Ошибки, допускаемые при проверке гипотез

СТАТИСТИЧЕСКАЯ ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ

Основные понятия теории статистической проверки гипотез

При проведении статистических исследований часто возникает необходимость проверки согласования с экспериментальными данными некоторых предположений о свойствах изучаемой случайной величины. Формулируемые предположения называются ………………………, а методы, позволяющие решить поставленную задачу, составляют раздел математической статистики, который называется ………………………………………………… ……………………………………………………………………………………......

Проверяемая гипотеза называется …………………………........................ ………………………………………………………………………………………..

В случае отклонения гипотезы H ₀ полагают, что справедлива …………. ………………………………………………………………………………………..

Принято различать параметрические и непараметрические гипотезы.

………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Методика проверки согласования гипотез с опытными данными основана на использовании специальных выборочных статистик, называемых ………………………………………………………………………………………

Критерий конструируется таким образом, что позволяет оценить меру отклонения эмпирического распределения (то есть выборочных данных) от предполагаемого теоретического (то есть от проверяемой гипотезы). При этом множество возможных значений критерия разбивается на 2 непересекающиеся части: ……..……………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………..

Критическая область определяется таким образом,...............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Если значение критерия принадлежит области допустимых значений, то делают вывод об удовлетворительном согласовании выдвинутой гипотезы с выборочными данными и об отсутствии оснований для отклонения этой гипотезы.....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

ЭЛЕМЕНТЫ РЕГРЕССИОННОГО АНАЛИЗА

Основные понятия регрессионного и корреляционного анализа

В практических исследованиях часто возникает задача изучения зависимости между несколькими случайными величинами. Как и ранее, ограничимся рассмотрением зависимости только между двумя случайными величинами.

Несколько случайных величин................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

Говорят, что две величины связаны функционально, если.................................................................................................................................................................................................................................................................................................

Примеры:

-........................................................................................................................

-.........................................................................................................................

 

Говорят, что между случайными величинами существует статистическая зависимость, если.............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

Примеры:

-........................................................................................................................

-........................................................................................................................

Статистической зависимостью между случайными величинами... и.... называется.........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

На практике обычно ограничиваются рассмотрением частного случая статистической зависимости – регрессионной зависимостью, представляющей собой................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

Например, регрессионная зависимость.... от.... может быть представлена в виде:................................................................................................................

.......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

Для построения уравнения регрессии необходимо знание совместного закона распределения вероятностей случайных величин... и..... При проведении практических исследований это распределение, как правило, неизвестно. В распоряжении исследователя имеется......................................................................................................................................................................................................

Таким образом, возникает задача построения на основании экспериментальных данных приближенного уравнения регрессии (то есть его оценки) вида..............................., которое называется............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

При изучении статистической зависимости между переменными на основании экспериментальных данных, различают регрессионный и корреляционный анализ.

Методы регрессионного анализа.........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

Методы корреляционного анализа......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

Построение эмпирического уравнения линейной регрессии

Практические исследования показывают, что в большой части случаев наблюдаемая зависимость между изучаемыми величинами (по крайней мере - приближенно) может быть описана с помощью линейной регрессионной модели.

.................................................................................................................................................................................................................................................................

В частности, в курсе теории вероятностей доказано, что.................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

Пусть в результате n независимых испытаний получена двумерная выборка значений изучаемых величин................................., на основании которой необходимо построить уравнение линейной регрессии Y от Х. Соотношение........ в этом случае примет вид:

..................................................................................

.................................................................................................................................................................................................................................................................

......................................................................................................................................

......................................................................................................................................

Таким образом, система нормальных уравнений имеет вид:

..............................................................

...............................................................

Решая эту систему уравнений, будут найдены значения коэффициентов эмпирического уравнения линейной регрессии..........................................:

..................................................................................................................

где..................................................................................................................

ЭЛЕМЕНТЫ КОРРЕЛЯЦИОННОГО АНАЛИЗА

.............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

 

СТАТИСТИЧЕСКАЯ ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ

Основные понятия теории статистической проверки гипотез

При проведении статистических исследований часто возникает необходимость проверки согласования с экспериментальными данными некоторых предположений о свойствах изучаемой случайной величины. Формулируемые предположения называются ………………………, а методы, позволяющие решить поставленную задачу, составляют раздел математической статистики, который называется ………………………………………………… ……………………………………………………………………………………......

