Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Следовательно, решение смешанной задачи нужно искать в виде суммы
и функция w (x,t), будет уже решением однородной смешанной задачи
которая решается в соответствии с простейшей схемой метода Фурье. Как и при решении задачи 229 придем к ряду где положительные нули цилиндрической функции J 0(x). Что касается коэффициентов Аk, то из начального условия w/t= 0=0 будет следовать Второе начальное условие приведет к равенству откуда в силу ортогональности собственных функций с весом r на[0 ,l ] найдем Чтобы вычислить J 1, нужно сделать замену переменной интегриро- вания и воспользоваться равенством (73), соответственно получим Чтобы вычислить заметим, что , удовлетворяют уравнениям Умножив первое из этих уравнений на y 2(r), второе на y 1(r), вычитая полученные результаты и интегрируя в пределах от 0 до l, будем иметь Возвращаясь теперь к J 2, получим Подставляя теперь найденные значения J 1 и J 2в выражение для Вk, найдем В итоге придем к ответу Заметим в заключение, что рассматривается так называемый нерезо- нансный случай, когда 233. Найти радиальное распределение температуры в бесконечном круго- вом цилиндре радиуса l, боковая поверхность которого поддерживается при постоянной температуре u 0 . Начальная температура внутри цилиндра равна нулю. Р е ш е н ие. После перевода текста на формулы придем к смешанной задаче С помощью замены u (r,t) =u 0 +v (r,t) получим смешанную задачу для функции v (r,t): решение которой уже ищем в виде произведения R (r)и T (t) так, что v (r,t) =R (r) T (t). Разделив переменные, придем к двум обыкновенным дифферен- циальным уравнениям: С учетом граничных условий относительно радиальной функции R (r) придем к задаче Штурма Лиувилля Такая задача уже встречалась ранее в задачах 229 и 230, ее собствен- ные значения и собственные функции будут Собственные функции ортогональны между собой с весом р (r) =r. Дифференциальное решение для функции T (t) имеет вид его можно решить как линейное с постоянным коэффициентом и мето- дом разделения переменных, тогда получим Перемножая Tk (t) на собственные функции и суммируя, придем к ряду Подставляя этот ряд в начальное условие, будем иметь Итак решение исходной задачи будет выражаться рядом 234. Дан неограниченный цилиндр радиуса l, на поверхности которого поддерживается постоянная концентрация u 0 вещества. Определить коли- чество вещества, продиффундировавшего внутрь цилиндра в момент вре- мени t, на единицу длины, если начальная концентрация u (r,t) /t= 0=0.
Р е ш е н и е. Поскольку уравнение теплопроводность есть одновре - менно и уравнение диффузии, то будем иметь смешанную задачу Эта задача идентична встретившейся задаче 233, поэтому ее решение сразу выписываем: Теперь мы должны взять интеграл от концентрации, т. е. 235. Дана неограниченная цилиндрическая труба , и ее началь- ная температура u (r, 0) =f (r). Внутренняя и наружная поверхности трубы поддерживаются при нулевой температуре. Найти распределение температуры в сечении u (r,t) при t >0. Р е ш е н и е. Здесь возникает смешанная задача Полагая u (r,t) =R (r) T (t), после разделения переменных придем к соот- ношениям С учетом граничных условий для радиальной функции получим зада- чу Штурма Лиувилля Собственные функции будут ортогональными на отрезке [ r 1 ,r 2] с весом r. Общее решение дифференциального уравнения будет иметь вид Подставив его в граничные условия, придем к соотношениям для определения С1, С2 и λ.Однородная система линейных уравнений имеет нетривиальные решения, если ее определитель Корни уравнения и будут собственными значениями, а собственные функции, как нетрудно проверить, будут иметь вид как уже отмечалось, они образуют ортогональную систему с весом r на отрезке Найдем квадрат нормы Через yn (r) обозначим функцию Радиальная собственная функция Rn (r) и yn (r) суть соответственно решения уравнений Умножим первое уравнение на yn (r),второе – на Rn (r), вычтем из пер- вого второе и проинтегрируем по отрезку [ r1, r2. ]. В итоге получим откуда следует, что Здесь использованы соотношения, вытекающие из определения соб- ственных значений и формулы для определителя Вронского Из дифференциального уравнения для временной функции поэтому умножая Tn (t) на собственную функцию, найдем ряд Подставляя этот ряд в начальное условие, будем иметь Ответ запишется в форме где 236. Найдите распределение температуры внутри бесконечного круглого цилиндра радиуса l, если начальная температура и на поверхности цилиндра поддерживается нуле- вая температура.
237. Решите задачу о свободных колебаниях однородной круглой мемб- раны радиуса l, закрепленной по краю, если начальные скорости ее точек равны нулю, а начальное отклонение Здесь положительный корень уравнения Решите следующие смешанные задачи
|
||||||
Последнее изменение этой страницы: 2017-02-09; просмотров: 306; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.138.174.174 (0.018 с.) |