Проверка гипотезы о принадлежности результатов наблюдений нормальному распределению

Чтобы установить, принадлежат (или не принадлежат) результаты наблюдений тому или иному распределению, необходимо сравнить экспериментальную фун­кцию распределения с предполагаемой теоретической. Сравнение осуществляет­ся с помощью критериев согласия.

Существует несколько критериев согласия для проверки законов распределения случайной величины. Это критерии Колмогорова, Пирсона и др. В случае проверки принадлежности результатов наблюдений к нормальному распределению предпочтительным, при числе результатов n > 50, является один из критериев: χ² (Пирсона) или ω²Мизеса-Смирнова, Колмогорова.

Отличаясь простотой применения, критерий Колмогорова уступает критерию хи-квадрат по степени доверия к результатам идентификации законов распределения. Применение метода моментов требует наличия большого количества измерений. Для надежной оценки первого момента (математического ожидания) требуется выборка n > 30, для оценки вторых моментов – n > 100, для оценки третьих моментов – n >1000. Поэтому при небольших выборках применение метода моментов практически ограничено.

Критерий Пирсона – это наиболее часто употребляемый критерий для проверки закона распределения случайной величины.

При числе результатов наблюдений 15< n < 50 производят приближенную проверку их принадлежности к нормальному распределению путем использования составного критерия. При n ≤ 15 гипотеза о принадлежности результатов наблюдений к какому-либо распределению не проверяется.

Если при этом имеется априорная инфор­мация о том, что нет причин, которые могли бы вызвать заметное отклонение рас­пределения результатов от нормального закона, но близкое к нему, то для обработки результатов наблюдений следует использовать распределение Стьюдента.

Для проверки принадлежности результатов наблюдений к нормальному рас­пределению с помощью критерия согласия Пирсона необходимо сначала постро­ить гистограмму.

По результатам анализа гистограммы высказывается гипотеза о виде закона распределения экспериментальных данных и о численных характеристиках (для нормального распределения это характеристики - ма­тематическое ожидание и дисперсия).

После этого используют критерий согла­сия для проверки гипотезы.

Критерий согласия χ² Пирсона имеет вид:

(5.4)

 

 

где χ² – величина, характеризующая меру отклонения результатов наблюдений от теоретически предсказанных; n_j – «количество» попадания результатов наблюдений в j интервал; Р_j − теоретические значения вероятности попадания результатов в j интер­вал, которые вычисляются по формуле:

(5.5)

где - функция Лапласа,

 

Таблица значений функций Лапласа приведена в приложении.

После вычисления значения χ² для заданной доверительной вероятности Р_Д и числа степеней свободы v = r - k – 1 (где r - количество разрядов разбиения, k - число параметров, необходимых для определения теоретической функции рас­пределения, равное для нормального закона распределения двум), по таблицам χ² - распределения находят критическое значение критерия согласия χ²_кр. В техни­ческой практике обычно задаются Р_д = 0,95, что соответствует вероятности 0,05 совершить ошибку первого рода, т. е. отвергнуть правильную гипотезу. Значения χ²_кр приведены в приложении.

Если χ² < χ²_кр,принимают гипотезу о том, что результаты наблюдений принад­лежат нормальному распределению, характеризующемуся оценками математического ожи­дания и дисперсией. В противном случае (χ² > χ²_кр ) гипотеза отвергается.

Следует иметь ввиду, что нормальное распределения возникает тогда, когда на величину действует много несвязанных слабых факторов.