Обработка косвенных рядов измерений

 

Косвенные измерения — это измерения, при которых искомое значение Y находят на основании известной зависимости

,

где X₁, X₂,..., X_m - значения, полученные при прямых измерени­ях. По виду функциональной зависимости они делятся на две основные группы — линейные и нелинейные. Для линейных кос­венных измерений математический аппарат статистической обра­ботки полученных результатов разработан детально. Обработка ре­зультатов косвенных измерений производится, как правило, методами, основанными на раздельной обработке аргументов и их погрешностей, линеаризации, приведения, перебора.

Первые три метода рассматриваются ниже. Методика обработки результатов косвенных измерений приведена в документе МИ 2083-90 "ГСИ. Измерения косвен­ные. Определение результатов измерений и оценивание их погрешностей".

Косвенные измерения при линейной зависимости между ар­гументами. Линейная функциональная зависимость является про­стейшей формой связи между измеряемой величиной и находимы­ми посредством прямых измерений аргументами. Она может быть выражена формулой:

,

где b_i - постоянный коэффициент i -го аргумента X_i; m - число аргументов. Погрешности линейных косвенных измерений оцени­ваются методом, основанным на раздельной обработке аргумен­тов и их погрешностей.

Если коэффициенты b_i определяют экспериментально, то на­хождение результата измерения величины Y производится по­этапно. Сначала оценивают каждое слагаемое как косвенно измеряемую величину, полученную в результате произведения двух измеряемых величин, а потом находят оценку измеряе­мой величины Y. Результат косвенного измерения определяют по формуле:

,

где - оценка результата измерений аргумента , получаемая, как правило, посредством обработки результатов многократных прямых измерений каждого из аргументов. При несмещенности и состоятельности результатов полученная оценка результата из­мерения будет также несмещенной и состоятельной. Поскольку дисперсия результата измерения:

,

то, если результаты обладают минимальной дисперсией, т.е. являются эффективными, то и оценка результата измерения также будет эффективной.

При отсутствии корреляционной связи между аргументами, СКО результата косвенного измерения S , обусловленное случайны­ми погрешностями, вычисляется по формуле:

,

где S - среднее квадратическое отклонение результата изме­рения аргумента .

При наличии корреляционной связи между аргументами СКО результата косвенного измерения:

.

Здесь - несмещенная оценка коэффициента корреляции меж­ду погрешностями аргументов и .

,

где , - i -e результаты прямых измерений k -ro и l -го аргумен­тов; n - число прямых измерений аргументов. Коэффициент кор­реляции может быть рассчитан и по другим формулам, равнознач­ным приведенной.

Корреляция между аргументами чаще всего возникает в тех слу­чаях, когда их измерения проводятся одновременно и подвергаются одинаковому влиянию внешних условий (температуры, влажности, напряжения питающей сети,
помех. Критерием отсутствия свя­зи между двумя аргументами является выполнение неравенства

,

где t_q - коэффициент Стьюдента, соответствующий уровню значимости q и числу степеней свободы f = n-2 (Приложение 2). Необходимо прове­рить отсутствие корреляционных связей между всеми парными сочетаниями аргументов.

Моделью для распределения результатов измерений отдельных аргументов обычно можно считать случайную величину с нормаль­ным распределением. Для распределений, отличных от нормально­го, распределение среднего арифметического при этом все же мож­но считать нормальным. Случайную погрешность результата косвенного измерения, образующуюся путем сложения случайных погрешностей результатов определения многих аргументов, еще с большим основанием можно считать нормально распределенной случайной величиной. Это дает возможность найти доверитель­ный интервал для значения измеряемой величины.

При большом числе измерений (более 25-30), выполненных при нахождении каждого из аргументов, доверительную границу слу­чайной погрешности результата косвенного измерения можно оп­ределить по формуле:

δ = ± z_p S ,

где z_p - квантиль нормального распределения, соответствующий выбранной доверительной вероятности Р.

