеет вид:

F(, )[ a || a]

На рисунках показаны коноид общего вида (рис. 121), коноид, у которого прямая направляющая перпендикулярна плоскости параллелизма (прямой коноид) (рис. 122) и аксонометрическая проекция, поясняющая происхождение названия “коноид”(рис. 123).

Рис. 121 Рис. 122

 

Рис. 123

Косая плоскость или гиперболический параболоид образуется, когда обе направляющие — прямые (скрещивающиеся).

Для случая (рис. 124) определитель имеет вид:

F(, )[ a || H]

Наглядное изображение косой плоскости показано на рис. 125.

Рис. 124 Рис. 125

Здесь a || H, то есть определитель имеет вид:

F(, )[ a || H]

Наглядное изображение косой плоскости при a || V показано на рис. 126

Рис. 126

Здесь m и n лежат в плоскостях, параллельных плоскости W. Определитель имеет вид:

F(, )[ a || V]

Поверхности нелинейчатые

Различают нелинейчатые поверхности с образующей переменного вида и с образующей постоянного вида.

Поверхности с образующей переменного вида имеют определитель

F(a, m)[ A, A ₁],

где a — образующая переменного вида;

m — направляющая;

A — закон перемещения образующей по направляющей;

A ₁- закон изменения формы образующей.

Примером нелинейчатой поверхности с образующей переменного вида может служить каналовая поверхность (рис. 127).

Рис. 127

Каналовая поверхность — поверхность, образованная каркасом замкнутых плоских сечений, определенным образом ориентированных в пространстве. Площади этих сечений монотонно изменяются в процессе их перемещения по направляющей.

Плоскости образующих ориентируют в инженерной практике двумя способами:

— параллельно какой-либо плоскости (каналовые поверхности с плоскостью параллелизма);

— перпендикулярно к направляющей линии (нормальные или прямые каналовые поверхности). Нормальная каналовая поверхность показана на рис.

Циклическая поверхность — частный случай каналовой (рис. 128).

Рис. 128

Она образуется окружностью, центр которой перемещается по криволинейной направляющей.

Поверхность с образующей постоянного вида имеет определитель

F(a, m)[ A ],

где a — образующая;

m — направляющая;

A — закон перемещения образующей.

Примером является трубчатая поверхность, которая получается при движении центра окружности постоянного диаметра (образующая) по криволинейной направляющей; плоскость окружности все время остается перпендикулярной к направляющей (рис. 129).

Рис. 129

По форме образующей — частный случай циклической поверхности.

По закону движения образующей — частный случай каналовой поверхности.

Трубчатая поверхность может быть получена движением сферы постоянного диаметра.