Алгебраическое уравнение первого порядка общего вида

описывают простейшую по геометрической форме поверхность – плоскость, которая является бесконечной. Уравнение описывает любое положение плоскости в пространстве. Коэффициенты уравнения определяют ориентацию плоскости (поворот) относительной осей прямоугольной системы координат и смещение (расстояние) плоскости от начала системы координат по нормали плоскости.

Решением уравнения являются значения координат (x,y,z) точек, лежащих на плоскости. Число таких точек бесконечно.

Две плоскости, расположенные в пространстве, могут иметь по отношению друг другу три возможных положения: сливаться (коэффициенты одного уравнения равны коэффициентам другого уравнения соответственно или могут быть приведены к этому положению путем общего множителя или делителя), быть параллельными (отличаются только коэффициенты a ₀) и пересекаться (любые другие комбинации).

При пересечении две плоскости дают прямую линию. Точки линии пересечения принадлежат обеим плоскостям. Найти значения точек линии пересечения двух плоскостей возможно путем решения системы, состоящей из двух уравнений плоскостей. Число таких решений бесконечно.

При пересечении три плоскости дают точку, которая принадлежит трем плоскостям. Для нахождения точки пересечения необходимо решить систему, состоящую из трех уравнений плоскостей. Решение такой системы единственное.

Путем пересечения плоскостей в пространстве можно построить и описать бесконечное число гранных тел.

Рассмотрим описание куба (рис.1.9), с центром, размещенном в начале системы координат, и размером ребра 100 мм.

 

 

 

Рис. 1.9

Так как куб имеет шесть граней, то необходимо записать систему уравнений из шести плоскостей.

(уравнение левой грани куба, отстоящей влево по оси x от начала системы координат на 50 мм, грань с вершинами 1,2,3,4),

(уравнение правой грани куба, отстоящей вправо по оси x от начала системы координат на 50 мм, грань с вершинами 5,6,7,8),

(уравнение передней грани куба, отстоящей на нас по оси y от начала системы координат на 50 мм, грань с вершинами 1,5,8,4),

(уравнение задней грани куба, отстоящей от нас по оси y от начала системы координат на 50 мм, грань с вершинами 2,6,7,3),

(уравнение верхней грани куба, отстоящей вверх по оси z от начала системы координат на 50 мм, грань с вершинами 1,2,6,5),

(уравнение нижней грани куба, отстоящей вниз по оси z от начала системы координат на 50 мм, грань с вершинами 4,3,7,8).

Так как грани куба расположены параллельно плоскостям системы координат, то в приведенных уравнениях .

Для нахождения координат вершины 1, которая образуется пересечением трех граней (1,2,3,4 - 1,5,8,4 - 1,2,6,5) необходимо решить систему

,

Получаем координаты вершины 1 (-50, 50, 50). Подобным образом находим координаты всех остальных вершин.

Далее определяем ребра. Имеем 12 ребер, которые выделяем по вершинам (1-2, 2-6, 6-5, 5-1, 1-4, 2-3, 6-7, 5-8, 4-3, 3-7, 7-8, 8-4).

Для определения любой точки ребра необходимо решать систему уравнений двух плоскостей, которые образуют ребро. Например, для ребра 1-2 (грани 1,2,3,4 и 1,2,6,5) следующие уравнения

.

При фиксированных значениях x = -50 и z = 50 y может принимать любые значения в промежутке от вершины 1 до вершины 2 (-50< y < 50). Например, точка (-50, 30, 50) лежит на ребре 1-2.

Для нахождения любой точки грани необходимо в уравнение грани подставлять значения переменных (x,y,z), в соответствующих пределах. Например, на верхней грани (1,2,6,5) уравнение все точки будут иметь z = 50, а x и y могут иметь значения от –50 до 50.

Таким образом, запись геометрической модели куба с размером ребра 100 мм и с центром в начале системы координат имеет следующий вид

; ; ; ; ; ; ; (-50< x < 50); (-50< y < 50); (-50< z < 50).

В компьютерной алгебраической модели в определенном порядке записываются числовые значения коэффициентов уравнений и числовые значения ограничения переменных.