Характеристики основных термодинамических процессов идеального газа

Характеристика процесса	Название процесса
Изохорный	Изобарный	Изотермический
Показатель политропы	∞
Уравнение процесса	V=const; P/T=const	P=const; V/T=const	T=const; PV=const
Теплоемкость. кДж/(кг·К)	Cv	Сp= Cv+R	∞
Изменение внутренней энергии ∆u1-2=u2-u1 (кДж/кг)	Сv(Т2-Т1)	Сv(Т2-Т1)
Изменение энтальпии ∆h1-2=h2-h1 (кДж/кг)	Cp(Т2-Т1)	Сp(Т2-Т1)
Изменение энтропии ∆s1-2=s2-s1 (кДж/кг)	Cvln Т2/Т1	Сpln Т2/Т1
Количество теплоты q1-2 (кДж/кг)	Cv(Т2-Т1)	Сp(Т2-Т1)
Работа изменения объема l1-2 (кДж/кг)		P(V2-V1)=R(T2-T1)
Работа техническая l’1-2 (кДж/кг)	-V(Р2-Р1)=v(P1- P2)= =R(T1-T2)		l’1-2= l1-2= q1-2= =

 

Продолжение табл. 1.3.

Характеристика процесса	Наименование процесса
Адиабатный	Политропный
Показатель политропы	k= Сp/Сv
Уравнение процесса	РV^k=const	РV^n=const
Теплоемкость. кДж/(кг·К)
Изменение внутренней энергии ∆u1-2=u2-u1 (кДж/кг)	Сv(Т2-Т1)	Сυ(Т2-Т1)
Изменение энтальпии ∆h1-2=h2-h1 (кДж/кг)	Сp(Т2-Т1)	Сp(Т2-Т1)
Изменение энтропии ∆s1-2=s2-s1 (кДж/кг)
Количество теплоты q1-2 (кДж/кг)
Работа изменения объема l1-2 (кДж/кг)
Работа техническая l’1-2 (кДж/кг)

где dS – бесконечно малое приращение энтропии системы; dQ – бесконечно малое количество тепла, полученного системой от источника тепла; T – абсолютная температура источника тепла.

Знак неравенства соответствует необратимым процессам, а знак равенства – обратимым процессам. Следовательно, аналитическое выражение второго закона термодинамики для бесконечно малого обратимого процесса имеет вид:

 

(1.118)

 

а так как согласно первому закону термодинамики:

 

 

то уравнение (1.118) принимает следующий вид:

 

 

ЭНТРОПИЯ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА

Основным уравнением для определения изменения энтропии в обратном процессе является выражение:

 

(1.119)

 

Поскольку в технической термодинамике приходится иметь дело не с абсолютным значением энтропии, а с ее изменением, отсчет значений энтропии можно вести от любого состояния. Для газов принято считать значение энтропии равным нулю при нормальных условиях, т. е. при t = 0^o C и P = 760 мм. рт. ст.

Определение энтропии для любого состояния газа при постоянной теплоемкости, отсчитанной от нормального состояния, производят по следующим формулам:

 

(1.120)

 

(1.121)

 

(1.122)

 

Изменение энтропии между двумя произвольными состояниями газа 1 и 2 при постоянной теплоемкости определяют по следующим формулам:

 

(1.123)

 

(1.124)

 

(1.125)

 

Уравнения кривых различных термодинамических процессов в системе координат Ts имеют следующий вид (при постоянной теплоемкости):

уравнение изохоры:

 

(1.126)

 

уравнение изобары:

 

(1.127)

 

Взаимное расположение изохоры и изобары показано на рис. 1.7.

Рис. 1.7. Взаимное расположение изохоры и адиабаты в координатных

осях TS

 

уравнение изотермы:

 

T = const.

 

При этом изменение энтропии в изотермическом процессе равно:

(1.128)

 

Уравнение адиабаты:

 

s = const. (1.129)

 

Изображение изотермы и адиабаты в системе координат TS и Pυ дано соответственно на рис. 1.8 и 1.9.

