Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Вычисление площадей плоских фигур
Площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции у = f (x) (f (x) ≥ 0), слева и справа соответственно прямыми x = a и x = b, снизу – отрезком [ a; b ] оси Ох, вычисляется по формуле S = . Если f (x) ≤ 0 при х [ a; b ], то S = . Площадь фигуры, ограниченной кривыми у = f (x) и у = g (x), причем f (x) ≥ g (x), прямыми x = a и x = b вычисляется по формуле S = .
Пусть криволинейная трапеция ограничена кривой х = f (у), прямыми у = с, у = d и отрезком [ с; d ] оси Оу. Тогда площадь этой трапеции вычисляется по формуле S = . Если криволинейная трапеция ограничена сверху кривой, заданной параметрическими уравнениями , y (t) ≥ 0, t [ t 1; t 2], прямыми x = a и x = b и отрезком [ a; b ] оси Ох, то ее площадь вычисляется по формуле S = , где t 1 и t 2 определяются из равенств a = x (t 1), b = x (t 2).
Площадь криволинейного сектора, ограниченного кривой заданной в полярных координатах уравнением r = r (φ) идвумя лучами φ = α и φ = β, вычисляется по формуле S = . Замечание. Площадь всякой плоской фигуры может быть составлена из площадей криволинейных трапеций (секторов) .
Пример 1. Найти площадь фигуры, ограниченной кривой y = sin x, прямыми х = – π, х = , у = 0. S = – + = –cos + cos – – cos = 1 – + 1 + 1 – + 1 = (8 – – ). Задание для самостоятельного решения Вычислить площади фигур, ограниченных линиями: 1) у = х 2, у = – 9 х. 2) y = arccos x, x = – 1, x = 0, y = 0. 3) y = tg 2 x, x = π /4, y = 0.
Пример 2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y = – x 2 + 5 х – 6 и y = x 2 – 6.
Найдем абсциссы точек пересечения графиков данных функций. Для этого решим систему уравнений . Находим: х 1 = 0, х 2 = 2,5. Т.о. S = = = = .
Задание для самостоятельного решения
Вычислить площади фигур, ограниченных линиями: 1) у = sin x, у = 2sin х, x = 0, у = 7/4 π. 2) y = x 2, x = 1/ x 2, y = 0, x = 0, x = 3. 3) y 2 = 2 x + 1, y = x – 1. 4) y = – x 2 + 3 x + 6, y = x 2 – x + 1. 5) y = x 2, y = 2 x, y = x. 6) y = x 2 – 2 x + 3, y = 3 x – 1. 7) y = x 3 – 3 x, y = x. Пример 3. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y 2= x 3, y = 8, х = 0. S = = = = . Искомую площадь можно найти как разность прямоугольника ОАВС и трапеции ОВС: S = 4 ∙ 8 – = 32 – = 32 – = . Задание для самостоятельного решения
Вычислить площади фигур, ограниченных линиями:
1) у = arcsin x, πx = 2 y. 2) xy = 8, y = 8 x 3, y = 27. 3) y 2 = (4 – x) 3, x = 0. 4) (y – x) 2 = x 3, x = 1. Пример 4. Найти площадь фигуры, ограниченной астроидой x = a cos3 t, y = a sin3 t.
Найдем сначала четвертую часть искомой площади: S = = = = = – a 2 = 3 a 2 = 3 a 2 = 3 a 2 = = a 2 = a 2 = = a 2 = a 2 = a 2 ∙ = . Значит, S = .
Пример 5. Найти площадь фигуры, ограниченной «трехлепестковой розой» r = a sin3 φ. S = = a 2 = = = = = . Значит, S = .
Пример 6. Найти площадь фигуры, ограниченной кардиоидой r = a (1 – cos φ) и окружностью r = a.
Найдем точки пересечения кардиоиды с окружностью. Для этого решим сис- тему уравнений и получим две точки: А 1 и А 2 . Половина искомой площади равна сумме площадей криволинейных секторов Om А 1 O и OА 1 n O. В первом секторе полярный угол изменяется от 0 до π /2, а во втором – от π /2 до π. Т.о. S = S 1 + S 2 = + = a 2 + a 2 = = + = + = .
|
||||||||||||||||||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2017-02-10; просмотров: 357; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.226.222.12 (0.046 с.) |