Решение произвольных систем линейных уравнений.

Пусть дана система m линейных уравнений с n неизвестными(1):

:

 

В матричной форме система (1) имеет вид АХ = В, где А= - матрица коэффициентов системы;

Х = - матрица-столбец переменных;

В = - матрица-столбец свободных членов.

Решением системы (1) называется всякий вектор , координаты которого обращают каждое уравнение системы в верное равенство.

Система уравнений, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной. Система уравнений называется несовместной, если она не имеет ни одного решения.Система уравнений называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения.Две системы называются эквивалентными, если множества их решений совпадают.

10.Теорема Кронекера-Капелли. Неоднородная система линейных уравненийсовместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы, составленной из коэффициентов при неизвестных, равен рангу расширенной матрицы. Доказательство. Необходимость. Пусть система совместна, тогда найдутся числа с ₁, с ₂, …, с _n, при подстановке которых в систему мы получим m тождеств, которые можно записать в виде одного векторного тождества:

Следовательно, вектор-столбец свободных членов является линейной комбинацией векторов-столбцов матрицы А, тогда добавление его к системе векторов-столбцов матрицы А не меняет ранга системы. Отсюда r(A)= . Достаточность. Пусть r(A)= =r. Следовательно,существует линейно независимая подсистема из r векторов-столбцов матрицы A. Она же будет содержатся и в матрице . Так как эта система максимальна, то вектор-столбец свободных членов будет выражаться через эти r векторов-столбцов. Следовательно, вектор-столбец свободных членов можно представить в виде линейной комбинации всех векторов-столбцов матрицы А, т.е. найдутся числа с ₁, с ₂, …, с _n такие, что вектор-столбец будет представлен в виде

.Следовательно, числа с ₁, с ₂, …, с _n являются решением системы, т.е. она совместна.

Метод Гаусса.

Метод Гаусса - это универсальный метод исследования и решения произвольных систем линейных уравнений. Он состоит в приведении системы к диагональному виду путем последовательного исключения неизвестных с помощью элементарных преобразований, не нарушающих эквивалентности систем. Переменная считается исключенной, если она содержится только в одном уравнении системы с коэффициентом 1.

Перейдем теперь к решению систем с различным количеством неизвестных и уравнений. Пусть дана система m линейных уравнений с n неизвестными. Если такая система совместна, то при r<n она имеет бесконечное множество решений, каждое из которых может быть получено из общего решения системы.

Для нахождения общего решения нам необходимо выбрать, какие неизвестные мы будем считать основными (базисными). Это могут быть любые r переменных, коэффициенты при которых составляют определитель, отличный от нуля. Затем выбранные основные переменные нужно выразить через свободные. Для этого с помощью элементарных преобразований необходимо расширенную матрицу системы привести к такому виду, чтобы коэффициенты при базисных переменных образовали так называемые базисные столбцы - столбцы, состоящие из нулей и одной единицы.

Решение систем линейных уравнений методом последовательного исключения неизвестных можно оформлять в виде таблицы.

Левый столбец таблицы содержит информацию об исключенных (базисных) переменных. Остальные столбцы содержат коэффициенты при неизвестных и свободные члены уравнений.

В исходную таблицу записывают расширенную матрицу системы. Далее приступают к выполнению очередной итерации:

1. Выбирают переменную , которая войдет в число базисных, и уравнение, в котором эта переменная останется. Соответствующие столбец и строку таблицы называют ключевыми. Коэффициент , стоящий на пересечении ключевой строки и ключевого столбца, называют ключевым.

2. Элементы ключевой строки делят на ключевой элемент.

3. Ключевой столбец заполняют нулями.

4. Остальные элементы вычисляют по правилу прямоугольника: составляют прямоугольник, в противоположных вершинах которого находятся ключевой элемент и пересчитываемый элемент; из произведения элементов, стоящих на диагонали прямоугольника с ключевым элементом, вычитают произведение элементов другой диагонали и полученную разность делят на ключевой элемент.