Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Вычисления с помощью двойного интеграла.
1. Объем. Напомним, что объем V тела, ограниченного сверху поверхностью z = f(x, y)(f(x, y) ³ 0), снизу – плоскостью z = 0, а сбоку – цилиндрической поверхностью, направляющей для которой служит граница области D, а образующая параллельна оси Oz, определится соотношением (7.9). 1.1. Если тело ограничено сверху поверхностью z = f1(x, y) ³ 0, снизу – поверхностью z = f2(x, y) ³ 0, причем проекцией обеих поверхностей на плоскость хОу является область D, то объем V этого тела равен разности объемов двух цилиндрических тел: оба имеют нижним основанием область D, а верхним – поверхности z = f1(x, y) ³ 0 для первого и z = f2(x, y) ³ 0 для второго, (7.10) Формула (7.10) верна и тогда, когда f1(x, y) и f2(x, y) – любые непрерывные функции, удовлетворяющие неравенству f1(x, y) ³ f2(x, y). 1.2. Если в области D функция f(x, y) меняет знак, то следует разбить область на две части: D1, где f(x, y) ³ 0 и D2, где f(x, y) £ 0. Если области D1 и D2 таковы, что двойные интегралы по ним существуют, то первый будет равен объему тела, лежащего выше плоскости хОу, а второй – объему тела, лежащего ниже плоскости хОу. 2. Площадь плоской области. Площадь области D в плоскости хОу численно равна объему рассмотренного цилиндра, ограниченного сверху в нашем случае поверхностью z = f(x, y) = 1, т.е. или, если область D правильная (7.11). 3. Площадь поверхности, заданной уравнением z = f(x, y) и ограниченной некоторой замкнутой линией С. Проекцию этой линии на плоскость хОу обозначим через L, а область, ограниченную линией L, обозначим через D. Если функция f(x, y) непрерывна и имеет непрерывные частные производные в этой замкнутой области, то искомая площадь поверхности определится выражением (7.12). С помощью двойного интеграла можно решить и целый ряд “физических” задач: вычисление массы плоских пластин с известной поверхностной плотностью r = f(x, y), момента инерции плоской фигуры и т.д. Тройной интеграл. Пусть в декартовых трехмерных координатах задана «объемная» область V, ограниченная замкнутой поверхностью S и пусть в каждой точке этой области, включая границу, определена непрерывная функция f(x, y, z). Разобьем область V произвольным образом на малые области (объемы) DVi, выберем в каждой произвольную точку Рi(xi, yi, zi) и составим интегральную сумму вида . Устремляя максимальный диаметр maxdi (и, соответственно, объем DVi) к нулю (maxdi ® 0) перейдем к пределу интегральной суммы. При условиях, перечисленных выше, этот предел существует и называется тройным интегралом:
(7.13). где dxdydz = dV элемент объема в декартовых координатах. Если f(x, y, z) ³ 0 описывает плотность распределения вещества в объеме V, то (7.13) даст массу этого вещества. Если: 1. Всякая прямая, параллельная оси Оz и проходящая через внутреннюю точку области V, пересекает поверхность S в двух точках; 2. Область V проектируется на плоскость хОу в правильную двумерную область D; 3. всякая часть области V, отсеченная плоскостью, параллельной одной из координатных обладает свойствами 1. и 2. – область V называют правильной. Введем понятие трехкратного интеграла Iv по области V от функции f(x, y, z) определенной и непрерывной в этой области. Пусть z = y1(x,y) и z = y2(x,y) уравнения поверхностей, ограничивающиx область V снизу и сверху (вместе они описывают замкнутую поверхность S), а область D – проекция V на плоскость xОу – ограничена линиями у = j1(х), у = j2(х), х = а, x = b. Трехкратный интеграл Iv определяется выражением: (7.14) При интегрировании по z переменные х и у считаем постоянными. После интегрирования по z и подстановки пределов получаем двукратный интеграл, рассмотренный в предыдущем разделе. Трехкратный интеграл обладает свойствами, аналогичными свойствам двукратного: 1. Если область V разбить на две областии V1 и V2 плоскостью, параллельной одной из координатных, то трехкратный интеграл по области V равен сумме трехкратных интегралов по областям V1 и V2. (При любом разбиении области V на конечное число V1, V2, …,Vn плоскостями, параллельными координатным, справедливо равенство: IV = IV1+ I V2+ … +IVn). 2. Если m и М – наименьшее и наибольшее значения функции f(x, y, z) в области V, то справедливо неравенство mV £ Iv £ MV, где V – объем области, Iv – трехкратный интеграл от f(x, y, z) по области V. 3. (теорема о среднем) Трехкратный интеграл Iv от непрерывной функции f(x, y, z) по области V равен произведению ее объема V на значение функции в некоторой точке Р области V:
Приведенные свойства трехкратного интеграла позволяют доказать теорему о вычислении тройного интеграла:
Тройной интеграл от функции f(x, y, z) по правильной области V равен трехкратному интегралу по этой же области: (7.15)
(Как и в случае двукратного интеграла, можно изменить порядок интегрирования, если это позволяет сделать форма области V. Можно с этой целью разбить область V на части). Если подинтегральная функция f(x, y, z) = 1, то тройной интеграл по области V дает значение ее объема (7.15`). Пример: , если область V определяется неравенствами: 0 £ х £ ½, х £ у £ 2х, 0 £ z £ (т.е. а = 0, b = ½, j1(x) = x, j2(x) = 2x, y1(x,y) = 0, y2(x,y) = , область V представляет собой часть сферы единичного радиуса с центром в начале координат, ограниченную снизу плоскостью хОу(z = 0), а «с боков» плоскостями у = х и у = 2х).