При меньшем числе измерений для определения доверительного интервала используется распределение Стьюдента, число степеней свободы которого рассчитывается по приближенной формуле:

где n_i - число измерений при определении аргумента . В этом случае при условии, что распределение погрешностей результатов измерения аргументов не противоречит нормальному распределе­нию, доверительная граница случайной погрешности результата косвенного измерения:

δ_p = ± t_p S ,

где t_p – коэффициент Стьюдента, соответствующий доверительной вероятности P и числу степеней свободы f (Приложение 2).

Систематическая погрешность результата косвенного измерения определяется систематическими погрешностями результатов измере­ний аргументов. При измерениях последние стремятся исключить. Однако полностью это сделать не удается, всегда остаются неисклю­ченные систематические погрешности, которые рассматриваются как реализации случайной величины, имеющей равномерное рас­пределение. Такое предположение приводит обычно к достаточно осто­рожным заключениям о погрешности результатов косвенных измере­ний.

Доверительные границы неисключенной систематической по­грешности результата линейного косвенного измерения q(Р) в слу­чае, если неисключенные систематические погрешности аргумен­тов заданы границами q_i, вычисляют по формуле:

где k - поправочный коэффициент, определяемый принятой дове­рительной вероятностью Р и числом m составляющих q_i. Его зна­чения приведены в табл. 4. Погрешность от применения этих усредненных коэффициентов не превышает 10%.

Таблица 4. Значения вероятности P и коэффициента k при m >4

Р	0,90	0,95	0,98	0,99
k	0,95	1,1	1,3	1,4

Если число суммируемых сла­гаемых m £4 и они значительно раз­личаются между собой, то значение коэффициента k определяется по табл. 5. Под L здесь понимают от­ношение наибольшей длины интер­вала (b_iq_i)_max одного из слагаемых к длине (b_iq_i) остальных слагаемых.

Если границы неисключенных систематических погрешно­стей результатов измерений аргументов заданы их доверительны­ми границами q_i(P_i), соответствующие вероятностям P_i, то гра­ницу q(Р) определяют по формуле:

.

Коэффициенты k_i определяются так же, как по­правочный ко­эффициент k.

 

Таблица 5. Значения коэффициента k при m=2,3,4

L	P=0,98	P=0,99
m=2	m=3	m=4	m=2	m=3	m=4
	1,22	1,28	1,30	1,28	1,38	1,41
	1,16	1,23	1,26	1,22	1,31	1,36
	1,11	1,17	1,20	1,16	1,24	1,28
	1,07	1,12	1,15	1,12	1,18	1,22
	1,05	1,09	1,12	1,09	1,14	1,18

 

Суммарная погрешность ре­зультата кос­венного измере­ния оценивается на основе компо­зиции распреде­лений случайных и неисключенных систематических погрешностей. Формулы для ее расчета в зависимости от соотношения границ не­исключенной систематической составляющей и СКО случайной со­ставляющей погрешности приведены в табл. 6.

Коэффициент k_р определяется по табл. 7.

 

Таблица 6. Погрешность результата косвенного измерения

Значение q(Р)/S	Погрешность результата измерения D(Р)
q(Р)/S <0,8	δ
0,8£q(Р)/S £ 8	Kp[δ +q(Р)]
q(Р)/S >0,8	q(Р)

 

Таблица 7. Зависимость k_p от отношения q(Р)/S при различной доверительной вероятности

q(Р)/S	0,5	0,75
k0,95	0,81	0,77	0,74	0,71	0,73	0,76	0,78	0,79	0,80	0,81
k0,99	0,87	0,85	0,82	0,80	0,81	0,82	0,83	0,83	0,84	0,85

 

Результат косвен­ных измерений должен записываться в виде х ± D_Р при доверитель­ной вероятности Р.

