Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Изучение свободных колебаний в электрическом контуре
ЦЕЛЬ РАБОТЫ
2. Исследовать влияние величин электроемкости и индуктивности на период колебаний в контуре с малым сопротивлением. 3. Установить характер зависимости логарифмического декремента затухания колебаний от сопротивления контура.
КРАТКАЯ ТЕОРИЯ Исследуемый контур состоит из конденсатора электроемкостью С, катушки с индуктивностью L и резистора, имеющего сопротивление R. Схема соединения элементов электрической цепи приведена на рисунке 1.
Простой контур, который здесь рассматривается, является электрической цепью со сосредоточенными параметрами. Это означает, что электроемкость С сосредоточена в одном месте (конденсаторе), а индуктивность L и сопротивление R- в других местах контура (в катушке и в резисторе). Электрическими колебаниями в таком случае выступают повторяющиеся изменения электрических величин, характеризующих процессы в элементах контура. В конденсаторе, например, изменяются со временем следующие величины: заряд q и напряжение между обкладками а также характеристики электрического поля конденсатора. Электрические колебания (процессы) происходят во всех элементах цепи согласованно. А именно так, что мгновенные значения силы тока i одни и те же в любом месте контура. Подобное имеет место в цепи постоянного (стационарного) тока. Поэтому электрические процессы в колебательном контуре называются квазистационарными «квази»- приставка, означающая «якобы, как будто». Квазистационарные процессы также подчиняются закону Ома, что и постоянный ток. Для математического описания электрических процессов в контуре применим 2 закон Кирхгофа: «Сумма падений напряжения в контуре равна сумме действующих в нем ЭДС». В колебательном контуре имеются два падения напряжения: на конденсаторе , равное q/c, и на сопротивлении, равное iR. Использование закона Кирхгофа предполагает выбор направления тока в контуре. Такой выбор уже сделан на рисунке 1. В этом случае напряжение на конденсаторе противоположно по знаку падению напряжения на сопротивлении и 2-й закон Кирхгофа запишется в виде: (1)
Сила тока по определению связана с зарядом конденсатора соотношением:
или - так обозначается производная по времени. Подставив выражения для тока i и напряжения в формулу (1), получим дифференциальное уравнение в виде:
После введения обозначений оно принимает вид:
В качестве решения этого дифференциального уравнения второго порядка рассмотрим вначале функцию: (3) в которой , , , будем называть пока просто постоянными величинами. Первая и вторая производные этой функции равны
Подставив выражения производных в уравнение(2) сократив на множитель , получим
где равенство нулю возможно для всех значений t тогда, когда коэффициенты при cos-е и sin-е равны нулю, поэтому имеем: (4) Итак, функция является решением дифференциального уравнения (2) и называется уравнением затухающих колебаний. Амплитуда заряда на конденсаторе убывает со временем. Быстрота убывания определяется величиной , которую называют коэффициентом затухания. Круговая частота затухающих колебаний определяется формулой (4). Так как есть действительное число и не может быть отрицательным, то затухающие колебания имеют место только при условии (см.4):
(5)
Наконец, постоянные величины и определяются начальными условиями. Если, например, вначале при разомкнутом контуре конденсатор заряжен ( - величины заряда), а потом соединен с катушкой и резистором, то начальная фаза колебаний равна нулю, то есть =0. На рисунке 2 показаны графики затухающих колебаний в одном электрическом контуре при двух значениях коэффициента затухания. Причем, , а величины и одинаковы. Пунктиром изображена зависимость амплитуды заряда от времени. Эта зависимость называется еще экспоненциальной.
Теперь обратим внимание на такие особенности колебательного процесса с затуханием, которые на рисунке заметить нельзя. Для этого найдем уравнение колебаний тока в контуре, приняв уравнение колебаний заряда в виде . Так как , то после дифференцирования получим:
Записав слагаемое как и складывая оба слагаемых выражения в скобках с помощью векторной диаграммы, получим уравнение колебаний тока в виде: (6)
где (см. соотношение 4), а есть сдвиг фаз между колебаниями заряда и тока.
