Использование теории нечетких множеств в представлении знаний

При попытке формализовать человеческие знания исследователи столкнулись с проблемой, затруднявшей использование традициейного математического аппарата для их описания. Существует целый класс описаний, оперирующих качественными характеристиками объектов (много, мало, сильный, очень сильный и т. п.). Эти характе­ристики обычно размыты и не могут быть однозначно интерпретиро­ваны, однако содержат важную информацию.

В задачах, решаемых интеллектуальными системами, часто прихо­дится пользоваться неточными знаниями, которые не всегда могут иметь четкие значения истинности.

В начале 70-х американский математик Лотфи Заде предложил формальный аппарат нечеткой (fuzzy) алгебры и нечеткой логики. Позднее это направление получило широкое распространение и поло­жило начало одной из ветвей искусственного интеллекта под назва­нием мягкие вычисления. Л. Заде ввел одно из главных понятий в нечеткой логике — понятие лингвистической переменной.

Теория нечётких множеств (Заде) — это расширение классической теории множеств, используется в нечёткой логике. Впервые предложена Лотфи Заде

в 60-х годах XX века.

В классической теории множеств принадлежность элементов множеству оценивается в бинарных терминах в соответствии с чётким условием — элемент либо принадлежит, либо нет данному множеству. Напротив, теория нечётких множеств разрешает градуированную оценку отношения принадлежности элементов множеству; то есть это отношение описывается при помощи функций принадлежности (u— >0,1). Нечёткие множества — это расширение классической теории множеств, поскольку на некотором множестве функция принадлежности может действовать так же, как ииндикаторная функция, отображая все элементы либо в 1, либо в 0, как в классическом варианте.

Лингвистическая переменная (ЛП) — это переменная, значение ко­торой определяется набором словесных характеристик некоторого свойства.

Например, ЛП «ветер» определяется через набор {слабый, умерен­ный, сильный, очень сильный}. Значения лингвистической перемен­ной определяются через так называемые нечеткие множества.

Нечеткое множество определяется через некоторую базовую шкалу В и функцию принадлежности нечеткому множеству m(х),xÎ В, при­нимающую значения на интервале [0...1]. Таким образом, нечеткое множествo В — это совокупность пар вида (х,m(х), где ),xÎ В.

Функция принадлежности определяет субъективную степень уве­ренности эксперта в том, что данное конкретное значение базовойшкалы соответствует определяемому нечеткому множеству.

Теория нечётких множеств (Заде)— это расширение классической теории множеств, используется в нечёткой логике. Впервые предложена Лотфи Задев 60-х годах XX века.

В классической теории множеств принадлежность элементов множеству оценивается в бинарных терминах в соответствии с чётким условием — элемент либо принадлежит, либо нет данному множеству. Напротив, теория нечётких множеств разрешает градуированную оценку отношения принадлежности элементов множеству; то есть это отношение описывается при помощифункции принадлежности (u— >0,1). Нечёткие множества — это расширение классической теории множеств, поскольку на некотором множестве функция принадлежности может действовать так же, как индикаторная функция, отображая все элементы либо в 1, либо в 0, как в классическом варианте.

Нечёткое множество B, где B = {(3,0.3), (4,0.7), (5,1), (6,0.4)} в стандартных обозначениях теории нечётких множеств обычно записывается как B = {0.3/3, 0.7/4, 1/5, 0.4/6}. Заметим, что произвольное значение со степенью принадлежности нуль zero не появляется в этом выражении нечёткого множества. Стандартное обозначение для степени принадлежности нечёткому множеству B значения 6 выглядит так: μB(6) = 0.4.

Нечёткая логика

В качестве расширения многозначной логики оценками (valuations) ()) (u:Vo— >W)пропозициональных переменных (Vo) на множестве степеней принадлежности (W) может рассматриваться функция принадлежности, отображающая предикаты в нечёткое множество (или более строго, в упорядоченное множество нечётких пар, называемых нечётким отношением). Такими оценками (valuations) многозначная логика может быть расширена до того, чтобы разрешить нечёткие подстановки, из которых могут быть сделаны градуированные выводы.

Иногда это расширение называют «нечёткой логикой в узком смысле» в противопоставление «нечёткой логике в широком смысле», которая возникла в прикладных областях автоматического управления и инженерии знаний, и которая охватывает много тем, включающих нечёткие множества и «приближенные рассуждения».

Промышленные применения нечётких множеств в контексте «нечёткой логики в широком смысле» можно найти в нечёткой логике.

Нечёткое число— это выпуклое,нормализованноенечёткое множество , чья функция принадлежности по крайней мере кусочно непрерывна и имеет функциональное значение (uA(x=1))на точно одном элементе. Это можно связать с игрой в пари «предположите ваш вес», где некто предполагает вес соперников, и чем ближе предположения, тем они правильнее, а «побеждает» тот, чьи предположение веса соперников ближе остальных (будучи полностью правильным, когда функцией принадлежности равна 1).

Нечёткий интервал — это неопределенное множество со средним интервалом, чьи элементы обладают функцией принадлежности . (uA(x=1)Как и для нечётких чисел, функция принадлежности должна быть выпуклой,нормализованной и по крайней мере кусочно непрерывной.