Косвенные измере­ния при нелинейной зависимости между аргументами. Для об­работки результатов измерений при нелинейных зависимостях между аргументами и некоррелированных погрешностях используется метод линеари­зации. Он состоит в том, что нелинейная функция, связывающая измеряемую величину с аргументами, разлагается в ряд Тейлора:

.

Здесь - первая частная производная от функции по аргу­менту , вычисленная в точке ;

- отклонение результата измерения аргумента от его среднего арифметиче­ского; - остаточный член:

Метод линеаризации применим, если остаточным членом мож­но пренебречь. Это возможно в том случае, если:

,

где S - СКО случайной погрешности результата измерений аргумента . При необходимости результаты косвенных измере­ний можно уточнить, используя члены ряда Тейлора более высо­кого порядка. Оценка результата определяется по формуле:

= (, ,…, ).

Абсолютная погрешность косвенного измерения равна: ,

где - коэффициенты влияния i -го аргумента; - абсолютная погрешность измерения i -го аргумента; - частная i -ая погрешность определения результата косвенного измерения.

Оценка СКО случайной погрешности результата косвенного из­мерения:

.

Доверительные границы случайной погрешности результата при нормально распределенных погрешностях измерений аргументов вычисляются так же, как и для линейных косвенных измерений, при условии, что вместо коэффициентов b_i в формулах подставля­ются коэффициенты влияния W_i. Аналогичным образом поступа­ют при определении границ неисключенной систематической по­грешности. Погрешность результата нелинейных косвенных измерений оценивается так же, как и при линейных измерениях.

 

Задача № 3.1.

 

Оценить мощность измерительной цепи и погрешность этого измерения по показаниям приборов.

Таблица 8

№ варианта	Амперметр, А	Вольтметр, В	Сопротивле-ние Rн, Ом
Класс точности	Диапазон измерений, А	Показание при измерении, А	Класс точности	Диапазон измерений, В	Показание при измерении, В	Номинальное значение	Погрешность D, Ом
	0,5	0-5	2,5		0-100		-	-
	0,02/0,01	0-10	6,5	-	-	-	10,0	0,05
	-	-	-	0,5/ 0,2	0-50		20,0	0,1
		0-1	0,8	0,5	0-150		-	-
	0,2/ 0,1	0-20		-	-	-	15,0	0,05
	-	-	-	1,5	0-100		25,0	0,1
		0-5	3,5	0,5	0-50		-	-
Продолжение табл.8
		0-10	7,5	-	-	-	10,0	0,1
	-	-	-	0,5	0-150		30,0	0,5
	0,5	0-1	0,75		0-100		-	-
	1,0/ 0,5	0-20		-	-	-	50,0	1,0
	-	-	-	1,0	0-50		100,0	5,0
	1,5	0-5	4,5		0-150		-	-
		0-10	8,5	-	-	-	80,0	5,0
	-	-	-	0,2/ 0,1	0-100		50,0	5,0
	2,5	0-250		1,5	0-500		-	-
	-	-	-	0,05	5-155		40,0	0,05
	0,05/ 0,01	0-50		-	-	-		0,01
	0,1	0-200		1,0/ 0,5	0-25		-	-
	0,025	0-100		-	-	-		0,025

Задача № 3.2.

Расход отходящих конвертерных газов, приведенный к нормальным условиям, определяется через расход газа в рабочих условиях (Q_РУ), давление в рабочих условиях (P_РУ) и температуру в рабочих условиях (T_РУ) по формуле:

Q_НУ = (Q_РУ ^. P_РУ ^. T_НУ) / (T_РУ ^. P_НУ) = (Q_РУ ^. P_РУ ^. 293) / (T_РУ ^. 1013) = =(0,289 ^. Q_РУ ^. P_РУ) / T_РУ,

Выполнены прямые измерения в рабочих условиях расхода газа, давления, температуры и получены следующие результаты (таблица 9). Определить значение расхода газа Q_НУ и границы доверительного интервала при Р= 0,95.