Полученный результат приводит к следующим заключениям: 1. Амплитуда тока в начальный момент времени не зависит от характеристик затухания. 2. В контурах с малым сопротивлением R и достаточно большой частотой реализуется неравенство: . Это случай слабого затухания, величина сдвига фаз Ψ стремится к - (). Например, для графиков (рисунок 2) отношения составляет 0,03 и 0,064. Соответственно этому Ψ отличается от на . 3. Затухание влияет на частоту только во втором порядке. Полученная ранее формула (4) позволяет рассчитать относительную разницу величин с помощью соотношения: (7)
При отношении =0,03 будет =0,02%, а при =0,064 отличие частот составит 0,2%. На рисунке 2 оба колебания выглядят как колебания, имеющие одинаковые частоты. В результате при слабом затухании уравнения колебаний заряда и тока можно приближенно записать так: (8)
Отметим, что период колебаний определяется в этом случае известной формулой Томсона: . Точное же значение периода затухающих колебаний (в соответствии с формулой (4)) равно (9) Вернемся еще раз к экспоненциальной зависимости , изображенной на рисунке 2, чтобы рассказать о других важных характеристиках затухающих колебаний и дать им физическое объяснение. Непрерывное рассеяние энергии на сопротивлении приводит к тому, что наибольший заряд конденсатора уменьшается с каждым периодом колебаний, именно: N- число колебаний. Этим амплитуды колебаний образуют убывающую геометрическую прогрессию. А это означает, что отношение величины каждого максимума к последующему (t+T) одинаково. Безразмерная величина, равная натуральному логарифму отношения амплитудных значений, отстоящих по времени на период колебания, называется логарифмическим декрементом затухания: (10) С логарифмическим декрементом затухания связана (обратно пропорциональной зависимостью) еще одна характеристика затухающих колебаний - добротность Q. (Не путать с зарядом q). Она определяется следующим образом: , (11) то есть, чем меньше затухание, тем больше добротность. Для того, чтобы выявить смысл характеристик затухания, введем понятие времени релаксации . Это такой промежуток времени, в течение которого амплитуда колебаний уменьшается в раз ( 2,718- основание натуральных логарифмов). Заменив t на в выражении , получим , откуда . Говорят - это величина, обратная времени релаксации . Связь коэффициента затухания и логарифмического декремента получают из формулы определения последнего (10): (Т- период колебаний). В случае слабого затухания можно выразить логарифмический декремент затухания через параметры контура (12) В качестве меры затухания можно использовать также число - число колебаний, совершающихся в контуре за время, равное времени релаксации . При малом затухании время больше периода колебаний. Поэтому имеем: так как
Таким образом, логарифмический декремент затухания есть величина, обратная числу колебаний, по происшествии которых амплитуда уменьшается в раз. Добротность же прямо пропорциональная числу . Для колебания на рисунке 2 (с коэффициентом затухания ) добротность равна Q=18. Исходя из формул (11) и (12), можно получить формулу зависимости добротности от параметров контура при слабом затухании:
(13) Полная картина поведения электрического контура не ограничивается только затухающими колебаниями. В контуре с сильным затуханием (большим сопротивлением R) колебаний заряда нет, есть только монотонное убывание с течением времени. Не будем рассматривать соответствующие решения дифференциального уравнения (2). Заметим только, что специальный случай «критического затухания» имеет место при сопротивлении R, равном , в котором величину называют критическим сопротивлением контура. Эта последняя формула подтверждает общую особенность, выражающуюся в том, что все рассмотренные выше характеристики процессов в колебательном контуре имеют связи с численными значениями параметров контура R, L и С. Исследования, проводимые в этой работе, имеют целью проверить некоторые из них.
ПОДГОТОВКА К ВЫПОЛНЕНИЮ РАБОТЫ 1. Вписать формулы, определяющие зависимость периода Т затухающих колебаний от параметров контура R, L, С. 2. Вывести формулу зависимости логарифмического декремента затухания от параметров контура в случае слабого затухания колебаний. 3. Рассчитать величины периода колебаний Т и логарифмического декремента затухания по формулам, найденным в п.1 и 2, приняв в качестве примера следующие значения параметров: R=15 Ом, L=20 мГн, С=20 нФ. Данные могут быть изменены преподавателем. 4. Ознакомиться с заданием лабораторного исследования (см. ниже) и составить таблицы записи результатов измерений и расчетов таким образом, чтобы можно было сравнить экспериментальные и расчётные данные.
ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ Электрическая цепь собрана по схеме, изображенной на рисунке 1. Колебания возбуждаются в контуре благодаря зарядке конденсатора от источника однополупериодного переменного тока с частотой 50 Гц. Затухающие колебания напряжения на конденсаторе подаются на клеммы вертикального усиления осциллографа (рисунок 3). При этом частоту развертки электрического сигнала осциллографом устанавливают примерно такой же, что и частота зарядки С. В качестве элементов колебательного контура используются наборы конденсаторов, катушек индуктивности и сопротивлений (резисторов). Присоединение каждого элемента набора производится с помощью кнопочного выключателя. Для включения элементов R,L, С в цепь контура нужно нажать соответствующие кнопки и зафиксировать их в «утопленном состоянии».
Рисунок 4 Значения сопротивления R, электроемкости С и индуктивности L для каждого положения кнопочных выключателей составляет отдельную таблицу. Таблица выдается на рабочее место при выполнении работы. Основные измерения проводятся с помощью осциллографа. Осциллограмма напряжения выглядит так, как показано на рисунке 4, то есть подобна графику колебаний заряда на конденсаторе из рисунка 2 (). Время по горизонтальной оси можно рассчитать. Для этого поверх экрана нанесена прямоугольная сетка, калиброванная в единицах времени (мс или мкс). Назовем временную длительность одного квадрата сетки по горизонтали ценой деления развертки и обозначим ее . Тогда время t, в течение которого происходят N колебаний, будет равно , где n- число квадратов сетки, в пределах которых укладываются эти N колебаний. На рисунке 4 видно, что для N=3, то есть для трех периодов Т, число n равно 12. Величину отсчитывают непосредственно на панели осциллографа. С основными органами управления осциллографом следует ознакомиться перед началом измерений.
ЗАДАНИЯ НА ЛАБОРАТОРНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ И РАСЧЕТЫ Задание 1 Определить сопротивление проводов намотки катушек индуктивности. 1. Включить источники напряжения и осциллограф. 2. Ввести в цепь контура конденсатор и наименьшей электроемкостью С, катушки индуктивности с индуктивностью в пределах L= (10÷100) мГн. Набор сопротивлений оставить выключенным. При этом цепь контура будет замкнутой, а сопротивление равно провода намотки включенных катушек индуктивности. 3. Получить на экране осциллографа такую осциллограмму, в которой можно выделить две амплитуды колебаний U, отличающиеся (по вертикальным делениям сетки) в 2,7 раза (число ). Затем отсчитывают интервал времени, разделяющий эти две амплитуды. В горизонтальных делениях сетки интервал равен – цена деления, n- число делений). А по смыслу затухания колебаний- это время релаксации . Итак, . 4. Используя обратную зависимость времени релаксации и коэффициента затухания: и обозначение в уравнении (2), получим формулу для расчета сопротивления : . Вычисления выполнить в системе единиц СИ.
Задание 2
|
||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2017-02-10; просмотров: 499; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.149.233.72 (0.038 с.) |