Нередко вычисление тройных интегралов значительно упрощается при переходе к цилиндрическим или сферическим пространственным координатам. В цилиндрических координатах положение точки Р определяется тремя числами r, j, z, где r и j – полярные координаты проекции точки Р на плоскость хОу, а z – аппликата точки Р. Пространственную область V разбивают на элементарные координатными поверхностями j = ji, r = rj, z = zk. Элементарный объем dV примет вид: dV = rdrdjdz, а тройной интеграл: , пределы интегрирования в соответствующем трехкратном интеграле определятся формой области V. Зная формулы связи: х = rcosj, y = rsinj, z = z несложно перейти от декартовых координат к цилиндрическим: . Пример: , если область V ограничена цилиндром х2 + у2 = 2х и плоскостями у = 0, z = 0, z = a. Перейдем к цилиндрическим координатам. Уравнение цилиндра примет вид r2cos2j + r2sin2j = 2rcosj => r2(cos2j + sin2j) = 2rcosj => r = 2 cosj. Область V определяется неравенствами: 0 £ r £ 2cosj, 0 £ j £ p/2, 0 £ z £ а и В сферических координатах положение точки Р определяется числами j, r, q, где r – расстояние точки от начала координат, q – угол между r и осью Оz и j – угол между проекцией r на плоскость хОу и осью Ох (отсчитывается, как обычно, от оси Ох против часовой стрелки). Декартовы координаты связаны со сферическими так: х = rsinqcosj, у = rsinqsinj, z = rcosq (0 £ r £ ¥, 0 £ j £ 2p, 0 £ q £ p). Элемент объема в сферических координатах dV = r2sinqdrdjdq. В итоге можем перейти от тройного интеграла в декартовых координатах к тройному интегралу в сферических координатах.
Пример: , если область V – верхняя половина шара x2 + y2 + z2 £ r2. Перейдя к сферическим координатам получим: 0 £ r £ r, 0 £ j £ 2p, 0 £ q £ p/2, x2 + y2 = r2sin2qcos2j + r2sin2qsin2j = r2sin2q и
Криволинейный интеграл. Криволинейный интеграл по длине дуги (I рода). Пусть функция f(x, y) определена и непрерывна в точках дуги L гладкой кривой, заданной уравнением у = j(х), где х Î[a, b]. Разобьем дугу L произвольным образом на n элементарных дуг точками А = А0, А1, …,Аn = В (А и В – точки начала и конца дуги L) и обозначим через Dsi длину i – ой элементарной дуги. На каждой элементарной дуге выберем произвольную точку Mi(xi, hi) и умножим значение функции f (xi, hi) в этой точке на длину Dsi соответсвующей дуги. Интегральной суммой для функции f(x, y) по длине дуги L называется сумма вида (8.1) Криволинейным интегралом по длине дуги L от функции f(x, y) называется предел интегральной суммы (8.1) при условии, что maxDsi ® 0. (8.2) ds – дифференциал дуги; n ® ¥ (при maxDsi ® 0). Кривую L называют нередко контуром интегрирования.
Этот интеграл мало отличается от рассмотренного ранее определенного интеграла (разница в том, что Dsi > 0 всегда) и, соответственно, свойства его таковы: 1. Криволинейный интеграл I рода не зависит от направления пути интегрирования, т.е. . 2. Интеграл суммы равен сумме интегралов
3. Постоянную можно выносить из под знака интеграла , где С = const. 4. Если контур интегрирования L разбит на две части L1 и L2, то (полагаем, что эти части имеют одну общую точку). Можно показать, что криволинейный интеграл I рода сводится к определенному интегралу вида , где у = j(х) (8.3.).