Проверяемая гипотеза называется …………………………........................ ………………………………………………………………………………………..

В случае отклонения гипотезы H ₀ полагают, что справедлива …………. ………………………………………………………………………………………..

Принято различать параметрические и непараметрические гипотезы.

………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Методика проверки согласования гипотез с опытными данными основана на использовании специальных выборочных статистик, называемых ………………………………………………………………………………………

Критерий конструируется таким образом, что позволяет оценить меру отклонения эмпирического распределения (то есть выборочных данных) от предполагаемого теоретического (то есть от проверяемой гипотезы). При этом множество возможных значений критерия разбивается на 2 непересекающиеся части: ……..……………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………..

Критическая область определяется таким образом,...............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Если значение критерия принадлежит области допустимых значений, то делают вывод об удовлетворительном согласовании выдвинутой гипотезы с выборочными данными и об отсутствии оснований для отклонения этой гипотезы.....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

Ошибки, допускаемые при проверке гипотез

 

Поскольку решение об отклонении или неотклонении проверяемой гипотезы принимается на основании выборочных данных, при этом всегда существует риск совершения ошибки. Допускаемые ошибки могут быть двух видов:

1) …………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………….………………………………………………………………………………………..

2) ……………………………………………………………………………... ………………………………………………………………………………………….

Схематически возможные ошибки и их вероятности удобно представить в виде следующей таблицы:

 

 

 

Вопрос о том, какие значения вероятностей …… и …… являются приемлемыми при решении поставленной задачи, решается исследователем в каждой конкретной ситуации исходя из практических целей.

В общем случае, при фиксированном объеме выборки одновременно обеспечить достижение сколь угодно малых значений a и b не представляется возможным.................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

Одним из классов статистических критериев являются так называемые …………………………………………….., широко использующиеся для проверки гипотезы о виде закона распределения изучаемой случайной величины.

.......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

 

2.3.3 Применение критерия Пирсона c² для проверки гипотезы
о виде закона распределения случайной величины

 

Одним из наиболее широко используемых на практике критериев согласия является критерий c² Пирсона. Он может применяться для проверки гипотез о распределении исследуемой случайной величины по любому из известных законов распределения (как дискретных, так и непрерывных случайных величин).

Для применения этого критерия необходимо представление эмпирического (т.е. экспериментального) распределения в виде ………………………… ………………………………………………………………………………………..

Обозначим, как и ранее, …………………………………………………… ………………………………………………………………………………………..

При применении этого критерия на основании выдвинутой гипотезы вычисляются теоретические частоты ……. попадания значений случайной величины X, распределенной по предполагаемому закону в частичные разряды разбиения.

……………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………….……………………………………………………………………………………….……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………………………………………………………………………………

………………………………

……………………………………………………………………………………..………………………………………………………………………………………….……………………………………………………………………………………….………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

Критическая область в данном случае определяется условием:.

……………………………..

Критическое значение определяется по таблице квантилей распределения c² в зависимости от уровня значимости a и числа степеней свободы n.

 

Алгоритм применения критерия c² для проверки гипотезы о виде закона распределения исследуемой случайной величины

1 Выборочные данные представляют в виде.....................................................................................................................................................................................

2 Выбирают...............................................................…...

3 Формулируют гипотезу о виде закона распределения исследуемой случайной величины.........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

4 На основании выдвинутой гипотезы вычисляют.....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

5 Определяют значения......................................................................……... Разряды разбиения, характеризующиеся малыми значениями теоретических частот, объединяются с соседними, но с соблюдением условия .

6 Вычисляют наблюдаемое значение критерия …….

7 По таблицам квантилей распределения c² определяют критическое значение ………, соответствующее заданному уровню значимости ….. и числу степеней свободы ………………. Сравнивая расчетное значение критерия c² с критическим значением , делают вывод об отклонении или принятии проверяемой гипотезы.

..........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................