4. Поверка (калибровка) средств измерений

 

Важнейшей метрологической характеристикой средств изме­рений (СИ) является погрешность. Под абсолютной погрешностью измерительного прибора понимают разность между его показани­ем Х_п и действительным значением X_Д измеряемой величины:

Таблица 9

№ варианта	Измеряемые величины	Результаты измерений
1.	QРУ, м ^3/мин PРУ, гПа TРУ, К	4500 4490 4510 4500 1025 1027 1026 1026 1025 1027 1650 1640 1645 1655 1645
2.	QРУ, м ^3/мин PРУ, гПа TРУ, К	9000 8990 9010 9000 1030 1028 1032 1030 1080 1600 1595 1605 1600
3.	QРУ, м ^3/мин PРУ, гПа TРУ, К	2100 2095 2100 2100 2105 1035 1033 1035 1037 1705 1710 1715 1710
4.	QРУ, м ^3/мин PРУ, гПа TРУ, К	3050 3045 3055 3050 1037 1037 1035 1035 1670 1670 1675 1605 1665
5.	QРУ, м ^3/мин PРУ, гПа TРУ, К	6540 6535 6545 6540 1050 1048 1050 1000 1052 1660 1670 1665 1670 1660
6.	QРУ, м ^3/мин PРУ, гПа TРУ, К	5010 5005 5010 5015 5010 1042 1044 1043 1043 1630 1625 1635 1630 1690 1630
7.	QРУ, м ^3/мин PРУ, гПа TРУ, К	4000 4010 4005 3990 3995 925 927 926 927 928 924 1630 1620 1400 1635 1625
8.	QРУ, м ^3/мин PРУ, гПа TРУ, К	8000 7990 8000 8010 1130 1128 1128 1005 1120 1125 1500 1510 1490 1510 1505
9.	QРУ, м ^3/мин PРУ, гПа TРУ, К	2200 2195 2200 2400 2200 2190 935 933 934 936 1605 1610 1615 1610 1610
10.	QРУ, м ^3/мин PРУ, гПа TРУ, К	3150 3145 3155 3050 3140 1135 1130 1130 1130 1570 1570 1575 1565 1575
11.	QРУ, м ^3/мин PРУ, гПа TРУ, К	5540 5545 5535 5545 5545 1050 1040 1280 1045 1045 1670 1660 1670 1665
12.	QРУ, м ^3/мин PРУ, гПа TРУ, К	4990 4980 4985 4980 4980 1040 1035 1040 1280 1040 1650 1645 1655 1650 1710 1650
13.	QРУ, м ^3/мин PРУ, гПа TРУ, К	4470 4460 4480 4470 4800 1022 1024 1023 1023 1022 1550 1300 1545 1555 1550 1545