Рис. 1.8. Изображение изотермы в координатных осях TS

 

Рис. 1.9. Изображение адаибаты в координатных осях Pυ

 

Уравнение политропы:

 

(1.130)

 

где:

 

 

Широким распространением при решении термодинамических задач пользуется диаграмма TS. Адиабаты в этой диаграмме изображаются вертикалями, изотермы – горизонталями, изохоры и изобары идеального газа – логарифмическими кривыми.

Примеры решения задач

Примеры решения задач к разделу 1.1

1. Давление в паровом котле P = 0,4 бар при барометрическом давлении B₁ = 725 мм рт. ст.

Чему будет равно избыточное давление в котле, если показание барометра повысится до B₂ = 785 мм. рт. ст., а состояние пара в котле останется прежним?

Барометрическое давление приведено к 0⁰.

 

Решение

Абсолютное давление в котле

 

 

Избыточное давление при показании барометра В₂ = 785 мм рт. ст.

 

2. Во сколько раз объем определенной массы газа при -20⁰ С меньше, чем при +20⁰ С, если давление в обоих случаях одинаковое?

 

Решение

При постоянном давлении объем газа изменяется по уравнению (1.9):

 

 

следовательно,

 

 

3. Баллон с кислородом емкостью 20 л находится под давлением 10 МПа при 15⁰ С. После израсходования части кислорода давление понизилось до 7,6 МН/м², а температура упала до 10⁰ С.

Определить массу израсходованного кислорода.

 

Решение

Из характеристического уравнения:

 

PV = MRT

 

Имеем:

 

Следовательно, до расходования кислорода масса его составляла:

 

 

а после израсходования:

 

 

Таким образом, расход кислорода: 2,673 – 2,067 = 0,606 кг.

4. Сосуд емкостью V=10 м³ заполнен 25 кг углекислоты. Определить абсолютное давление в сосуде, если температура в нем t = 27⁰ C.

 

Решение

Из характеристического уравнения

 

PV = MRT

 

Имеем

 

 

Примеры решения задач к разделу 1.2

1. Атмосферный воздух имеет примерно следующий массовый состав: = 23,2%; = 76,8%.

Определить объемный состав воздуха, его газовую постоянную, кажущуюся молекулярную массу и парциальные давления кислорода и азота, если давление воздуха по барометру В =760 мм рт. ст.

Решение

По уравнению (1.15) получаем

 

 

 

Газовая постоянная воздуха определяется по уравнению (1.23):

 

 

Кажущаяся молекулярная масса смеси определяется из уравнения (1.21):

,

 

или из уравнения (1.24):

 

 

Отсюда:

 

 

Парциальные давления определяем из уравнения (1.26):

 

 

следовательно,

 

 

2. Смесь газов состоит из водорода и окиси углерода.

Массовая доля водорода

Определить газовую постоянную смеси и ее удельный объем при нормальных условиях.

 

Решение

Из уравнения (1.23):

 

 

Удельный объем газовой смеси найдем из характеристического уравнения Pυ = RT:

 

 

Примеры решения задач к разделу 1.3

1. Воздух в количестве 6м³ при давлении р₁=3 бар и температуре t₁ = 25^o C нагревается при постоянном давлении до t₂= 130^о С.

Определить количество подведенного к воздуху тепла, считая с = const.

Для данного случаяиспользуем формулу (1.69):

 

 

Масса газа определится из уравнения (1.5):

 

 

а объем газа при нормальных условиях – из уравнения (1.11):

 

На основании формул (1.27) и (1.28) и табл. 1.3 имеем:

 

 

 

Следовательно,

 

,

 

или:

 

Примеры решения задач к разделу 1.4

1. В котельной электрической станции за 20 ч работы сожжены 62 т каменного угля, имеющего теплоту сгорания 28900 кДж/кг (6907 ккал/кг).

Определить среднюю мощность станции, если в электрическую энергию превращено 18% тепла, полученного при сгорании угля.

Решение

Количество тепла, превращенного в электрическую энергию за 20 ч работы:

 

 

Эквивалентная ему электрическая энергия или работа:

 

 

Следовательно, средняя электрическая мощность станции:

 

 

2. Паросиловая установка мощностью 4200 кВт имеет к.п.д.

