Сумма двух событий. Геометрическая интерпретация.

Суммой двух событий А и В называется событие С, состоящее в появлении или события А или события В или их вместе.

 

хотя бы одно из событий А или В. С=А+В Геометрическая интерпретация

u – множество исходов некоторого опыта.

 

Произведение двух событий. Геометрическая интерпретация

Произведением двух событий А и В называется событие С, состоящее в одновременном появлении события А и В. С=А*В

Теорема сложения вероятностей для произвольного числа событий.

Теорема сложения вероятностей формулируется следующим образом.

Вероятность суммы двух несовместимых событий равна сумме вероятностей этих событий:

.

тметим следствия, вытекающие из теоремы сложения вероятностей.

Следствие 1. Если события образуют полную группу несовместных событий, то сумма их вероятностей равна единице:

.

Следствие 2. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:

.

Теорема умножения вероятностей для произвольного числа событий.

Введем понятие независимые и зависимые события.

Событие А называется независимым от события В, если вероятность события А не зависит от того, произошло событие В или нет.

Событие А называют зависимым от события В, если вероятность события А меняется в зависимости от того, произошло событие В или нет.

Вероятность события А, вычисленная при условии, что имело место другое событие В, называется условной вероятностью события А и обозначается Р (А/В)

словие независимости события А от события В можно записать в виде:

Р(А/В) = P(A) (10)

а, условие зависимости: Р(А/В) ≠ P(A) (11)

Теорема умножения: Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности

Р(АВ) = P(A)⋅Р(В/А) (12)

Вероятность произведения нескольких событий равна произведению вероятностей этих событий, причем вероятность каждого следующего по порядку события вычисляется при условии, что все предыдущие имели место:

Р(А1А2…Аn) = P(A1)⋅Р(А2/А1)⋅Р(А3/А1А2)⋅…⋅Р(Аn/А1А2…А n-1) (13)

Следствие1: Если событие А не зависит от события В, то и событие В не зависит от события А

Следствие2: Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий

P(AВ) = P(А)⋅Р(В) (14)
Р(А1А2…Аn) = P(A1)⋅Р(А2)⋅….⋅Р(Аn) (15)

 

Формула полной вероятности

Пусть событие А может произойти только совместно с одним из событий Н ₁, Н ₂,…, Н_п, образующих полную группу несовместных событий. Тогда события Н ₁, Н ₂,…, Н_п называются гипотезами .

Теорема 3.1. Вероятность события А, наступающего совместно с гипотезами Н ₁, Н ₂,…, Н_п, равна:

(3.1)

где p (H_i) – вероятность i- й гипотезы, а p (A/H_i) – вероятность события А при условии реализации этой гипотезы. Формула (3.1) носит название формулы полной вероятности.

Доказательство.

Можно считать событие А суммой попарно несовместных событий АН ₁, АН ₂,…, АН_п. Тогда из теорем сложения и умножения следует,что и требовалось доказать. Р(А)=∑Р(Hi)⋅P(A/Hi) (16)