Продолжение табл.9

14.	QРУ, м ^3/мин PРУ, гПа TРУ, К	8900 8890 8010 8895 8890 1020 1018 1022 1020 1630 1625 1635 1630 1625
15.	QРУ, м ^3/мин PРУ, гПа TРУ, К	2150 2000 2145 2150 2150 2155 1050 1048 1050 1052 1050 1690 1695 1700 1695 1700
16.	QРУ, м ^3/мин PРУ, гПа TРУ, К	3075 3070 3080 3075 3075 1030 1030 1028 1028 1025 1620 1620 1625 1550 1615
17.	QРУ, м ^3/мин PРУ, гПа TРУ, К	6500 6495 6505 6500 1020 1018 1020 1022 1020 1660 1650 1655 1650
18.	QРУ, м ^3/мин PРУ, гПа TРУ, К	4010 4005 4010 4015 4010 4005 1047 1049 1048 1048 1047 1600 1595 1605 1605 1600
19.	QРУ, м ^3/мин PРУ, гПа TРУ, К	3970 3980 3075 3960 915 917 926 921 920 1620 1610 1625 1615 1615 1615
20.	QРУ, м ^3/мин PРУ, гПа TРУ, К	7000 6990 7000 7000 7010 7005 1150 1148 1148 1145 1140 1525 1535 1515 1535 1530 1525
21.	QРУ, м ^3/мин PРУ, гПа TРУ, К	2700 2695 2700 2900 2700 2690 945 943 944 946 945 1620 1625 1630 1625
22.	QРУ, м ^3/мин PРУ, гПа TРУ, К	3450 3445 3455 3350 3440 3450 1130 1125 1125 1120 1120 1580 1580 1585 1575 1585
23.	QРУ, м ^3/мин PРУ, гПа TРУ, К	5470 5475 5465 5475 5470 1080 1070 1075 1075 1075 1070 1570 1560 1570 1565 1560
24.	QРУ, м ^3/мин PРУ, гПа TРУ, К	4960 4950 4955 4950 4950 4955 940 935 940 935 930 1550 1545 1745 1540 1545 1550
25.	QРУ, м ^3/мин PРУ, гПа TРУ, К	2210 2195 2200 2200 2195 2200 1040 1038 1035 1040 1710 1715 1715 1710 1710

 

 

= Х_п – Х_Д.

Однако в большей степени точность измерительного при­бора характеризуется относительной погрешностью, т.е. вы­раженным в процентах отношением абсолютной погрешности к действительному значению измеряемой величины:

100.

Обычно δ <1, поэтому в формулу вместо действительного значения часто может быть подставлено номинальное значе­ние меры или показание измерительного прибора.

Если диапазон измерения прибора охватывает и нулевое значение измеряемой величины, то относительная погрешность обращается в бесконечность в соответствующей ему точке шка­лы. В этом случае пользуются понятием приведённой погреш­ности, равной отношению абсолютной погрешности прибора к нормирующему значению X_N:

.

В качестве нормирующего значения принимается значение, характерное для данного вида измерительного прибора. Это может быть, например, диапазон измерений, верхний предел измерений, длина шкалы и т. д. Правила выбора нормирую­щего значения приводятся в ГОСТ 8.009-94.

Если погрешности средств измерений ограничиваются пре­делами, из которых они не должны выходить, то наибольшая по абсолютному значению погрешность, при которой прибор может быть признан годным и допущен к применению, на­зывается пределом допускаемой погрешности. Эта погреш­ность характеризуется поставленными перед ней знаками или одним знаком, если она распространяется на одни положи­тельные или отрицательные значения.

Для приборов, ограниченных допускаемой погрешнос­тью показаний, устанавливают понятие класса точности прибора.

Согласно ГОСТ 8.401-90 класс точности средств измере­ния - это обобщенная характеристика, определяемая пре­делами допускаемых основной и дополнительной погрешнос­тей, а также другими свойствами, влияющими на их точность, значения которых устанавливаются в стандартах на отдельные виды средств измерений. Классы точности характеризуют свой­ства приборов, но не являются непосредственным показателем точности измерений выполняемых с их помощью.

Наибольшая основная погрешность средств измерений, при которой они по техническим требованиям могут быть признаны годными и допущены к применению, называется пределом допускаемой основной погрешности. ГОСТ 8.401-90 вводит также понятие дополнительной погрешности средства измерений, под которой понимается изменение дей­ствительного значения меры, показаний прибора или сиг­нала на выходе преобразователя, возникающее при откло­нении одной из влияющих величин за пределы, установлен­ные для нормального значения или нормальной области значений. При этом наибольшая дополнительная погреш­ность, вызываемая изменением влияющей величины в преде­лах расширенной области, при которой средство измерений может быть признано годным и допущено к применению, называется пределом допускаемой дополнительной по­грешности.

В соответствии с ГОСТ 8.401-90 пределы, допускаемые для основной и дополнительной погрешностей средств измерений каждого из классов точности, должны устанавливаться в виде абсолютных приведенных или относительных погрешностей.