Определить часовой расход топлива, если его теплота сгорания:

Решение

По формуле (1.54):

 

отсюда:

 

Часовой расход топлива составит:

 

G=

Примеры решения задач к разделу 1.5

1. В закрытом сосуде заключен газ при разрежении P₁=50 мм. рт. ст. и температуре t₁= 70^o C. Показание барометра – 760 мм. рт. ст.

До какой температуры нужно охладить газ, чтобы разрежение стало равным P₂ = 100 мм. рт. ст.?

 

Решение

Так как процесс происходит при V=const, то согласно формуле (1.61):

 

 

Подставляя значения, получаем:

 

отсюда:

 

2. В закрытом сосуде емкостью содержится воздух при давлении и температуре В результате охлаждения сосуда воздух, содержащийся в нем, теряет 105 кДж.

Принимая теплоемкость воздуха постоянной, определить, какое давление и какая температура устанавливается после этого в сосуде.

 

Решение

Пользуясь уравнением состояния, определяем массу воздуха в сосуде:

 

 

Количество тепла, отводимого от воздуха в процессе, определяется уравнением (1.63):

 

откуда:

 

Значение полученно из выражения (для двухатомных газов).

Из соотношения параметров в изохорном процессе:

 

.

Имеем:

 

 

3. 1 кг воздуха при температуре и начальном давлении сжимается изотермически до конечного давления

Определить конечный объем, затрачиваемую работу и количество тепла, отводимого от газа.

Решение

Определяем начальный объем воздуха из уравнения состояния:

 

 

Так как в изотермическом процессе:

 

 

то конечный объем

 

Работа, затрачиваемая на сжатие 1 кг воздуха, получается из уравнения (1.73):

 

 

Количество тепла, отводимого от газа, равно работе,

 

 

4. 1 кг воздуха при начальной температуре и давлении сжимается адиабатно до конечного давления

Определить конечный объем, конечную температуру и затрачиваемую работу.

Решение

Из соотношения параметров в адиабатном процессе по уравнению (1.82) находим:

 

 

откуда:

 

 

Принимая k = 1,4, получаем:

 

 

Затраченная работа по уравнению (1.85):

 

 

Конечный объем определяется из уравнения состояния:

 

 

5. 1 кг воздуха при P₁ = 5 бар и t₁ = 111^o C расширяется политропно до давления P₂ = 1 бар.

Определить конечное состояние воздуха, изменение внутренней энергии, количество подведенного тепла и полученную работу, если показатель политропы n = 1,2.

 

Решение

Определяем начальный удельный объем воздуха:

 

 

Конечный удельный объем воздуха находим из уравнения (1.96):

 

 

Конечную температуру проще всего найти из характеристического уравнения:

 

 

Величину работы находим из уравнения (1.102):

 

 

Изменение внутренней энергии:

 

 

Количество тепла, сообщенного воздуху, по уравнению (1.109):

 

 

9. 1,5 кг воздуха сжимают политропно от P₁ = 0,9 бар и t₁ =18^o C до P₂ = 10 бар; температура при этом повышается до t₂ = 125^o C.

Определить показатель политропы, конечный объем, затраченную работу и количество отведенного тепла.

 

Решение

По формуле (1.115):

 

отсюда:

 

 

Конечный объем определяем из характеристического уравнения:

.

 

Затраченная работа по уравнению (1.107):

 

 

Количество отведенного тепла по уравнению (1.110):

 

 

Примеры решения задач к разделу 1.6

1. Определить энтропию 1 кг кислорода при P=8 бар и t=250^о С.

Теплоемкость считать постоянной.

 

Решение

По формуле (1.121):

 

 

Так как для двухатомных газов , а

R = 8,314 кдж/(кмоль град), то:

 

 

.

 

2. 1 кг кислорода при температуре t₁ = 127^o C расширяется до пятикратного объема; температура его при этом падает до t₂ = 27^o C.

Определить изменение энтропии. Теплоемкость считать постоянной.

 

Решение

По уравнению (1.123):

 

 

3. 10 м³ воздуха, находящегося в начальном состоянии при нормальных условиях, сжимают до конечной температуры 400^о С. Сжатие проводится: 1) изохорно, 2) изобарно, 3) адиабатно и 4) политропно с показателем политропы n = 2,2.