Пример: Вычислить , где L – отрезок прямой, соединяющей точки О(0;0) и А (1;2). Уравнение прямой примет вид у = 2х и для этой функции , откуда
Отметим, что: 1. Приведенные утверждения справедливы и в случае, если дуга L – кусочно гладкая. (Напомним, что кривая называется гладкой, если касательная к ней определена и непрерывна в каждой точке, а кусочно гладкой – кривая, состоящая из конечного числа гладких кусков). 2. Возможен (а зачастую и целесообразен) переход к полярным координатам или к параметрическому заданию функции у = j(х), упрощающий вычисление криволинейного интеграла I рода. 3. Если f(x, y) > 0, то этот интеграл численно равен массе кривой L, имеющей переменную линейную плотность j = f(x,y). (Используется для вычисления массы криволинейных конструкций, их моментов инерции и т.д.). 4. Аналогично (8.2) определяется интеграл, если дуга L есть часть пространственной кривой, в каждой точке которой задана функция, т.е. .
Криволинейный интеграл по координатам (II рода). Пусть функции f1(x, y) и f2(x, y) непрерывны в точках дуги АВ гладкой кривой, заданной уравнением у = j(х), где х Î[a, b]. Интегральной суммой для функций f1(x, y) и f2(x, y) по координатам называют сумму вида (8.4), где Dхi и Dyi – проекции элементарной дуги Ds на оси Ох и Оу. Криволинейным интегралом по координатам от выражения f1(x, y)dx + f2(x, y)dy по направленной дуге АВ называется предел интегральной суммы (8.4) пр и условии, что maxDxi ® 0 и maxDуi ® 0: (8.5)
Рассмотрим основные свойства криволинейного интеграла второго рода. 1. Криволинейный интеграл второго рода меняет знак на противоположный при изменении направления пути интегрирования: (это можно связать с тем, что в отличие от Dsi > 0, Dxi и Dyi могут быть и больше и меньше нуля).
2. Криволинейный интеграл второго рода равен сумме таких же интегралов по каждой из координат в отдельности:
. Другие свойства аналогичны свойствам интеграла первого рода. Криволинейный интеграл второго рода может быть вычислен по формуле: (8.6). Аналогичная формула используется, если требуется вычислить криволинейный интеграл второго рода по пространственной кривой . В этом случае (и во многих случаях плоской кривой) целесообразно использовать параметрическое задание кривой. Пример: , где L – дуга параболы у = х2, от точки А(–1; 1) до точки В(1; 1). у = j(х) = х2 и j`(х) = 2х. По формуле (8.6) . Криволинейный интеграл II рода численно равен работе, совершаемой переменной силой `F = `if1(x, y) + `jf2(x, y) на соответствующем криволинейном пути АВ.
Формула Грина. Это важное во многих приложениях соотношение позволяет установить связь между двойным интегралом по некоторой плоской области D и криволинейным интегралом второго рода по границе L этой области. Если функции f1(x, y) и f2(x, y) вместе со своими частными производными и непрерывны в замкнутой области D (включающей границу L), то справедливо соотношение (8.7) называемое формулой Грина. (Символ означает криволинейный интеграл по замкнутому контуру). Двойной интеграл в (8.7) вычисляется, как обычно, сведением его к двукратному. Использование (8.7) позволяет во многих случаях существенно упростить решение задачи.
Тесты
3.21. Область Д является правильной:
1) по оси Ох; 2) по оси Оу; 3) правильной.
3.22. Область Д ограничена линиями ; ; . 1) ; 2) ; 3) . 3.23. Дан . Изменив порядок интегрирования получим: 1) ; 2) ; 3) . 3.24. Объем тела, ограниченного поверхностями , , , , составит (куб.ед) 1) ; 2) 8; 3) –3; 4) . 3.25. Область V ограничена поверхностями х = 0, х = 2, у = 0, у = 3, z = 0, z = 4, 1) 696; 2) 382; 3) –154; 4) 232.
3.26. Объем тела, ограниченного поверхностями , составит (куб.ед): 1) ; 2) ; 3) . 3.27. Криволинейным интегралом I рода называют: 1) ; 2) ; 3) . 3.28. На полукубической параболе лежат точки А(3; 2 ) и В(8; ) 1) ; 2) ; 3) - . 3.29. Для криволинейного интеграла II рода справедливо: 1) = ; 2) = - ; 3.30. Отрезок соединяет точки А(1; 1) и В(3; 4). 1) ; 2) ; 3) ; 4) .
|
||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2017-02-10; просмотров: 469; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.116.21.229 (0.091 с.) |