Для обеспечения единства измерений необходима тождественность единиц, в которых проградуированы все существующие средства измерений одной и той же величины. Это достигается путем точного воспроизведения и хранения установленных единиц физической величины ФВ и передачи их размеров применяемым СИ. Передача размера единицы ФВ осуществляется от эталонных СИ рабочим СИ при их поверке или калибровке с помощью поверочных схем.

Поверкой называется совокупность операций, выполняемых органами ГМС или соответствующей службой юридического лица с целью определения и подтверждения соответствия средств измерений установленным техническим требованиям. Поверка относится к ГМК и распространяется на непроизводственные сферы (здравоохранение, охрана окружающей среды и т.д.).

Калибровкой называется совокупность операций, выполняемых с целью определения и подтверждения действительных характеристик и (или) пригодности к применению СИ, не подлежащих ГМК и Н. По существу калибровка является добровольной формой метрологического обеспечения СИ и выполняется обычно калибровочными лабораториями предприятий.

К допускаемым методам поверки (калибровки) относятся:

1) метод непосредственного сличения поверяемого (калибруемого) СИ с эталоном соответствующего разряда, при этом одновременно проводятся измерения одного и того же значения ФВ однородными (по измеряемой величине) поверяемым и эталонным СИ;

2) метод сличения с помощью компаратора (прибора сравнения), применяется в том случае, когда невозможно сравнить показания средств измерений одной и той же величины;

3) метод прямых измерений применяется в том случае, когда имеется возможность с помощью многозначной эталонной меры, воспроизводящей в некотором диапазоне значения величины, в единицах которой проградуировано поверяемое (калибруемое) СИ, произвести сличение и определить погрешность средства измерения в пределах используемого диапазона измерения;

4) метод косвенных измерений величины, применяется тогда, когда действительные значения величин, воспроизводимые эталонным и измеряемые поверяемым средствами измерений, невозможно определить прямыми измерениями или когда косвенные измерения более просты или более точны по сравнению с прямыми измерениями.

Задача № 4

 

Была осуществлена калибровка измерительного прибора класса точности К. Калибровка проводилась методом непосредственного сличения показаний калибруемого и образцового приборов при измерении одной и той же величины X. При этом, измеряемую величину X изменяли таким образом, чтобы указатель образцового прибора устанавливался строго на оцифрованной отметке шкалы. Результаты испытаний и характеристика калибруемого прибора приведены в таблице 11.

Рассчитайте абсолютную ∆, относительную δ и приведённую γ погрешности для каждого опыта.

Используя результаты вычислений, построить графики зависимостей ∆(х), δ(х), γ(х). Для каждой зависимости строится отдельный график. На этих же графиках построить зависимости соответствующих допустимых погрешностей калибруемого прибора. Проанализировать и пояснить полученные зависимости.

Какая погрешности нормируется у данного измерительного прибора? Ответ пояснить.

Какие составляющие погрешности (аддитивная, мультипликативная) присущи данному измерительному прибору? Ответ пояснить.

Дайте заключение о пригодности к применению калибруемого измерительного прибора.

Таблица 10. Примеры обозначения классов точности средств измерений

Форма выражения погрешности	Пределы допускаемой основной погрешности	Пределы допускаемой основной погрешности,%	Обозначение класса точности
в документа ции	на средстве измерений
Приведенная	Если в единицах измеряемой величины		Класс точности 1,5	1,5
Относительная		0,5		0,5
Xк - конечное значение диапазона измерения	с =0,02 d =0,01	Класс точности 0,02/0,01	0,02/ 0,01
Абсолютная			Класс точности М	М

 

Окончательные результаты вычислений представить в виде таблицы:

№ п/п опыта	Показание прибора	Погрешности
образцового	калибруемого	∆	δ	γ
…