Считая значение энтропии при нормальных условиях равным нулю и принимая теплоемкость воздуха постоянной, определить энтропию воздуха в конце каждого процесса.

 

Решение

Находим массу 10 м³ воздуха при нормальных условиях:

 

 

Определяем изменение энтропии в каждом из перечисленных процессов:

1) Изохорное сжатие:

 

2) Изобарное сжатие:

 

 

3) Адиабатное сжатие:

 

 

4) политропное сжатие:

 

.

 

1.8. Контрольные задания к разделу 1

Контрольные задания к разделу 1.1-1.2

1*. Разрежение в газоходе парового котла, измеряемое тягомером, равно Р мм вод. ст. Определить абсолютное давление газов, если показание барометра 730 мм рт. ст., и выразить его в МПа.

2*. Объемный состав газообразного топлива следующий: H₂, %, CH₄, %. Определить среднюю молекулярную массу и газовую постоянную смеси.

№ задачи	Значение	№ варианта
	Р, мм вод. ст.
	r(Н2), % r(СН),%
	P, бар		6,5		7,5		8,5		9,5		10,5
	t ^0С
	t ^0С
	t ^0С d, м	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9		1,1	1,2	1,3	1,4
	n1, кг n2, кг
	G, кг/ч
	P, ат

3*. Определить массу 5 м³ водорода 5 м³ кислорода и 5 м³ углекислоты при давлении P бар и температуре 100⁰ С.

4*. Какова будет плотность окиси углерода при t⁰ С и 710 мм рт. ст., если при 0⁰ C и 760 мм рт. ст. она равна 1,251 кг/м³?

5*. Дымовые газы, образовавшиеся в топке парового котла, охлаждаются с t⁰ С до 250⁰ С. Во сколько раз уменьшается их объем, если давление газов в начале и конце газоходов одинаково?

6**.. В цилиндрическом сосуде диаметром d м; и высотой h=2,4 м находится воздух при t ⁰С, давление воздуха P_max=0,865 МПа, Р_бар=101858 Па. Определить массу воздуха в сосуде и плотность.

7**. В резервуаре объемом 10 м³ находится газовая смесь, состоящая из n₁ кг кислорода и n₂ кг азота. Температура смеси равна 27 °С. Определить парциальные давления компонентов смеси.

8**. Определить диаметр воздуховода для подачи G кг/ч воздуха при абсолютном давлении 1,15 бар, если температура этого воздуха 22° С. Скорость воздуха в воздуховоде равна 8 м/с.

9***. Поршневой компрессор всасывает в минуту 3 м³ воздуха при t = 17° С и барометрическом давлении Р_бар = 750 мм рт. ст. и нагнетает его в резервуар, объем которого равен 8,5 м³. За какое время (в мин) компрессор поднимет давление в резервуаре до значения Р, если температура в резервуаре будет оставаться постоянной? Начальное давление в резервуаре было 750 мм рт. ст., а температура равнялась 17° С.

 

Контрольные задания к разделу 1.3-1.4

1*. Воздух охлаждается от t₁ ⁰C до t₂=100⁰ C в процессе с постоянным давлением. Какое количество теплоты теряет 1 кг воздуха, считая теплоемкость постоянной.

2*. В закрытом сосуде объемом V находится воздух при давлении Р₁=0,8 МПа и температуре t₁=20⁰ С. Какое количество теплоты необходимо подвести для того, чтобы температура воздуха поднялась до t₂=120⁰ С?

3**. Найти часовой расход топлива, который необходим для работы паровой турбины мощностью 25 МВт, если теплота сгорания топлива МДж/кг и известно, что на превращение тепловой энергии в электрическую используется только 35% теплоты сожженного топлива.

4**. Определить изменение внутренней энергии 2 м³ воздуха, если температура его понижается от . Начальное давление воздуха абсолютное

5**. В сосуд, содержащий 5 л воды при температуре 20^о С, помещен электронагреватель мощностью N Вт. Определить, сколько времени потребуется, чтобы вода нагрелась до температуры кипения 100^о С. Потерями теплоты в окружающую среду пренебречь.

6**. В закрытом сосуде объемом V = 300 л находится воздух при давлении P₁ бар и температуре t₁ = 20 .

Какое количество тепла необходимо подвести для того, чтобы температура воздуха поднялась до t₂ = 120 ?

Задачу решить, принимая теплоемкость воздуха постоянной.

7***. Продукты сгорания топлива поступают в газоход парового котла при температуре газов t_г = 1100° С и покидают газоход при температуре газов t_г^’ = 700° С. Объемный состав газов следующий: r(CO₂) = 11 %, r(O₂) = 6%, r(H₂O) %, r(N₂) %. Определить, какое количество теплоты теряет 1 м³ газовой смеси, взятой при нормальных условиях.

 

		№ варианта
№ Задачи	Значение
	t1 ^0С
	V, л
	, МДж/кг
	t1, ^0С
	N, Вт
	P1, бар		3,2	3,4	3,6	3,8		4,2	4,4	4,6	4,8
	r(H2O),% r(N2), %

 

Контрольные задания к разделу 1.4-1.6

1**. Какое количество теплоты необходимо затратить, чтобы нагреть V м³ воздуха при постоянном избыточном давлении P = 2 ат. от t₁ = 120° C до t₂ = 450° C? Какую работу при этом совершит воздух?

Атмосферное давление принять равным 750 мм рт. ст.

2**. В закрытом сосуде заключен газ при разрежении (P₁)_в = 6,7 кПа и температуре t₁ ^oC. Показания барометра – 742 мм рт. ст. До какой температуры нужно охладить газ при том же атмосферном давлении, что бы разрежение стало (P₂)_в =13,3 кПа?

3**. В установке воздушного отопления внешний воздух при t₁= –15° C нагревается в калорифере при P = const до 60° C. Какое количество теплоты надо затратить для нагревания V м³ наружного воздуха? Давление воздуха считать равным 755 мм рт. ст. Теплоемкость воздуха считать постоянной.

4**. Найти внутреннюю энергию, энтальпию и энтропию 1 кг азота, если температура его равна t °С, а давление (абсолютное) 0,6 МПа. Теплоемкость считать не зависящей от температуры.

5**. Воздух в количестве M кг при температуре t = 27° C изотермически сжимается до тех пор, пока давление не становится равным 4 МПа. На сжатие затрачивается работа L= –6 МДж. Найти начальные давление и объем, конечный объем и теплоту, отведенную от воздуха.

6**. Воздух при температуре t₁ = 20° C должен быть охлажден посредством адиабатного расширения до температуры t₂ °C. Конечное давление воздуха при этом должно составлять 0,1 МПа. Определить начальное давление воздуха P₁ и работу расширения 1 кг воздуха.

7**. В процессе политропного расширения воздуха температура его уменьшилась от t₁ °С до t₂ = -37° С. Начальное давление воздуха P₁ = 4 бар, количество его M = 2 кг.

Определить изменение энтропии в этом процессе, если известно, что количество подведенного к воздуху тепла составляет 89,2 кДж.

8**. Какое количество тепла необходимо затратить, чтобы нагреть 2 м³ воздуха при постоянном избыточном давлении P= 2 бар от t₁ = 100° С до t₂ °С? Какую работу при этом совершит воздух?

9***. Уходящие газы котельной установки проходят через воздухоподогреватель. Начальная температура газов tг₁ = 300° C, конечная tг₂ = 160° C; расход газов равен G кг/ч. Начальная температура воздуха составляет tв₁ = 15 °C, а расход его равен 800 кг/ч. Определить температуру нагретого воздуха tв₂, если потери тепла в воздухоподогревателе составляет 4 %. Средние теплоемкости (C_pm) для газов и воздуха принять соответственно равными 1,0467 и 1,0048 кДж/(кгּК).

10***. Рабочим телом газотурбинного двигателя является смесь идеальных газов. Массовый состав смеси m следующий: m(CO₂) = 20 %, m(O₂) = 8 %, m(H₂O) %, m(N₂) %. При прохождении через газовую турбину температура потока газовой смеси снижается с t₁ = 1200° C до t₂ = 400° C. Определить техническую работу газовой турбины в расчете на 1 кг рабочего тела, пренебрегая теплообменом в окружающую среду и зависимостью теплоемкости от температуры.